數形結合思想方法的內涵、價值及教學策略

福建省寧德市東僑經濟技術開發區第二小學 肖麗梅

一、數形結合思想方法的內涵

《數學課程標準》明確指出：數學是研究數量關系和空間形式的科學。數量關系常擴展為抽象的、形式化的數學對象，如數、式、方程等，我們稱之為“數”；空間形式常擴展為有形的、可視的數學對象，如圖形、圖像、曲線等，我們稱之為“形”?！皵怠睒嫵闪藬祵W抽象化的符號語言，“形”構成了數學直觀化的圖形語言，各有各的優勢。“數”與“形”是數學中的兩個最基本的研究對象，它們是有聯系的，在一定條件下可以相互轉化。把數學問題的數量關系和空間形式結合起來考察，根據解決數學問題的實際需要，可以把“數”問題轉化為“形”的問題去討論，或者把“形”的性質問題轉化為“數”的問題來研究，利用數形相互轉化、取長補短，這就是“數形結合思想”。它既是一種非常重要的數學思想方法，是一種數學意識，也是一種有效的教學方法。它在數學教學中的應用一般可分為兩種情形：一是借助數的精確性、程序性和可操作性來闡明形的某些屬性，即“以數解形”；二是借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數之間的關系，即“以形助數”。兩者相輔相成、揚長避短。正如數學家華羅庚說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微。

二、數形結合思想方法在計算教學中的價值

計算教學是小學數學教學的重要內容之一，也是小學生必須掌握的基本技能。運算能力在2011版課程標準中作為十大核心詞之一被提出，更是凸顯計算教學的重要性。近年來，隨著計算教學理念的不斷更新，越來越多的一線教師注重引導學生在理解算理的基礎上歸納算法，實現算理與算法的和諧統一。如何有效讓學生理解運算背后的道理，筆者認為運用數形結合思想的第二種情形，即“以形助數”，借助小棒圖、點子圖、方格圖等具體可感的圖形可以幫助學生理解算理。其本質就是用直觀的幾何圖形呈現抽象的算理，從而把學生的抽象思維和形象思維有機地融合起來。這樣，學生理解算理就言之有物、有跡可循了。從而使學生在掌握單一的計算方法、技能的基礎上感悟數學思想，加深對數學知識的規律和本質的認識，更好地將數學知識轉化成數學能力，發展學生的思維能力，提高學生的數學綜合素養。

三、數形結合思想方法在計算教學中的策略

（一）在低年級計算教學中利用小棒圖以形助數，直觀理解算理

縱觀蘇教版低年級的數學教材，小棒無疑是重要的學具之一，用小棒有結構地表示數，能形象表達數的組成，有助于學生感受數值。計算教學中經常采用擺小棒，能把抽象的數的運算轉化成直觀的物化動作，不但能得到計算結果，也蘊含了計算的過程與方法。教師在教學過程中要善于引導學生把小棒用好用活，利用小棒呈現計算過程，借助小棒圖的圖形語言來突破重難點，將有助于學生直觀理解計算的原理。

例如蘇教版一年級下冊《100以內的加法和減法（二）》，這個單元中加法里的進位和減法里的退位都是十進制計數法的計數規則在計算時的具體應用。學生學習時，必須理解其進位和退位原理，懂得為什么“個位滿10要向十位進1”，為什么“十位退1到個位要作10”。這既是本單元教學的重點，也是教學的難點。教學時有效進行小棒的操作，可以引導學生從形象到抽象地理解進位和退位。如教學例1：24+6時，學生會根據已有的兩位數加一位數的口算思路，很自然地先算4加6得10。這時該怎么辦？讓他們擺小棒激活“10根小棒應該捆成一捆”的經驗（如圖1），形象地看出以后，再算20+10=30。這就在不進位的兩位數加一位數的基礎上，凸顯了進位加法的特點，既加強了口算的基本思路，又解決了第一步計算的得數滿10的矛盾。教學例2 ：30-8時，學生看到算式也打算像不退位減法那樣計算，但不知道先算幾減幾。這時也讓學生擺小棒計算，要想從3捆中拿走8根，必須拆開1捆變成10根，從中再拿走8根（如圖2），這里的拆一捆變10根就是退位減法中借1當十的直觀詮釋。教學兩道例題都重在引導學生擺小棒，既用了教學口算時的方法，又能直觀形象地表現出為什么進位或退位，與學生已有的數學活動經驗比較接近。這樣，進位和退位的算理更加深入人心，重難點的突破就水到渠成了。

圖1

圖2

又如教授蘇教版二年級《乘法的初步認識》時，引導學生把相同加數連加的算式改寫成乘法算式，絕大數學生能把加法“3+3+3+3+3”改寫成乘法算式“5×3”或“3×5”，也能把加法算式“5+5+5”改寫成乘法算式“5×3”或“3×5”，但是學生不能理解其中的道理。對此會有困惑：不同的加法算式怎么可以改寫成相同的乘法算式呢？借“形”助“數”，運用數形結合的思想方法，可以幫助學生深刻理解現象背后的道理。教師可以出示一組小棒圖，每行5根，擺3行。引導學生豎著看，每列3根小棒，用加法算式是“3+3+3+3+3”，表示的是5個3相加；橫著看，每行5根，用加法算式是“5+5+5”，表示的是3個5相加。所以它們都可以用相同的算式“3x5”或“5x3”來表示。這是一組簡單的小棒圖，但可以幫助學生直觀地理解乘法算式的意義，加深學生對乘法概念的理解，促進學生深度思考。

