適用于發電系統Well-being評估的改進交叉熵方法

陳 凡，王宇琦，劉海濤，趙美蓮，陳劉明

（1.南京工程學院電力工程學院，南京 211167；2.江蘇省配電網智能技術與裝備協同創新中心，南京 211167）

按照獲取系統可靠度的方法分類，電力系統可靠性準則分為確定性準則和概率性準則。確定性準則具有易于理解和簡單易行的優點，但是卻無法捕捉系統運行的隨機性；而概率性準則盡管能方便計入各種隨機因素的影響，但是存在分析方法復雜、難以被現場工作人員理解的缺點[1]。為此，Roy Billinton教授于1994年提出了Well-being模型[2]，架起了確定性準則和概率性準則的橋梁，對電力系統的規劃設計和調度運行具有重要意義。

近年來，研究人員基于Well-being理論對風電、光伏、波浪能等新能源以及電動汽車接入后的系統運行可靠性開展了研究。文獻[3]針對風力發電出力的波動性問題，基于蒙特卡洛法MCS（Monte Car?lo simulation）研究了需求響應技術對發電系統Well-being的影響；文獻[4]提出了計及屋頂光伏對變壓器老化速率影響的配電變壓器可靠性模型，采用MCS方法研究了不同屋頂光伏滲透率水平下的配電系統Well-being指標；文獻[5]基于MCS方法研究了波浪能接入對系統風險狀態和臨界狀態的影響；文獻[6]基于Well-being分析的理論研究了插入式混合電動汽車無序充放電對配電系統Well-being的影響，并提出了一種提高系統健康指標的電動汽車充放電管理方法。由此可見，針對新能源出力、電動汽車充放電等隨機行為建模的復雜性，現有文獻大多基于MCS進行系統的Well-being評估。MCS是模擬電力系統中不確定性行為的有效方法[7]，然而MCS方法在用于高可靠性系統時存在收斂速度過慢的問題[8]，為此研究人員提出了拉丁超立方抽樣法[9-10]、狀態空間分割法[11]，交叉熵法CEM（cross entropy method）[12-13]等MCS改進算法。CEM近年來備受關注，它通過構造最優抽樣概率密度函數有效提高了系統可靠性評估效率。基于此，本文采用CEM代替MCS進行系統的Well-being評估，研究發現：CEM用于系統Well-being評估時可能出現臨界指標收斂速度低于風險指標收斂速度且差距較大的現象，最終導致系統狀態抽樣效率低下的問題。

針對此問題，本文在對CEM原理分析的基礎上提出了一種多目標交叉熵方法MCEM（multi-ob?jective cross entropy method），該方法以臨界指標和風險指標的方差系數同時收斂作為收斂條件，首先分別計算針對風險指標和臨界指標的隨機變量最優分布參數，再引入權重系數進行修正計算得到隨機變量的綜合分布參數，最后在基于綜合分布參數抽取系統狀態。進一步針對含多狀態隨機變量的系統Well-being評估效率問題，本文提出了將多目標分布參數尋優和擴展交叉熵方法[14]相結合的擴展多目標交叉熵法EMCEM（extended multi-objec?tive cross entropy method）。以IEEE RTS79系統為例進行了算例分析，算例結果表明：所提出的MCEM和EMCEM克服了傳統CEM用于系統Wellbeing評估時可能存在臨界指標收斂速度拖累整體收斂速度的問題，實現了計算效率的進一步提升。

1 電力系統Well-being評估模型

Well-being模型通過N-1準則將系統狀態劃分為健康、臨界和風險等3種狀態，3種狀態之間的相互轉換關系如圖1所示。基于MCS的Well-being指標的計算公式[2，15]分別為

圖1 電力系統well-being模型Fig.1 Well-being model of power system

式中：PH、PM和PR分別為系統的健康概率、臨界概率和風險概率，PH+PM+PR=1；k為第k次抽樣，n為抽樣次數；nR、nM和nH分別為風險狀態、臨界狀態和健康狀態出現的次數；LC(k)為第k次抽樣狀態的切負荷量；EENS（expected energy not supplied）為期望缺供電量，MW·h/a。EENS屬于風險指標。

