尋根求源探本質 變式教學促發展
——以2022屆“江南十校”高三一模聯考文科數學17題為例

安徽 李多猛 張 剛

區域性高三聯考通常是一個地區(或若干個地區)的高中聯盟體，為了提升本地區高三復習備考的教學質量，檢測高三師生復習效果的一種大型考試.通過各地區示范性高中聯盟理事會輪流組織命題考試，集中試卷批改和分析，實現對聯盟體內各高中教學質量進行評估和指導.因此，這種區域性聯考具有很強的教學引領和風向標作用.

2022年3月7日至8日，聯盟體——“江南十校”組織了區域性高三一模，本次數學試卷具有較好的區分度，試卷命制質量也比較高，通過閱卷發現學生的一些典型答題錯誤，失分實屬可惜.下面筆者以2022屆“江南十校”高三一模聯考文科數學17題為例，談談自己在試卷講評課中的一些新嘗試，希望能給后期的高三數學專題復習帶來一些參考和建議.

一、原題再現

(1)求數列{an}的通項公式；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，

a1=3也符合上式，故an=2n+1.

二、試題分析

1.總體評價

本題主要考查數列的通項與數列的前n項和的關系以及“差比型”數列的前n項求和，主要考查邏輯推理、數學運算等數學核心素養.以下是宿州市城區三所示范高中參加考試的1 181名文科學生的答題得分統計分析表：

題號實考人數滿分值平均分標準差得分率難度區分度第17題1 181127.943.450.660.660.45

從統計結果看，本題答題情況并不好，尤其是第二問的錯位相減求和，人人能做，但能最終答對的卻不多.考后筆者統計了學生在用錯位相減法求和時的常見錯誤類型：

(1)符號錯誤；

(2)指、系數書寫錯誤；

(3)指、系數運算錯誤;

(4)書寫不規范等.

2.錯因探源

從考后的統計結果可以看出學生對錯位相減法求和的整體過程模糊不清，主要體現在相減之后的等式中的等比數列求和的項數模糊不清；對等比數列前n項和公式理解不透、運用不熟，導致運用公式求和時出錯；思維定式將最后一項的符號簡單對應項數符號，同時數學基本運算能力的欠缺也是出錯的一個重要原因.

3.解決策略

錯位相減法求和在一定程度上具有程序化的特點，因此規范書寫格式(一般為“前三后二”，上下對齊的是同類項)是減少錯誤的有效途徑，如下所示.

其次，要注意確認最后一項的符號以及中間等比數列求和的項數是否正確，正確使用求和公式運算.最后，還要學會檢驗，對于用錯位相減法求得的結果Tn，可根據T0=0，T1等于首項檢驗求得的Tn是否正確.

三、探尋本質

“錯位相減法”是在推導等比數列前n項和公式時采用的經典方法，也是求“差比型”數列前n項和的常用方法，主要考查邏輯推理和數學運算核心素養.一直以來，用“錯位相減法”求“差比型”數列前n項和似乎是“教師教、學生學”的唯一選擇，但也一直是老師的痛處、學生的傷點！還有沒有求“差比型”數列前n項和的其他路徑和選擇呢？以下是筆者在評講該題的課堂教學新嘗試(片段).

師：問題的本質是什么？

生：把數列的前n項相加，即Tn=b1+b2+…+bn.

師：數列{bn}的前n項和與通項bn有何關系？

生：bn=Tn-Tn-1(n≥2).

師：很好，這樣通項bn就可以看成函數Tn與Tn-1的差，

也就是說Tn=T1+(T2-T1)+(T3-T2)+…+(Tn-Tn-1)，能否考慮像這樣先把bn裂項，再求和？(學生開始議論)

生：函數Tn怎么找？(學生感覺為難)

生：兩個函數的乘積.

