導數恒成立中同構問題探究

安徽 胡守強

導數是整個高中數學教學的重點，也是學生學習的難點，更是高考考試的熱點.研究近年高考試題可以發現，在導數問題中，關于同構類型的題目出現頻率有著顯著提高.結合平時教學發現大部分學生對導數問題缺乏自信.本文主要是研究導數恒成立中的同構問題，什么是同構，同構的常見類型等.

一、下面是一道經典放縮同構的函數題

【案例1】已知不等式xex≥ax+lnx+1恒成立，求a的取值范圍.

所以可得a的取值范圍為(-∞,1].

解題心得:本題是導數經典題型中恒成立問題，如果學生直接對f(x)進行求導，求其最小值，可能會非常麻煩，導致無法求解.通過應用ex≥x+1構造函數，進行放縮，避免了指、對數函數求導的煩瑣，降低了解題難度.

二、關于同構問題常見類型如下

1.地位等同同構，主要是針對雙變量

在解析幾何中的應用：如果A(x1,y1),B(x2,y2)滿足的方程為同構式，則A,B為方程所表示曲線上的兩點.則該方程即為直線AB的方程.

對于含有同等地位的兩個變量的方程進行變形，是常見變形，通過變形整理后的不等式兩邊具有相同結構(函數同構),往往通過函數的單調性進行求解，這類同構也是比較基礎的一類，學生也易于掌握.

2.指、對數同構，左、右同取對數或指數

(1)積型同構:aea≤blnb?

在積型同構中，通過兩邊同時取對數方式求解最為便捷，然后應用函數的基本性質.

(3)和差型同構：ea±a>b±lnb?

例如：eax+ax>ln(x+1)+x+1?eax+ax>eln(x+1)+ln(x+1)?f(x)=ax-ln(x+1).

因為lnx≥1,m>0,且當x≥e時，g′(x)=(x+1)ex>0,

得g(x)在[e,+∞)上單調遞增，

令h(x)=xlnx,h′(x)=lnx+1>0,h(x)在[e,+∞)上單調遞增,

所以h(x)的最小值為h(e)=e,所以m≤e,即m的最大值為e.

設計意圖:讓學生找出相同的同構函數，體會如何變成積型同構，理解積型同構的三種處理方法.

3.拼湊型同構，無中生有同構法

(1)aeax>lnx?axeax>xlnx?elnaxeax>xlnx?積型同構.

(2)ex>aln(ax-a)-a?ex-lna-lna>ln(x-1)-1?ex-lna+x-lna>ln(x-1)+x-1=eln(x-1)+ln(x-1)?x-lna>ln(x-1).

說明：因為ax和logax互為反函數，根據反函數的性質可以直接由ax>logax得到ax>x,對于某些隱藏比較深的不等式，通過觀察左、右兩邊是否互為反函數，再利用反函數的性質，對左、右兩邊同時取對數，會有意想不到的效果.

【案例3】求函數f(x)=2x2e2x+lnx的零點個數.

解析：方法一(比形同構)：

令f(x)=2x2e2x+lnx=0,則

令m(x)=lnx+2x,因為m(x)在(0,+∞)上單調遞增，

方法二(換元同構)：

令t=2x2e2x,則lnt=2x+ln2+2lnx,

令f(x)=lnx+t=0,

所以lnt=lnx-t+2x+ln2?lnt+t=ln2x+2x,

令g(x)=lnx+x,g(t)=g(2x).

因為g(x)在(0，+∞)上單調遞增，則t=2x，

設計意圖:讓學生體會指、對數之間的轉換，通過拼湊，構造相同格式的函數，加深學生對同構本質的理解，提升學生的數學核心素養,再通過換元利用單調性進行求解.

4.切線放縮，主要是局部放縮

(1)指數式ex的常見放縮

常見變形:①xex=ex+lnx≥x+lnx+1；

(2)對數式lnx的常見放縮

②lnx≤x-1?lnx≤ex-2；

說明：指、對數進行放縮變換在最近幾年出現的試題或者高考題中的頻率顯著提升，特別是關于指、對數結合不等式中恒成立問題，通過局部放縮變換會有意想不到的效果.

三、典例賞析

【例1】(2021·八省(市)聯考·8)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則( )

A.c

C.a

當x∈(0,1)時，f′(x)<0,x∈(1,+∞)時,f′(x)>0，

又a<5,b<4,c<3,

所以a,b,c∈(0,1),且f(a)>f(b)>f(c),

所以0

【例2】(2020·全國卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解析：由題設知2a+log2a=4b+2log4b=22b+log4b2.

又因為log4b2=log2b=log22b-1，

所以2a+log2a=22b+log22b-1,

從而2a+log2a<22b+log22b.

同構函數f(x)=2x+log2x,x∈(0,+∞)?f(a)

又因為f(x)在(0,+∞)上為增函數，所以a<2b,故選B.

【例3】已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1)

(2)方法一：由f(x)≥1,可得aex-1-lnx+lna≥1,

即ex-1+lna-lnx+lna≥1,即ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx,

令g(t)=et+t,則g′(t)=et+1>0，所以g(t)在R上單調遞增,

所以g(lna+x-1)≥g(lnx)?lna+x-1≥lnx,

即lna≥lnx-x+1,令h(x)=lnx-x+1,

當00,h(x)在(0，1)上單調遞增;

當x>1時，h′(x)<0,h(x)在(1，+∞)上單調遞減,

所以h(x)≤h(1)=0,因為lna≥0所以a≥1，故a的范圍為 [1,+∞).

方法二：由f(x)≥1可得aex-1-lnx+lna≥1,x>0,a>0,

即aex-1-1≥lnx-lna,設g(x)=ex-x-1,g′(x)=ex-1>0恒成立,

所以g(x)在(0，+∞)上單調遞增，所以g(x)>g(0)=0，

即ex>x+1，

所以h(x)≥h(1)=0?x-1-lnx≥0?x-1≥lnx，

所以ex-1≥x,則aex-1≥ax,此時只需要證ax≥x-lna，即證x(a-1)≥-lna，

當a≥1時，x(a-1)>0>-lna恒成立，

當0

綜上所述,a的取值范圍為[1,+∞).

設計意圖：指對同構具有很強的技巧性，對學生的觀察能力、變形能力要求較高，因此，在平時教學時，要讓學生體會怎樣變形、配湊系數常數.要鼓勵學生不畏難，敢于動手，培養他們自主探究的能力，合作交流的團隊精神，歸納反思的良好習慣.

四、回歸梳理，提煉升華

雖然我們很多題都可以一題多解，但正所謂，同構出馬，技壓群雄，不僅可以秒殺壓軸小題，也可以簡化導數大題，同構思想放光芒，轉化之后天地寬.

同構主要包括：

一個主題：指對跨階，參數不易分離，參數出現2次或4次要同構.

兩條途徑：比形同構，換元同構.

三點注意：定義域，單調性，子函數的整體范圍.

四種思想：化歸與轉化，數學抽象，邏輯推理，數學運算.