基于含參三次函數問題的探究與拓展

江蘇 劉祥云

一、探究解答過程，似懂非懂

(1)證明：函數f(x)有三個零點;

(2)當x∈[m,+∞)時，對任意的實數a，f(x2)總是函數f(x)的最小值，求整數m的最小值.

解：(1)證明過程略；

(2)由條件得f′(x)=x2-ax-2，

令f′(x)=x2-ax-2=0,

由根與系數的關系得,x1+x2=a,

x1x2=-2(x1<0

此題是2021年的泰州高三數學期末調研卷的第21題，重點考查三次函數的圖象、最值、極值問題.筆者所在學校是當地的第二所四星級高中，沒有較優秀學生，生源中等偏上，本題的平均得分為1.17分(滿分12分)，且得分僅在第(1)問，第(2)問幾乎全軍覆沒.通過研究學生的解答過程發現，本題的難點在于含參三次函數的因式分解，對于分解過程學生也是似懂非懂，云里霧里，無法真正理解問題的本質.

二、探究解的本質，追根溯源

回歸本題的解題路徑：

先由圖象得到方程，再去解含參的三次方程.該解法計算量大，且兩次因式分解都要通過試根，再根據十字相乘法分解，難度較大.通過上面的解法發現分解的因式中x2為二重根，能否先將函數設出來再讓系數相等，從而簡化計算量呢？要想設出三次函數就要類比二次函數的三種形式：

二次函數(a>0)三次函數 (a>0)一般式f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax3+bx2+cx+d一般式交點式f(x)=a(x-x1)(x-x2)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)交點式

續表

通過類比二次函數的頂點式，將對應的三次函數形式稱為極值點式，根據上圖將函數設為

因為x2的系數相同，

下面過程相同.

三、探究一類問題，形成結論

通過搜索高考試題發現在2016年就已出現類似的問題，下面筆者再次利用三次函數的極值點式進行求解：

【題目2】(2016·浙江卷文·12)設函數f(x)=x3+3x2+1，已知a≠0，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R，則實數a=，b=.

解：令函數g(x)=f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，

則方程g(x)=0有三個根x=a(二重根)，x=b，

所以由根與系數之間的關系知2a+b=-3，

又因為x=a是函數f(x)的極值點，

所以有f′(x)=3x2+6x=0，

解得a=-2，b=1.

【題目3】(2016·天津卷理·20(2))設函數f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R，若f(x)存在極值點x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3.

解：設函數f(x)=(x-x0)2(x-x1)+t，

即方程(x-1)3-ax-b-t=0有三個根x=x0(二重根)，x=x1，

由根與系數之間的關系有x1+2x0=3.

下面我們將該問題一般化：

證明：先證明充分性：已知f(n)=t，

則設函數f(x)=a(x-m)2(x-n)+t=ax3+bx+cx+d，

則方程ax3+bx2+cx+d-t=0有三個根x=m(二重根)，x=n，

設f(x)=t時，

方程的解為x=m(二重根)，x=x0，

所以x0=n，即有f(n)=t.

四、探究新的情境，提升素養

CF=|xC-x1|

即有F,H為線段CD的四等分點.

特別地，若圖中的矩形為正方形時，

有BC=2EG.

此時EG=|x1-x2|，

BC=|f(x1)-f(x2)|,

由根與系數關系代入得，b2+9a=3ac.

結論2：不單調的三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)過兩個極值點分別作切線與三次函數圖象有兩個交點，以這兩個交點連接線段為對角線構成矩形，則兩個極值點分別是這個矩形邊上的四等分點.特別地，當三次函數系數滿足b2+9a=3ac時，此時矩形為正方形.

情境2：如圖，已知三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)與直線y=k相交于三個不同的交點，且三點的橫坐標分別為x1,x2,x3，若這三個橫坐標分別為等差數列、等比數列時，會有什么結論？

解：方程f(x)=k,即ax3+bx2+cx+d-k=0有三個不同的根x1,x2,x3,

若x1,x2,x3為等差數列，

同時有x1+x3=2x2，

代入函數得，2b3-9abc+27a2d=27a2k，

若x1,x2,x3為等比數列，

代入函數得b3d-ac3=b3k.

結論3：不單調的三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)與直線y=k相交于三個不同的交點，且三點的橫坐標分別為x1,x2,x3，若這三個橫坐標成等差數列，則有2b3-9abc+27a2d=27a2k，若這三個橫坐標成等比數列，則有b3d-ac3=b3k.