師：兩個什么函數？

師：任意兩個線性函數的差是什么函數？

生：還是線性函數.(學生都被這樣的“問題串”吸引住了，不少學生緊鎖的眉頭也慢慢舒展了)

師：bn-bn-1等于什么？結果與通項bn比較有何特征？

師： 非常好！(學生思維的火花被點燃了)

四、深度挖掘

使bn=f(n)-f(n-1),n∈N*，

所以Tn=b1+b2+…+bn

=(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))

=f(n)-f(0)

五、通法探究

數學是思維的科學,發展學生數學核心素養離不開數學思維能力的提升，課堂教學中，教師的任務就是通過引導學生發現和提出問題、分析和解決問題，從而培養學生良好的邏輯推理能力.波利亞在《數學的發現》中提出，高中數學課程教學目標首先和主要的是：“必須教會那些年輕人思考.”所以課堂教學不但要以問題為起點，還要以進一步的問題來推進，引領學生深度學習.到此為止，學生是不是真正把問題的本質解決了呢？筆者認為,學生的思維訓練還遠遠沒有結束，可以再進一步引導學生思考此類問題的通法.

【例1】已知數列{cn}的通項公式為cn=(An+B)·qn(A,B為常數，q≠0且q≠1)，求數列{cn}的前n項和Tn.

解析：令f(n)=(kn+b)·qn且cn=f(n)-f(n-1),n∈N*，則由

(An+B)·qn=(kn+b)·qn-[k(n-1)+b]·qn-1，消去qn-1得,

(An+B)·q=(kn+b)q-[k(n-1)+b]=(kq-k)n+bq-b+k，

Tn=c1+c2+…+cn

=(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))

=f(n)-f(0).

事實上，若數列{cn}的通項是由關于n的多項式函數與關于n的指數函數的乘積構成，即cn=[ak·nk+ak-1·(n-1)k-1+…+a1·n+a0]·qn，則都可以采用“待定裂項法”求數列{cn}的前n項和，這樣問題就迎刃而解，學生的解題思路也豁然開朗，解答問題自然水到渠成.

六、變式教學

在后期高三數學專題復習教學中，引領學生掌握解題方法和規律，更多的是通過數學問題的變式應用來實現，從而加深學生對知識內涵與外延的真正理解，真正實現掌握問題本質，這對于高三數學沖刺階段的復習可以起到事半功倍的作用，同時也能提高學生對數學問題的梳理和歸類，把握一類問題的規律，實現通法通解，以不變應萬變，提升數學核心素養.因此，數學專題復習教學中，還可以嘗試對上述母題改變條件或結論，下面略舉一例說明.

【變式1】已知數列{cn}的通項公式cn=(n2+n-2)·2n，n∈N*，求數列{cn}的前n項和Tn.

解析：令f(n)=(an2+bn+c)·2n，

且cn=f(n)-f(n-1)，

則(n2+n-2)·2n=(an2+bn+c)·2n-[a(n-1)2+b(n-1)+c]·2n-1，

即2n2+2n-4=2(an2+bn+c)-[a(n-1)2+b(n-1)+c]=an2+(2a+b)n-a+b+c,

所以f(n)=(2n2-2n)·2n=n(n-1)·2n+1,n∈N*，

Tn=c1+c2+…+cn=f(n)-f(0) =n(n-1)·2n+1.

現代認知心理學家認為，數學學習是個體認知結構從建立到擴展，再到精致的過程.上述問題就是母題條件中的特殊化、具體化的表現，考查學生對數學問題本質的理解.通過母題變式教學，要引領學生深度學習，實現學生對數學問題本質特征結構的把握，教師還可以繼續實施變式題組教學，比如母題逆命題是否成立等，從而實現學生舉一反三，觸類旁通的教學效果.

……

改變問題的結構、形式，更換問題的條件和結論，以及探尋問題的一般化規律等，都是為了進一步揭示數學問題本質，幫助學生多角度、多層次理解知識，培養學生在不同條件下遷移、發散能力、建構知識體系能力的過程，也是促進學生由“知識型”向“能力型”轉變的過程，從而發展學生的數學核心素養.當然，教師還可以結合自己的實際課堂需求，繼續實施類似變式的題組教學，這里限于篇幅，不再一一贅述.

七、教學反思

1．積極提升自身專業素養

實踐數學核心素養的課堂教學除了教材中明確的知識技能目標外，還應該包含數學知識的本質、發展的過程、體現的思想和與其他知識的聯系等，因此，教師要積極提升自身專業素養.只有教師對數學知識產生、發展過程全面了解，才能恰到好處地點撥和引導學生暴露問題本質，還原問題本真；只有教師對數學問題的思想和方法深入體會，才能引領學生深度學習，學會用數學思維思考.

2．重視知識體系建構聯系

3．加強引領學生變式教學