在深度學習中學會探究

黃文亭

（廣東省深圳市深圳外國語學校龍華學校初中部，廣東 深圳 518000）

1 基于價值判斷的教學分析

筆者認為鉛直高水平寬專題教學的價值體現在以下兩個方面：

1.1 在探究學習的過程中提升深度學習能力

在近幾年全國各地中考試題中，經常出現與平面直角坐標系中三角形面積有關的問題，這類試題大多與一次函數、二次函數及反比例函數的圖像相結合，形式靈活多樣，具有一定的綜合性。隨著三角形面積問題的涌現，針對此問題的方法研究越來越多，其中鉛直高水平寬就是一種方便快捷的求解方法。而對于此方法多數教師是粗略講述原理便給出結論，通過一定量的習題教學生應用結論，但學生未必深刻理解方法的來龍去脈。筆者認為，深度學習其中的原理和這個面積求解方法的生成過程有助于加深學生對圖形的理解，避免結論的生搬硬套而出現錯誤套用。選擇在八年級上冊學習完平面直角坐標系和一次函數后補充鉛直高水平寬的內容，意在為后續使用鉛直高水平寬解決坐標系中復雜的三角形面積問題做鋪墊。更重要的是通過這個學習過程教會學生認識世界的一種方式——探究，讓學生在學習中扮演探索者、發現者、研究者的角色，激活學生的觀察意識和思考能力，提升深度學習能力。

1.2 深化幾何性質學習的一般思路

本節課是三角形面積問題的拓展探究性內容，主要探究直角坐標系下三角形面積求解的新方法，在割補原理的基礎上對發現的結論進行更深一步的探究，挖掘結論中兩條線段的本質，總結提升為新的性質命題。在探究過程中貫穿幾何性質教學的思路：觀察分析—猜想—驗證—歸納總結—應用，讓學生充分領會幾何學習的一般思路，體驗用一脈相承、一以貫之、一如既往的思維方法去理解、學習、探究新的數學知識，提升學生的數學專業素養。

2 基于教學分析的目標制定

2.1 學情分析

學生在此之前剛學習了平面直角坐標系和一次函數，能夠在平面直角坐標系當中用坐標表示線段長度以及求解一些基本圖形的面積。對給定的一次函數能夠求解點的坐標，也會根據已知點的坐標求解一次函數表達式。剛學完一次函數，學生在練習中獲得了一些成功的體驗，此階段學生思維活躍，樂于挑戰有難度的問題。

2.2 教學重點

通過探究坐標系下三角形面積求解的不同方法，最終得出三角形面積表示的新方法鉛直高 水平寬。

2.3 教學難點

理解新方法是對割補法的升華，并掌握新方法中鉛直高和水平寬的構建方法。

3 基于目標制訂的教學實踐

3.1 創設情境，揭示問題

師：如圖1，你能表示圖中線段的長度嗎？

圖1

生：平行于x軸的線段用兩端點的橫坐標之差的絕對值來表示，平行于y軸的線段用兩端點的縱坐標之差的絕對值來表示。

師：很好，同學們會使用坐標來表示線段的長度，那么是否能夠用坐標來表示圖形的面積呢？

師：如圖2，△AOB的面積怎么求？

圖2

生1：二分之一的底乘以高。

師追問：請具體說明一下誰為底，誰為高，面積具體的表達式？

問題 1：如圖3，如果將 B點做一個小小的變動，△AOB的面積怎么求？生：割補法！

圖3

師追問1：到底是割還是補？割成什么樣？補成什么樣？

生2：補成正方形，三角形面積用大正方形面積減去旁邊三個小三角形的面積。

生全體：不好算，底和高都不好求。

師追問3：什么樣的底和高才叫“好求”？

生3：平行于坐標軸。

生4：水平或豎直的。

師：那我們做個約定便于溝通，把像圖2這種有一組橫平豎直的底和高的三角形稱為“標準三角形”，圖3這種三組底和高都是傾斜的三角形稱為“非標準三角形”。

設計意圖：由學生熟悉的面積問題入手，通過變式轉換引導學生將坐標系下三角形分為兩類──標準和非標準三角形，并認識到這兩類圖形的面積求解方式有區別，非標準三角形的面積問題要轉化為標準三角形的面積問題。讓學生感受化歸與轉化這一數學思想，學會將陌生難解的問題轉化為熟悉會解的問題，揭示本節課探究性學習內容的問題來源。

