一種基于數字正交變換的頻率估計算法

楊 坡，韓光威

(中國船舶集團有限公司第八研究院，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

在對周期信號的分析中，頻率用來表征信號在某段時間內的大致特征。對于典型的周期信號，正弦信號的頻率一般定義為其周期的倒數；而對于非周期信號，雖然沒有固定的周期，但是可以通過傅里葉級數將非周期信號轉換成多個不同頻率正弦信號的加權組合，進而可以通過分析各個不同頻率正弦信號的特征得到原信號的總體特征。

頻率估計是指通過對獲得的信號采樣值進行變換以及計算，從而估計出淹沒在背景噪聲下的信號的頻率。信號的頻率估計在雷達定位、語音信號處理等領域應用廣泛。例如當雷達獲取了一段輻射源的信號后，通過對其頻率的精確估計，可以大致知曉其飛行特征，甚至可以推算出其速度及距離等信息。

本文提出了一種基于數字正交變換的頻率估計算法，該算法首先利用數字正交變換獲得解析信號，再利用解析信號的相位信息進行頻率估計，突破了傳統算法分辨率的限制，算法簡單，易于實現。

1 基于數字正交變換的頻率估計算法

1.1 Welch算法

1965年，Cooley和Turkey在《計算數學》雜志上提出了快速傅里葉變換(FFT)算法，使得FFT和頻譜分析得到了快速發展，周期圖的譜估計方法得到了廣泛應用；1967年，Welch提出的修正周期圖法是工程實踐中應用最為廣泛的經典譜估計方法，該算法在平均周期圖法的基礎上進行了改進，可以在保持原算法譜估計性能的同時改善其分辨率。對數據分段處理后分別加窗，再計算平均周期圖，此方法改善了因分段數增加給分辨率帶來的影響，另外各段可以使用不同的窗函數，這樣可以改善由于矩形窗旁瓣較大所產生的譜失真，從而保證得到的譜是漸進無偏的估計。Welch算法步驟如下：

(1) 假設隨機信號()有個觀察點，則信號的傅里葉變換為：

(1)

(2) 對式(1)進行譜估計可得：

(2)

(3) 把()平均分為段，每段數據長度為點，分別對段數據計算其周期圖，段與段之間部分重疊，由此可以得到功率譜表達式為：

(3)

(4) 對式(3)的功率譜進行搜索，找到最大值并記下其索引號，則Welch算法的頻率估計為：

(4)

為了較好地估計出功率譜，加窗處理和平均處理都需要同時兼顧減小隨機起伏和保證一定的譜分辨率2個方面：由于Welch算法將各段數據進行了重疊處理，從而使得數據段數得到了增加，大大改善了估計的方差，相當于減小了數據的隨機起伏，可是各段數據的不相關性也由于數據的重疊而減小，因此估計的方差不會減小到理論的程度。

1.2 基于數字正交變換的頻率估計算法

Welch算法是基于功率譜的頻率估計，僅僅利用了頻譜的幅度信息，而利用相位信息也能提高頻率估計精度。

通常接收到的信號往往是實正弦信號的形式，這就需要通過對信號進行正交變換從而得到解析信號和信號的相位信息。最為常用的獲得解析信號的方法是數字Hilbert變換，該方法的正交性能由濾波器的階數決定，通常只有當濾波器的階數達到上百階時才能獲得較好的濾波性能，這限制了該方法的應用范圍。基于數字正交變換的頻率估計算法首先利用數字正交變換獲得解析信號，再利用解析信號的相位信息進行頻率估計，突破了傳統算法分辨率的限制，算法簡單，易于實現。算法的原理和步驟如下：

(1) 已知一個實信號()，將其解析形式表示為：

(5)

(6)

解析信號與其原信號在頻域上的關系為：

(7)

由式(7)可以看出，通過如下方法可得到原信號的解析信號：對原信號作FFT，將雙邊譜的負頻率部分置0，再將正頻率部分的頻譜擴大2倍，最后求反快速傅里葉變換(IFFT)。這樣得到的解析信號避免了對原信號的Hilbert濾波，克服了Hilbert濾波器帶來的幅、相不平衡。由于其利用了FFT/IFFT的固有特性，結構規整，運算速度較高，能夠滿足頻率估計的實時性要求。

根據瞬時頻率的定義可知，信號的瞬時頻率為信號的相位對時間的導數，則信號的頻率估計為：

(8)

2 仿真與分析

2.1 目標直線運動

實驗參數：目標的初始速度為10 m/s，初始航向為20°(與軸正方向的夾角)；采樣率為2 000 Hz，信號頻率為284.519 Hz，初相為π/3。目標的運動方式如下：0～100 s作勻速運動；100～110 s作勻加速運動，加速度為0.01 m/s；110 s～200 s作勻速運動。觀測數據長度為4 000點。

圖1是信噪比為0 dB時Welch算法和基于數字正交變換的頻率估計算法對信號頻率的跟蹤性能；圖2和圖3是不同信噪比下Welch算法和基于數字正交變換的頻率估計算法100次頻率估計的均方根誤差和估計偏差。

圖1 算法對信號頻率的跟蹤

圖2 不同信噪比下的均方根誤差

圖3 不同信噪比下的估計偏差

2.2 目標曲線運動

實驗參數：目標的初始速度為10 m/s，初始航向為20°(與軸正方向的夾角)；采樣率為2 000 Hz，信號頻率為284.519 Hz，初相為π/3。目標的運動方式如下：0～20 s作勻速運動；20～60 s作勻速圓周運動，半徑為800 m；60 s～200 s作勻速運動。觀測數據長度為4 000點。

圖4是信噪比為0 dB時Welch算法和基于數字正交變換的頻率估計算法對信號頻率的跟蹤性能；圖5和圖6是不同信噪比下Welch算法和基于數字正交變換的頻率估計算法100次頻率估計的均方根誤差和估計偏差。

圖4 算法對信號頻率的跟蹤

圖5 不同信噪比下的均方根誤差

圖6 不同信噪比下的估計偏差

由圖1和圖4可以看出，在一定的信噪比下，基于數字正交變換的頻率估計算法能夠較好地跟蹤信號頻率，同時突破了Welch算法的頻率分辨率的限制；由圖2、圖3、圖5和圖6可以看出，在信噪比為-7 dB～0 dB時，基于數字正交變換的頻率估計算法性能好于Welch算法，且該算法不需要頻率的粗略估計，實現較為方便，當信噪比低于-7 dB時，算法的估計精度不及Welch算法，且隨信噪比的降低性能急劇下降。

3 結束語

分析比較了Welch算法和基于數字正交變換的頻率估計算法，前者是基于功率譜的頻率估計算法，后者是基于相位信息的頻率估計算法。仿真表明，相位差法估計精度較高，但穩定性相對較差；基于數字正交變換的頻率估計算法在信噪比較高時表現優異，且算法實現最為簡單，并且算法突破了頻率分辨率的限制。