2 交叉熵法用于電力系統Well-being評估時存在的問題

2.1 交叉熵法的原理

2.2 交叉熵法的似然比及參數尋優方法

2.3 擴展交叉熵法的似然比及參數尋優方法

2.4 CEM和ECEM計算Well-being時的問題

本文將CEM和ECEM應用于電力系統Well-being評估時發現，使用交叉熵尋優技術之后可能出現臨界指標收斂速度慢于風險指標且差距較大的問題。本部分以峰值負荷模型時基于傳統CEM計算系統Well-being指標為例對問題進行闡述。圖2給出了RTS79系統在峰值負荷下采用CEM計算得到的指標收斂曲線。由圖2可見，臨界指標PM收斂速度明顯慢于風險指標PR和EENS。這種現象源于CEM進行參數尋優的指示函數是針對風險指標，因此盡管CEM求得的最優分布參數能夠使風險狀態出現的概率大幅增加，但也有可能導致出現臨界指標收斂速度明顯低于風險指標的收斂速度的現象，導致臨界指標拖累整體收斂速度。

圖2 基于CEM的不同指標收斂曲線Fig.2 Convergence curves of different indices based on CEM

3 適用于Well-being評估的多目標交叉熵法

3.1 多目標交叉熵法

針對CEM由于局限于針對風險指標進行分布參數尋優時無法兼顧臨界指標分布參數優化的問題，本文從尋找有利于臨界指標和風險指標同時收斂的綜合分布參數的研究思路出發，提出了適用于兩狀態隨機變量參數尋優的MCEM和適用于多狀態隨機變量參數尋優的EMCEM。MCEM和EM?CEM分別采用表示PM的指示函數HM(Xk)和表示PR的指示函數HR(Xk)替換原尋優指示函數H(Xk)，所以MCEM和EMCEM針對PM和PR的兩狀態隨機變量最優分布參數vM和vR的計算公式分別為

式中：vM(iM,j)為PM參數尋優的第iM次迭代更新的第j個兩狀態變量最優分布參數；vR(iR,j)為PR參數尋優的第iR次迭代更新的第j個兩狀態變量最優分布參數。

另外，EMCEM需要對多狀態隨機變量進行參數尋優，其最優分布參數qM和qR計算公式為

式中：qM(iM,t,e)為PM參數尋優的第iM次迭代更新的第t個多狀態隨機變量的第e個離散狀態參數；qR(iR,t,e)為PR參數尋優的第iR次迭代更新的第t個多狀態隨機變量的第e個離散狀態參數。

引入權重系數α修正綜合分布參數v和q，即

式中α∈[0,1]。CEM相當于MCEM在α=0的情形，ECEM相當于EMCEM在α=0的情形。

3.2 權重系數的確定方法

本文定義了方差系數均衡度Δβ%來衡量臨界指標方差系數與風險指標（方差系數較小者）方差系數的差距，以此判斷是否出現了臨界指標收斂較慢且與風險指標收斂速度差距較大的現象。方差系數均衡度Δβ%的計算公式為

由式（24）～式（26）可見，當臨界指標收斂速度慢于風險指標時，Δβ%大于0，且Δβ%越大時則希望權重系數α也越大。根據此思路，本文提出了一種權重系數α的實用計算方法，具體計算步驟如下。

3.3 EMCEM評估流程

基于EMCEM的電力系統Well-being評估流程如圖3所示，具體步驟如下。

圖3 基于EMCEM的電力系統Well-being評估流程Fig.3 Flow chart of Well-being evaluation on power system based on EMCEM

（1）迭代計算針對PR的最優分布參數vR和qR。

步驟1參數初始化。設置迭代預抽樣次數npre，迭代次數上限I，分位數ρ（通常在0.01～0.10之間）[17]，系統兩狀態隨機變量最優分布參數為vR=u，u為原始分布參數，多狀態隨機變量qR=p。

步驟2令迭代次數iR=0。

步驟3iR=iR+1。

步驟4根據vR與qR進行隨機抽樣，生成npre組系統狀態樣本{Xk;k=1,2,…,npre}，對Xk進行負荷削減分析，計算對應似然比W(Xk)。

步驟5計算各個系統狀態對應的發電容量裕度序列G(Xk)，有

式中：PG(k)為系統狀態Xk總發電容量；LD(k)為對應的總負荷；LC(k)為對應的總切負荷量。

對發電容量裕度序列G(Xk)按照從小到大排列得到M=[M[1],M[2],…,M[npre]]，若M[ρnpre]>0 ，則閾值參數δ=M[ρnpre]；若M[ρnpre]≤ 0 ，則δ=0 。

