取素養之勢 明邏輯之道 優數理之術
——對一道模考導數壓軸題的解法審視和優化

陜西 巨小鵬

導數壓軸題具有綜合性，對邏輯推理和數學運算都有著非常高的要求，近幾年的高考導數壓軸題思考方式具有普遍性但也頗具靈活性.通過審視課堂教學內容，反思什么才是我們需要去關注的核心問題，如何培養學生推理論證和運算求解能力？本文通過對一道高三月考導數壓軸題的剖析，對數學邏輯推理和數學直觀做了一題多解的闡述，對構造函數和解法計算進行優化，即以數學核心素養為導向，深刻理解邏輯推理之道及優化數理運算之術.

1.試題呈現

已知函數f(x)=aln(x-1)+x2+(a-2)x-a+1．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)存在極值，且f(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍.

2.解法剖析

2.1 通性通法是法寶，數學直觀是方向

史寧中教授說：“對于任何學科的教學，最終都應當把培養學生的學科直觀作為重要的價值取向.”數學直觀是我們解題的首選方向，借助圖形通過直觀建立思維架構，構建邏輯，形成思想理論，即始于直觀，成于推理，終于理念.

解析：(1)方法一：由題意，函數f(x)=aln(x-1)+x2+(a-2)x-a+1,a∈R,

可得f(x)的定義域為(1,+∞)，

令g(x)=2x2+(a-4)x+2.

令Δ=a(a-8)≤0,即當0≤a≤8時，f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上單調遞增，則當a≥0時，f(x)在(1,+∞)上單調遞增.當a<0時，方法同上.

①當a≥0時，2t2+at+a>0，即f′(t)>0，所以f(t)在(0,+∞)上是單調遞增；

②當a<0時，令2t2+at+a=0，則Δ=a(a-8)>0，

綜上所述，當a≥0時，f(x)在(1,+∞)上單調遞增；

評注:方法一通過對二次函數對稱軸分類討論，但是極少有人想到，大多數人想到的是方法二，根據韋達定理判斷，然而對a分類討論a∈(0,8)和a∈(-∞,0)∪(8,+∞)，沒有檢驗導致分類錯誤，方法三通過換元，將函數簡單化，分類討論起來思路就比較清晰，所以換元是簡化運算的一種極為重要的方法，不可小覷，這個在第二問中也有所體現；方法四對方法二稍微做了優化，分類討論的思路也就更加清晰.作為大題第一問，往往都是常規考查，方法也會比較常規，考查函數單調性無非就是分析法、定義法或者求導函數法.

(2)方法一：由(1)可知，若f(x)存在極值，

則φ(t)在(0,+∞)上單調遞減.

因為φ(1)=0，所以當t∈(0,1)時，φ(t)>0，h(t)在(0,1)上單調遞增；當t∈(1,+∞)時，φ(t)<0，h(t)在(1,+∞)上單調遞減，

評注：分離參數是求參數取值范圍的常見方法，整體分離很常見，換元也大大降低了運算量.

2.2 調整方案，感受必要性探路的完美解答

G·波利亞在名著《怎樣解題：數學思維的新方法》中寫道：“當我們最后得到的解答既長又復雜時，我們很自然會懷疑是否還有某個比較簡潔而少迂的解答：你能以不同的方式推導這個結果嗎？你能一眼就看出來嗎？然而即使我們已經成功地找到了一個滿意的解答，我們仍然會對找到另一種解答感興趣，正如我們希望通過兩種不同的途徑使我們確信一個理論結果的有效性.在有了一種證明后，我們還想找到另一種，就好像我們在看到一個物體以后，還希望觸摸它.”“沒有任何一個題目是徹底完成了的.總還有些事情可做，在經過充分的研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進，而且無論如何，我們總可以深化我們對答案的理解.”除了數學直觀解決問題，通過聯想、猜測和預判在求實數取值范圍問題中也顯得尤為重要，平時講題過程中培養學生“數感”，在細微處見真知，在“數感”中見逆向思維的奇妙變化，引領學生的思維朝邏輯終點探索，所以必要性探路是解題思維的一個方向.

(2)方法二：由(1)可知，若f(x)存在極值，則a<0.

令t=x-1>0則g(t)=alnt+t2+at,

因為f(x)≥0恒成立，當x=2 時，f(2)=a+1≥0.必有a≥-1，即-1≤a<0.

充分性證明如下：

因為lnt≤t-1 且a<0，所以alnt≥a(t-1)，

即g(t)=alnt+t2+at≥t2+2at-a，

此時Δ=4a(a+1)≤0，即-1≤a≤0,

所以當-1≤a<0時，g(t)≥0成立，符合題意.

方法三：充分性證明如下：

因為lnt≤t-1 ，則g(t)=-a(t-lnt-1)+t2+2at-a=-a(t-lnt-1)+(t+a)2-a(a+1)≥0，所以a的取值范圍為[-1,0).

方法四：充分性證明如下：

可知g′(-a)=-a-1<0,g′(1)=2a+2>0.

則有t0∈(-a,1]使得g′(t0)=0，

評注：必要性探路法，必要性很簡單，證明充分性角度稍有不同，必要性探路是一種很重要的思想方法，讓必要性和充分性完美結合，完成充要的合理解答，但是需要強大的數學基礎和邏輯推理做支撐，難點在于如何確定取值.

2.3 算思結合，利用隱零點優化解題思路和運算方法

羅增儒教授說過：“解一道題忘一道題，或在同一思維層次上重復做好幾道題，并不能獲得解題能力的提高.注重解題過程的分析與改進，就是力圖通過解‘有限道題’來獲取‘無限道題’的那種教學機智.”他還說：“信息交合就是抓住整體分解中提煉出來的本質步驟，將信息單元轉換或重組成新的信息塊，這些新信息塊的有序化將刪去多余的思維回路，將用更一般的原理去集中現存的許多過程，將用一個簡單的技巧去替代現有的常規步驟.于是，一個新的解法誕生了.”在解題中，設而不求也是一種解題策略，其優點是將信息交合，簡化運算過程，解決核心問題，特別是利用導數求解過程中，隱零點法是解題的另一個方向.

解得-1≤a<0.

因為h(2)=1-1=0，所以x0∈(1,2]，所以g(1)=a<0，g(2)=2a+2≥0,得a≥-1,解得-1≤a<0.

評注:由于方法四的啟示，方法五六不用必要性探路，利用隱零點也可以進行處理，大大簡化了計算，方法七進行了優化處理，思路也更加明晰.

3.結束語