3.2 觀察分析，得出猜想

問題2：標準三角形的面積可以用面積公式，今天我們就以圖3為例來探究平面直角坐標系中非標準三角形的面積有哪些求解方法。剛才大家都不約而同想到了割補法，實際上大家用的是割補中“補”的思想，補成長方形，把問題變成求長方形面積和標準三角形的面積。除此之外你能想想“割”的方法嗎或者你有其他“補”的思路嗎？

生4：如圖4把三角形割成兩個小的標準三角形，△AOB面積等于這兩個小三角形的面積之和。

圖4

師：還有其他方法嗎？

生5：如圖5，和剛才同學4的方法差不多，把橫著割變成豎著割。

圖5

生獨立推導面積的表達式，得到

問題3：大家是否感覺這兩種方法很相似，它們有什么共同特征嗎？

生6：其實兩個方法本質一樣，面積都是二分之一公共底乘以高之和。

師：也就是說兩個面積表達式中線段的幾何意義是相同的，除此之外，觀察圖中面積表達式的這兩條線段還有什么特征嗎？

生交流探討得出：①這兩條線段互相垂直；②這兩條線段都平行于坐標軸或者在坐標軸上。

師：能否直觀描述一下這個公共底？

生：BC、AC就是公共底，就是從三角形一個頂點出發作的切割線。

師：這個高之和呢？它是求解三角形面積過程中推導出來的，也和這個三角形緊密聯系，那能否用和這個三角形相關的元素來描述“高之和”？

生在描述高之和與三角形之間的關系時出現困難。

師：如圖6，在坐標系當中我們常說的距離就是點和點之間的直線距離，其實在坐標系中兩點之間有三種距離，一種是我們常說的直線距離，另外兩種是這兩個點在水平方向上和豎直方向上的距離，簡稱水平距離和鉛直距離。有了這個定義，高之和OD你覺得可以怎么描述？

圖6

生：三角形兩個頂點的鉛直距離或水平距離。

問題4：切割線和兩個頂點之間的水平距離或鉛直距離是隨意搭配的嗎？他們之間有沒有什么對應關系？

師生共同探討得出：①水平切割線配鉛直距離，豎直切割線配水平距離。②三角形一個頂點做切割線，則剩余兩個點取水平距離或鉛直距離。

問題5：通過前面的探究，我們發現非標準三角形面積求解可以用割補法，且不同割補方式原理相同，得出的面積表達式也十分相似。那是否意味著我們可以找到更直觀的規律可以跳過割補原理一步步的推導，直接找到相應的線段乘積，從而節省時間。對此，你是否有些想法或者猜想？與大家分享。

生7：非標準三角形AOB的面積可以用兩條互相垂直的線段的乘積的一半來表示，其中一條線段是三角形一個頂點引出的切割線（公共底），另一條是三角形剩余兩個頂點之間的水平距離或鉛直距離（高之和）。

設計意圖：讓學生觀察思考，對兩種割補方法進行對比和總結，多法歸一，探究得出兩種方法的本質都是割補，面積表達式就是公共底和高的式子，培養學生的數學表述能力和思考總結能力。再引導學生思考結論中線段的幾何特征，通過問題5，解答學生心中的困惑──“原理已經明晰，還要探究什么？”，讓學生明白本節課的探究是對割補法的升華。