（二）在中年級計算教學中利用點子圖以形助數，溝通理解算理

中年級計算教學主要以整數乘、除法為主。教材除了兩位數乘或除以一位數依然沿用小棒圖來幫助學生理解算理外，更多的例題是引導學生在解決實際問題的數量關系中理解算理、感悟算法。對于思維水平還處在具體運算階段的中年級學生來說，如果能在分析數量關系的基礎上也用圖形語言來幫助理解算理，無疑是錦上添花的教學。

如教授蘇教版三年級下冊《兩位數乘兩位數》，這節課是整數乘法學習過程的關鍵環節之一，具有很強的基礎性。例3的教學重在意義建構兩位數乘兩位數筆算的豎式，理解為什么分兩步乘，以及每一步乘的結果為什么要寫在規定的位置上。教學時首先讓學生想辦法解決實際問題，收集能夠建構豎式的解法。兩位數乘兩位數的算法，其本質是應用乘法分配律，把兩位數乘兩位數分解成兩位數乘十位數和兩位數乘一位數，并把兩部分的結果相加。三年級學生沒有學過乘法分配律，不可能聯系運算律來理解兩位數乘兩位數的算法，只能聯系實際問題中數量關系來感悟算法。例題已知每箱南瓜24個，12箱一共有多少個？列出算式24×12后，交流算法時應突出“蘿卜”卡通的想法，即結合情境圖給的啟發：已經搬來10箱，還有2箱正在搬，可以先求10箱和2箱各有多少個，再合起來。接著利用這種算法構建乘法豎式，聯系解決實際問題的步驟，具體講述豎式的結構及其原理，有序展示豎式的形成過程（如下圖）。

教學不該到此為止，教師還需思考如何運用圖形語言溝通豎式計算的算理，讓學生體驗由算理直觀化到算法抽象化的過程，巧妙運用點子圖來探索可將這一過程具體形象地表現出來。出示點子圖，引導學生在圖中圈出點子表示豎式計算的過程（如圖3），這樣就將學生抽象的思路外顯化。指 出24×2=48、24×10=240、48＋240=288 分別在圖的哪里？針對教學中的難點“240 中的 4 為什么要寫在十位上，1 為什么寫在百位上，能在點子圖上找到它的位置嗎？ ”用問題串充分勾連了點子圖與豎式之間的聯系引發學生深度思考。

圖3

在此基礎上提煉出豎式的計算步驟與每一步的計算內容，從而歸納算法，可以將豎式過程修改如下：

這樣將點子圖的圈一圈與乘法豎式計算一一對應，溝通了直觀操作與抽象算理之間的聯系，使“先分后合”與乘法豎式計算的基本思路融為一體，讓學生明確了筆算兩位數乘兩位數就是用第二個乘數個位和十位的數依次與第一個乘數相乘，然后再把積相加。正因為通過點子圖把數形結合思想巧妙滲透，它就像一座橋梁，把“冰冷”的口算和“神秘”的豎式算理緊密地聯系起來， 使學生在不知不覺中知其然更知其所以然。

（三）在高年級計算教學中利用方格圖以形助數，深化理解算理

高年級的計算教學主要以小數和分數為主，其中小數的計算是建立在整數的基礎上進行的，它們的計算原理有很大的相似性。而在有關分數計算的教學中，我們通常會利用畫方格圖來引導學生觀察、比較，從中發現內在的聯系、規律，從而既直觀又深刻地理解計算的原理，提高計算的能力。例如蘇教版數學六年級上冊《分數乘分數》這節課，教學時先出示例4，引導學生經歷“看圖—寫式—求積”的過程，感受“分子相乘、分母相乘”的可能性。接著出示例5，引導學生通過“看式—畫圖—求積”體驗“分子相乘、分母相乘”的合理性。

圖4

總之，在計算教學中，利用數形結合思想可將復雜問題簡單化、抽象問題具體化，是教學中常用的數學方法。適當運用數形結合思想對幫助學生理解算理、掌握算法有著舉足輕重的作用。在計算教學中，充分挖掘計算教學的核心內容， 將數形結合思想滲透于具體的數學問題中，在讓學生解決問題中正確理解算理，掌握算法，幫助學生積累用數形結合方法解決數學問題的數學活動經驗，組織引導學生對以形助數的簡潔性進行評估反思，不斷優化學生的思維品質。都說“授之以魚 ，不如授之以漁”，方法的掌握、思想的形成 ，才能最終使學生受益終生。讓我們每一位教師都能巧妙運用數形結合思想方法幫助學生理解抽象的數學知識，引領學生順利走進數學的神奇殿堂。