步驟6利用閾值參數δ對G(Xk)進行修正，修正值G'(Xk)=G(Xk)-δ，其指示函數HR(Xk)為

步驟7根據式（21）更新系統兩狀態隨機變量最優分布參數vR，根據式（23）更新多狀態隨機變量最優分布參數qR。

步驟8如果閾值參數δ=0或iR=I，則預抽樣過程結束，輸出vR和qR；否則，返回步驟3。

（2）迭代計算針對PM的最優分布參數。步驟與第（1）步中類似，只需將尋優指示函數替換成HM(Xk)，根據式（20）和式（22）更新vM和qM即可。

（3）計算綜合分布參數。根據式（27）計算權重初值并利用迭代搜索權重α，根據式（24）更新兩狀態變量的綜合分布參數v，根據式（25）更新多狀態變量綜合分布參數q。

（4）基于綜合分布參數v和q抽樣并進行系統Well-being評估

步驟1參數初始化。輸入綜合分布參數v和q，設置收斂條件方差系數限βmax。

步驟2設置抽樣次數n=0。

步驟3n=n+1。

步驟4根據v和q抽取系統狀態樣本Xn，并計算似然比W(Xn)。

步驟5狀態評估并記錄指標的指示函數H(Xn)。若Xn為風險狀態，HR(Xn)=1，HM(Xn)=0，HEENS(Xn)=8 760LC(n)；若Xn為臨界狀態，則HR(Xn)=0，HM(Xn)=1，HEENS(Xn)=0；若Xn為健康狀態，則HR(Xn)=0，HM(Xn)=0，HEENS(Xn)=0；HEENS(X)為EENS的指示函數。

步驟6計算指標，有

式中：k為抽樣次數n索引(k=1,2,…,n)；h為與H(X)對應的指標，當H(X)為HR(X)時h表征PR，當H(X)為HM(X)時h表征PM，當H(X)為HEENS(X)時h表征EENS。在得到各指標數值后，判斷方差系數是否小于βmax。若是，則停止迭代，輸出Wellbeing指標；否則，返回步驟3。

4 算例分析

本文以IEEE RTS79系統[18]為例，分別采用峰值負荷和多級負荷模型進行發電系統Well-being評估，以此驗證本文提出的MCEM和EMCEM有效性。算例分析在CPU為Intel core i7-10700、內存為16 GB的微機上利用Matlab 2018編程實現，仿真過程中以臨界指標和風險指標同時滿足規定方差系數(βmax=0.01)作為仿真收斂條件。

4.1 MCEM有效性分析

本文將峰值負荷水平下的IEEE RTS79系統稱為MRTS1系統，以該系統為例驗證MCEM的有效性。MCEM的參數設置為：npre=25 000，γ=5%，ε=0.025，通過迭代計算得到的α=0.665 4。

表1給出了分別采用MCS、CEM和MCEM計算MRTS1發電系統Well-being指標的結果，其中EENS單位為MW·h/a。如表1所示，3種方法的各項結果接近，但是抽樣數目之間存在很大差異：①CEM抽樣次數少于MCS，這是因為CEM采用風險指標指示函數進行兩狀態隨機變量的分布參數進行尋優，從而提高了抽樣效率；②MCEM的抽樣次數最少，這是因為MCEM同時采用風險指標和臨界指標的指示函數進行兩狀態隨機變量的分布參數尋優，因而避免了CEM獲取的分布參數不利于臨界指標收斂的問題。

表1 MRTS1發電系統well-being評估方法的性能比較Tab.1 Comparison of performance among well-being evaluation methods for MRTS1 power generation system

圖4給出了采用3種方法MCS、CEM和MCEM計算Well-being指標時方差系數的收斂曲線，圖中每條曲線的方差系數是指各種方法中方差系數較大的指標的方差系數，即收斂速度較慢的指標的方差系數。由圖4可見，MCEM具有收斂速度更快的優點。

圖4 3種方法的方差系數收斂曲線Fig.4 Convergence curves of coefficient of variation of three methods

為了進一步闡明MCEM加快Well-being評估收斂速度的原理，圖5給出了3種方法抽取到的風險狀態和臨界狀態的統計分布。

圖5 不同方法抽取的系統狀態統計分布Fig.5 Statistical distribution of system states sampled by different methods

由圖5可見，CEM與MCS相比，CEM提高了風險狀態的出現概率，但同時使得臨界狀態的出現概率減小，這意味著采用CEM將導致臨界指標收斂性能變差；MCEM與MCS相比，MCEM抽取到風險狀態和臨界狀態的概率均大于MCS，這意味著采用MCEM能同時提高風險指標和臨界指標的收斂速度；MCEM與CEM相比，MCEM抽取到風險狀態和臨界狀態的概率差異更小，因此MCEM保證了風險指標和臨界指標收斂的均衡性。

