挖掘高考命題特點 奠定復習根基

陜西 韓紅軍 李朝陽

2022年高考全國乙卷理科數學秉承了考查數學關鍵能力、思維價值、核心素養的一貫設計理念，延續了以考查運算能力為主的傳統，堅持熟而不俗，俗中有變，變而不偏，變中出新的原則，平凡問題中考查真功夫、真實情境中考查真能力.

1.試卷的特點分析與典型試題解析

1.1 密切聯系社會，注重設置現實情境

今年高考密切聯系社會，貼近生活，注重對數學基礎知識、基本技能、基本數學思想方法、基本數學核心素養的全面考查.對基礎知識的考查，并不要求學生死記硬背數學概念、公式和法則，而是注重考查學生對基礎知識的理解和把握.例如，全國乙卷理科第4題以嫦娥二號衛星在完成探月任務后繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星為情境，考查學生綜合應用數列、函數、不等式等基本知識，觀察問題、分析問題和解決問題的能力.第19題以生態環境建設為背景，考查學生應用統計的基礎知識和基本方法解決實際問題的能力，對數據處理與數學運算核心素養也做出了相應的考查.

A.b1

1.2 依據《課程標準》，注重考查主干知識和重點內容

試卷整體上保持一定比例的基礎題，起點低，入手易，設置了一些源于教材又高于教材的試題，試圖通過這一導向引導高中教師改變教學中過分依賴復習資料，脫離教材，迷信題海戰術的情況.試題的考查內容范圍和比例、要求層次與《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(全文簡稱《課程標準》)保持一致，注重考查內容的全面性，同時突出主干、重點內容的考查，其中新教材淡化的線性規劃、三視圖和程序框圖，僅考查了程序框圖，體現了向新教材靠攏的趨勢.

【例2】(2022·全國卷乙理·14)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為.

【解析】設點A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2)，圓過其中三點共有四種情況，任意兩點連接成的線段的中垂線的交點為圓心，圓心到任意一點的距離為半徑，設圓的半徑為r.

(1)若圓過A,B,C三點，則圓心在直線x=2上，

設圓心坐標為(2,a)，則4+a2=9+(a-1)2?a=3,

所以圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=13;

(2)若圓過A,B,D三點，則圓心在直線x=2上，

設圓心坐標為(2,a)，則4+a2=4+(a-2)2?a=1,

所以圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5;

(3)若圓過A,C,D三點，

則線段AC的中垂線的方程為y=x+1，

線段AD的中垂線的方程為y=-2x+5，

(4)若圓過B,C,D三點，

則線段BD的中垂線的方程為y=1，

線段BC的中垂線的方程為y=5x-7，

1.3 變中出新，注重創新試題的設計

高考數學創新試題形式引導教學更加注重核心素養和數學能力的培養，增強試題開放性，鼓勵學生運用創造性、發散性思維分析問題和解決問題，引導教學注重培育學生的創新精神.例如，全國乙卷理科第10題打破平時常考古典概型和幾何概型概率的計算，或是排列組合二項式定理的應用，而是考查獨立隨機事件概率的計算，并比較大小，也沒有具體數值，增加了思維難度.

【例3】(2022·全國卷乙理·10)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別是p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則( )

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關

B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

【解析】設該棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為p甲，在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為p乙，在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為p丙，由題意得，

p甲=p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=p1p2+p1p3-2p1p2p3，

p乙=p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=p1p2+p2p3-2p1p2p3，

p丙=p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=p1p3+p2p3-2p1p2p3，

所以p丙-p甲=p2(p3-p1)>0,p丙-p乙=p1(p3-p2)>0，所以p丙最大,故選D.

1.4 立足教材，注重考查通性通法

注重通性通法在解題中的運用，都是運用基本概念分析問題，基本公式運算求解，基本定理推理論證，基本數學思想方法分析和解決問題.試題突出對學科基本概念、基本原理的考查，強調知識之間的內在聯系，引導學生形成學科知識系統；注重本源性方法，淡化特殊技巧，強調對通性通法的深入理解和綜合運用，促進學生將知識和方法內化為自身的知識結構.

