基于半正定松弛的賦形方向圖主瓣波紋控制方法

竇修全，胡孟凱，杜宇峰，苗 峻

(1.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.河北省電磁頻譜認(rèn)知與管控重點實驗室，河北 石家莊 050081)

0 引 言

賦形方向圖綜合技術(shù)可以實現(xiàn)特定區(qū)域的照射，提高能量增益，因此該技術(shù)在雷達(dá)、聲吶、衛(wèi)星通信等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。近年來，研究人員已經(jīng)提出了很多賦形方向圖綜合方法。這些方法大致可以分為以下幾類。一類是基于梯度的優(yōu)化方法，李欣等提出了一種基于Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)的賦形方向圖綜合方法，J.Liang等提出了2種基于交替方向乘子法(ADMM)的方法，但這類方法需要多次迭代，且容易陷入局部最優(yōu)解。另一類是基于進(jìn)化算法的優(yōu)化方法，D.W.Boeringer等提出了一種基于粒子群優(yōu)化(PSO)的方法，Y.Jiang等提出了一種基于遺傳算法(GA)的優(yōu)化方法，這類方法可以找到全局最優(yōu)解，但需要調(diào)整大量參數(shù)。另外，還有一類基于凸松弛的方法，這類方法是目前應(yīng)用最多的，B.Fuchs等提出了一種基于序貫凸優(yōu)化(Sequential convex optimization)的方法，B.Fuchs提出了一種基于半正定松弛(SDR)的方法，P.Cao等提出了一種基于二階錐規(guī)劃(SOCP)的方法，Q.Lu等提出了一種基于一階迭代凸近似的方法。這類方法通過約束主瓣和旁瓣的幅度尋找可行解，從而使得到的方向圖逼近期望的賦形方向圖，但當(dāng)給定的主瓣約束不合適時，往往找不到可行解。針對這一問題，本文提出了一種基于半正定松弛的主瓣波紋控制方法，該方法將主瓣波紋控制表示為一個最優(yōu)化問題，然后通過半正定松弛技術(shù)得到該問題的解。仿真結(jié)果表明，該方法更加穩(wěn)定，使賦形方向圖綜合問題總能找到可行解，且能有效地降低賦形方向圖的主瓣波紋。

1 問題建模

假設(shè)有一均勻線陣，如圖1所示，陣元數(shù)為，陣元間距為，則該陣列的陣因子為：

圖1 均勻線陣模型

(1)

式中：和分別為各陣元激勵的幅度和相位；=2π，為波數(shù)，為波長。

令：

(2)

(3)

則式(1)可改寫為矢量形式：

()=()

(4)

式中：為激勵矢量；()為導(dǎo)向矢量。

已有的方法通過約束主瓣和旁瓣的包絡(luò)來尋找可行解，可用如下模型表示：

式中：表示主瓣區(qū)域；()和()分別表示主瓣的下界和上界，上界與下界的差值表示主瓣的波紋；表示副瓣區(qū)域；()表示副瓣的上界。

但是當(dāng)給定的主瓣約束不合適時，比如式(5b)中的上界與下界太接近時，該方法可能找不到可行解，但如果上界與下界相距較遠(yuǎn)時，主瓣波紋又會過大。針對這一問題，本文提出了基于半正定松弛的主瓣波紋控制方法。該方法將主瓣波紋控制表示為一個最優(yōu)化問題，既能保證總能找到可行解，又能盡可能降低主瓣波紋。根據(jù)這一思想，可將式(5)改寫為：

式中：()表示期望的主瓣形狀；2表示主瓣波紋的大小。

式(6)的含義是在獲得期望的賦形方向圖的同時，最小化主瓣波紋。

2 優(yōu)化求解

式(6b)包含非凸約束，所以式(6)為一個非凸問題，很難直接優(yōu)化求解，因此本文采用半正定松弛技術(shù)來求解。

首先對式(6)進(jìn)行等價變換，令=，=()()，則式(6)等價于：

式中:僅有式(7e)為非凸約束，忽略該約束，可得到一個標(biāo)準(zhǔn)的凸問題，該問題可通過CVX求解。

在得到最優(yōu)解后，為了滿足式(7e)，還需要從中抽取秩1向量，常用的方法為特征值分解，即最優(yōu)的激勵向量為:

(8)

式中：為的最大特征值;為其對應(yīng)的特征向量。

3 仿真實驗

為了驗證該方法的有效性，本文進(jìn)行了一組仿真實驗，對比了本文方法和文獻(xiàn)[10]中方法實現(xiàn)的不同參數(shù)的平頂方向圖的主瓣波紋大小。仿真參數(shù)設(shè)置為：陣元數(shù)=20，陣元間距=2。所有實驗都在64位PC機(jī)上完成，CPU為Intel Core (TM) i5-7500 CPU，隨機(jī)存儲器(RAM)為4 GB，使用的仿真軟件為64位的MATLAB R2012b。

圖2～圖4對比了波束中心相同、波束寬度不同的平頂方向圖，圖3與圖5對比了波束中心不同、波束寬度相同的平頂方向圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，本文提出的方法均能獲得比參考方法更小的主瓣波紋，盡管僅提高了約0.1 dB，但將主瓣波紋控制表示為一個最優(yōu)化問題，避免了人工設(shè)置參數(shù)不合適時可能找不到可行解的問題，因此，該方法更加穩(wěn)定。

圖2 波束中心為90°，波束寬度為20°的平頂方向圖對比

圖3 波束中心為90°，波束寬度為30°的平頂方向圖對比

圖4 波束中心為90°，波束寬度為40°的平頂方向圖對比

圖5 波束中心為60°，波束寬度為30°的平頂方向圖對比

4 結(jié)束語

已有的賦形方向圖綜合方法在給定的主瓣約束不合適時，可能找不到可行解，因此不能有效地控制主瓣波紋。針對這一問題，本文提出了一種基于半正定松弛的主瓣波紋控制方法，該方法將主瓣波紋控制表示為一個最優(yōu)化問題，然后通過半正定松弛技術(shù)得到該問題的解。仿真結(jié)果表明，該方法更加穩(wěn)定，使賦形方向圖綜合問題總能找到可行解，且能有效地降低賦形方向圖的主瓣波紋。