3.3 驗證猜想，得出結論

問題6：剛才通過割補法我們找到圖3面積可以用兩種切割線來表示，從而得出的猜想，說明這兩種都符合猜想，我們需要驗證的是什么？

生8：驗證圖3如果取其他的切割線和對應的水平距離或鉛直距離，是否也可以正確表示三角形的面積。

生9：驗證其他的非標準三角形，該式子是否都成立。

師：剛才是從B點出發作水平切割線，A點出發作豎直切割線，那△AOB中還有哪些切割線？

生10：每個點出發可以作水平或者豎直的切割線，共三個頂點，所以還有4條切割線。分別是從B點出發作豎直切割線，A點出發作水平切割線，O點出發作水平或豎直的切割線

師：我們一起來驗證一下猜想對于B點出發作豎直切割線的情況是否成立。

問題7：如圖7，B點作豎直切割線，可這條線與三角形三邊并無交點，是否意味著猜想失效？此時的切割線存在嗎？存在的話在哪里？

圖7

生：存在，如圖8與OA延長線相交可得到另一個交點C，線段BC就是切割線。師：△AOB的面積怎么求解呢？

圖8

生：大三角形減小三角形。

師：這個結果是否與我們的猜想一致？請同學分析一下

生：一致，BD是B點引出的豎直的切割線，此時OA兩點的水平距離就是OF。

剩余還有三種情況，學生自己畫圖推導驗證，進一步肯定猜想是正確的。

師：通過大家的嚴謹求證，現在我們可以很自信地說猜想是正確的，可以將它作為已知正確的結論加以使用。為了便于溝通交流，我們把發現的結論中涉及的線段取個專有名詞，一般地，我們稱非標準三角形中水平或豎直的切割線為“水平寬”，兩點之間的水平或鉛直距離為“鉛直高”。

通過今天的探究，我們得出了非標準三角形面積求解的新方法：鉛直高 水平寬。

其中鉛直高是指由三角形某一頂點引出的水平/豎直的切割線，水平寬指剩余兩點之間的豎直/水平距離。

設計意圖：通過讓學生嘗試獨立驗證猜想，促使學生深度思考需要驗證什么，如何驗證。在驗證過程中有的學生可能找不到其他切割線，促使學生更深層去分析切割線的本質——在內是割線，在外則是補線，割補統一，從而正確找到切割線。學生經歷獨立驗證的過程，同時也在不斷加深對結論的理解，反復推敲思考，不斷自我質疑和完善，達到深度學習的目的。

3.4 應用新知

如圖9，請同學們作出它的六組鉛直高和水平寬，將面積用線段乘積來表示。

圖9

4 基于教學實踐的思考

筆者在課堂上根據預設和學生的生成進行了以上教學嘗試，并結合實踐有如下幾點思考：

4.1 補充內容要充分考慮學情，教學設計遵循一般教學步驟

本節課是教材之外的補充內容，沒有標準教學內容，筆者在教學過程中充分考慮學情，做好與已學知識的銜接，將所學知識與以往知識串聯起來，形成完整的知識體系。在課堂開頭由熟悉的三角形求面積引出本節課探究的非標準三角形面積問題，讓學生清晰地知道這節課學什么，為什么學。鉛直高水平寬的結論類似于幾何定理，因此筆者設計的教學過程與課內幾何定理教學的思路保持一致，讓學生經歷“觀察—猜想—驗證—歸納—應用”的過程，最終得出結論。一以貫之的教學方法能夠讓學生學會遷移理解，以后遇到類似的幾何探究，學生能有方向、有順序地進行探究。

4.2 幾何定理教學中要滲透建模的基本思想

筆者在環節（二）中設計了問題串引導學生逐步發現結論以及結論中線段的幾何本質，抽象出非標準三角形面積模型切割線 水平距離或鉛直距離，這是第一次建模。在環節（三）中，通過驗證結論的正確性，不斷完善第一次建模的結果，得出鉛直高 水平寬，這是第二次建模。探究過程中對面積表達式的化簡整理以及對結論線段的再探究，多次體現簡化、優化的思想，明晰本節課探究的目標是優化、簡化割補法。

4.3 幾何定理教學中要滲透推理的基本思想

筆者在教學過程中引導學生將非標準三角形面積問題轉化為標準三角形的面積問題，滲透化歸與轉化的數學思想，緊接著探索不同割補法的結論本質，引導學生橫向對比并歸納共同特征，體現數學的歸納思想，在驗證猜想環節，應對學生找不到切割線的情況，引導學生仔細觀察已找到的切割線，類比得出了新的切割線是在三角形外，最后以應用的形式讓學生將結論應用于其他的非標準三角形。在整個教學過程中多次以問題串的方式調動學生的興趣，激發學生深度思考的能力，發展學生深度學習能力，落實數學學科核心素養。