【例4】(2022·全國卷乙理·17)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明：2a2=b2+c2；

【解析】(1)證明：因為sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)，

所以sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-

sinBcosCsinA，

所以sinCsinAcosB+sinBcosCsinA=2sinBsinCcosA，

即sinAsin(B+C)=2sinBsinCcosA，

即sin2A=2sinBsinCcosA，

由正弦定理和余弦定理得,

(2)因為a=5，所以b2+c2=50.

解得2bc=31，

所以△ABC的周長為a+b+c=5+9=14.

1.5 熟而不俗，注重考查思維的深度

2022年試卷在保持難度適中的前提下，還注重考查學生的綜合能力.在試題設置上，注重層次性，讓不同能力水平的學生都能夠得到充分的展示.試卷設計了思維較為深刻的問題，體現考生的能力水平.例如全國乙卷理科第9題研究球內四棱錐體積的最大值問題，要求學生有較強的空間想象能力和分析問題能力，將問題轉化為三次函數的最值問題，進而利用導數求解.

【例5】(2022·全國卷乙理·9)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為( )

所以該四棱錐的體積

1.6 陳題變新，注重考查關鍵能力

試題沒有出現偏題怪題，考生解題所需方法也是平時訓練中常用的方法，但試題命制沒有落入俗套，要求考生具備堅實的數學基礎、迅速準確的運算求解能力和靈活多變的解題方法.不少試題扎根于基礎，然而，解題思路、方法等具備創新性.

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

【解析】若y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱，

則g(2-x)=g(2+x)，因為f(x)+g(2-x)=5，

所以f(-x)+g(2+x)=5，故f(-x)=f(x)，

所以f(x)為偶函數.

由g(2)=4，f(0)+g(2)=5，得f(0)=1.

由g(x)-f(x-4)=7，得g(2-x)=f(-x-2)+7，

代入f(x)+g(2-x)=5，得f(x)+f(-x-2)=-2，

f(x)關于點(-1,-1)中心對稱，

所以f(1)=f(-1)=-1.

由f(x)+f(-x-2)=-2，f(-x)=f(x)，

得f(x)+f(x+2)=-2，

所以f(x+2)+f(x+4)=-2，

故f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期為4.

由f(0)+f(2)=-2，得f(2)=-3，

又f(3)=f(-1)=f(1)=-1，

2.教學啟示

2022年全國乙卷理科命題歸納起來有“二十八字秘訣”：夯實基礎考內功、關注思想強應用、提升能力重通法、升華素養追本真.

2.1 注重回歸教材，有效訓練深度思維

在復習備考時，以教材為本，對教材上的例題、知識點加以概括、提高和延伸，做到舉一反三，達到觸類旁通的效果.只有充分挖掘教材例、習題的功能，才能深刻理解教學內容的實質，挖掘教學內容內涵，實現質的突破.每年的高考數學試卷中,都有部分試題源于教材，高于教材.

2.2 關注數學實用性，大力培養關鍵能力

全國乙卷理科對考生的計算與邏輯思維能力的要求有所提高，特別是客觀題，常是兩或三個知識點的綜合交匯，每一步計算均需細心，要加強學生的運算求解能力，多角度去培養發展學生的邏輯思維能力.同時關注數學應用，關注身邊科技發展中的大事、有意義的事、老百姓重視的事、社會反響大的事、能向社會傳遞正能量的事，關注數學史和數學文化，這些事情和歷史文化都有可能與數學知識、數學思想方法結合起來命題.

2.3 強化主干知識，體現“雙減”落地

高三數學復習過程中要針對主干知識、重點方法和主要數學思想進行突破，少做偏題與怪題.分析近五年的全國卷，概率與統計、立體幾何、解析幾何、函數與導數及不等式，依然是解答題考查的重點；解三角形和數列，輪換在解答題中出現.特別注意，全國卷對概率與統計的考查力度較大，全面考查概率與統計的基本思想和方法以及學生的綜合能力和數學核心素養，充分體現了以核心知識為重點、以基本問題為載體、以現實生活為背景的交匯命題特點，平時教學中，要精心選擇優質試題，深度挖掘試題的價值和功能，在試題變式、問法和拓展上下功夫，將學生“下題海”轉變為教師“下題海”，優中選寶，題目針對性要強.

2.4 培養良好學習習慣，形成數學意識和核心素養