4.2 EMCEM有效性分析

本文進一步研究了多狀態負荷水平下進行發電系統Well-being評估時的CEM改進算法，本文首先采用k-均值聚類算法建立14狀態的負荷模型[19]，將14狀態負荷水平下的IEEE RTS79系統稱為MRTS2系統，以該系統為例驗證EMCEM的有效性。其中EMCEM的參數設置為：npre=25 000，γ=5%，ε=0.025，通過迭代計算得到權重系數α=0.591 7。

表2給出了4種方法MCS、CEM、ECEM、EM?CEM計算MRTS2發電系統Well-being指標時的計算結果。其中CEM只針對兩狀態發電機故障參數尋優，對于多狀態負荷仍然根據原始分布參數抽樣；ECEM和EMCEM則在兩狀態發電機故障參數尋優的基礎上，進一步對多狀態負荷的分布參數尋優，并根據優化后的負荷狀態分布參數抽取負荷狀態。

表2 MRTS2發電系統Well-being評估方法的性能比較Tab.2 Comparison of performance among Well-being evaluation methods for MRTS2 power generation system

如表2所示，4種方法的計算結果十分接近，但是在抽樣效率上存在較大差別：①ECEM和EM?CEM的抽樣次數遠小于CEM的抽樣次數，這是由于ECEM和EMCEM通過對多狀態負荷模型進行參數尋優，進一步提升了臨界狀態和風險狀態的出現概率；②EMCEM小于MCEM的抽樣次數，這驗證了EMCEM針對多狀態隨機變量采用風險指標和臨界指標指示函數進行綜合參數尋優的有效性和優越性。

圖6給出了4種方法的指標收斂曲線，圖中每條曲線的方差系數取自各方法收斂最慢的指標的方差系數。由圖6可見，ECEM和EMCEM大大提高了Well-being指標計算的收斂速度，與ECEM相比，EMCEM收斂速度更快。

圖6 不同方法的收斂曲線Fig.6 Convergence curves of different methods

為了進一步闡明ECEM和EMCEM額外對多狀態負荷參數擴展尋優帶來的優勢以及兩者的區別，圖7給出了MCS、ECEM和EMCEM抽樣時所采用的負荷概率分布圖，曲線上的點代表某一負荷水平及其出現概率。由圖7可見，同MCS相比，ECEM和EMCEM所采用的負荷模型中的中高水平負荷出現概率較大，而負荷需求較大時更容易出現切負荷狀態和臨界狀態，這正是交叉熵法提高指標收斂速度的原因；同ECEM相比，EMCEM所采用的負荷概率分布模型的高水平負荷出現概率值相對小一些，但是中等偏高水平負荷概率值相對較大一些，這正好解釋了為什么EMCEM能在提高風險指標收斂速度的同時又保證了臨界指標的收斂速度。

圖7 不同方法采用的負荷概率分布Fig.7 Probatility distrubution of load used by different methods

基于圖7所示的負荷分布模型，圖8進一步給出了4種方法抽取到的系統臨界狀態和風險狀態的統計分布。由圖8（a）可見，同其他方法相比，MCS抽取到的系統風險狀態極少且難以觀察，為此S和CEM方法抽取到的風險狀態統計分布的放大圖如圖8（b）所示。由圖8（a）和（b）可見：MCS抽樣難以保證臨界指標和風險指標的收斂速度、抽樣效率低下；ECEM和EMCEM的臨界狀態和風險狀態出現的概率都明顯高于MCS和CEM，這證明了針對多狀態隨機變量進行擴展交叉熵尋優的有效性。另一方面，和ECEM相比，EMCEM抽取到的臨界狀態和風險狀態的抽樣概率差值更小，從而保證了臨界指標和風險指標收斂速度的均衡性，提高了系統的狀態抽樣效率。

圖8 不同方法的系統狀態統計分布Fig.8 Statistical distribution of system states sampled by different methods

5 結語

傳統的交叉熵方法可以有效提高電力系統可靠性指標的收斂速度，然而在將交叉熵方法用于電力系統Well-being評估時可能會出現臨界指標收斂速度低于風險指標收斂速度且差距較大，導致系統狀態抽樣效率低下的問題。針對此問題，本文從交叉熵算法和電力系統Well-being評估的原理出發分析了出現該問題的原因，提出了能兼顧風險指標和臨界指標收斂速度的多目標交叉熵方法。該方法通過計算和引入權重系數獲取隨機變量的綜合分布參數，再基于綜合分布參數抽取系統狀態；在此基礎上，進一步提出了適用于含多狀態隨機變量的系統Well-being評估的擴展多目標交叉熵算法。最后，以IEEE RTS79系統為例進行了算例分析，算例結果證明了所提出的適用于發電系統Well-being評估的改進交叉熵方法的有效性。