鎖定已知 構建聯系 設定未知 發展思維
——以“用一元二次方程解決問題”課堂教學為例

?江蘇省無錫市江南中學 王 蕾

1 引言

“用一元二次方程解決問題”是蘇教版九年級(上)第一章第四節的內容.在本章的前三節學生已經學習了一元二次方程的概念、解法，以及方程的解與系數的關系，對一元二次方程相關知識有了系統的認知.接下來通過探究實際生活中數量關系的過程，體會、體驗一元二次方程解決實際問題的數學模型；同時，在運用一元二次方程解決現實生活中實際問題時，不僅要注意解方程的過程，還要檢驗所得的解是否符合問題的實際[1].

2 創設實際問題情境，引導學生進入課題

從字面上看“用一元二次方程解決問題”這一課題有兩個方面的含義：一是運用的知識是一元二次方程，另一是解決的問題是現實生活問題.因此，把實際問題轉化為數學問題，對現實生活問題進行數學建模，不僅僅是列出一元二次方程去求出問題的解，而且還要進行推理判斷所得出的結果與生活實際是否相符，這是本課題的重點，也是本課題的難點.

圖1

導入情境(電子白板展示)如圖1，Rt△ACB是一養魚池的一角，∠C=90°，為了捕魚，一漁網同時由A，B兩點出發分別沿魚池邊緣AC，BC方向向點C勻速移動至點Q，P，它們的速度都是1 m/s，問多長時間后△QCP的面積為Rt△ACB面積的一半？

創設目的：為了讓學生將實際問題具體化，在引入課題之時創設的問題情境用圖象形式呈現，讓生活問題具有“數學模型”化的特征，學生用數學方法建模就可以簡單化.

3 引導探究解題過程，幫助學生對實際問題進行數學建模

“引導探究解題過程”“幫助學生進行數學建模”是幫助學生掌握應用一元二次方程解決實際問題的方法步驟，并且是提高分析問題、解決問題能力的關鍵.

教學案例1

師：如何計算CQ，CP的值呢？

生：根據點A到點Q與點B到點P距離相等.(進行討論、各抒己見.)

師：若點A到點Q的距離是xm，又怎樣計算CQ，CP的值？

生：CQ=(15-x)m，CP=(10-x)m.

師：請同學們解決情境中的問題.

師：這兩個數據都符合實際情況嗎？

師：通過以上問題說明，利用一元二次方程解決問題不僅要求出具體數值，而且還要分析判斷是否存在某種數量關系；同時，用一元二次方程解決實際問題時，不僅要注意方程求得的解是否正確，還要檢驗方程的解是否與問題的實際情境相符合.請大家思考上述解決問題的主要步驟.

學生：通過小組討論，歸納總結出：

①從情境中找出存在的量的關系，列出等式；

②在列出的等式中發現未知量，設定未知數；

③將設定未知數代入列出的等式中進行求解；

④檢驗所得出的未知量與情境是否相符.

教學反思：通過案例分析不難發現，這是一種探究、討論、啟發式的教學過程.在此過程中，教師一直引導鼓勵學生自主探究、合作交流，培養自覺思考的良好習慣，實現對實際情境問題的數學建模.

4 驅動內化解題的潛能，強化學生對數學建模的解題應用

對實際問題的數學建模，其作用之一是規范學生的解題步驟，形成一種抽象思維的定式.因此，在課題的導入情境中作出相應的變式，讓學生在已經熟悉的情境中拓展思維是很有必要的.也就是說，對一節課的知識要鞏固，通過變式練習達成“堂堂清”[2].

變式情境(電子白板展示)如圖1，Rt△ACB是一養魚池的一角，∠C=90°，為了捕魚，一漁網同時由A，B兩點出發分別沿魚池邊緣AC，BC方向向點C勻速移動至點Q，P，漁網的速度分別是1.5 m/s，1 m/s，若△QCP的面積為Rt△ACB面積的一半，則需經過多長的時間？

教學案例2

生：不能直接設點A到點Q的距離或點B到點P的距離了，應該設需要的時間為xs，這樣AQ=1.5xm，BP=xm，于是有CQ=(15-1.5x)m,CP=(10-x)m.

師：這兩個數據都符合實際情況嗎？

生：當點Q，P在Rt△ACB的邊上時，15-1.5x>0且10-x>0，即0

教學反思：這個案例是最初導入情境的變式，盡管情境涵蓋的數學關系式的原理是相同的，但比原來的問題情境有了進一步拓展，即不能直接設定點Q，P走過的路程了，除非學生發現了AB∥QP，這需要獨到的眼光才能察覺.所以，在用一元二次方程解決實際問題時，假設的未知量也至關重要.

5 結束語

總之，用一元二次方程解決實際問題時，問題情境的表達方式是實際情境的真實反映.當其中有些數量關系比較隱蔽時，在探究過程中假設未知量以及正確建立一元二次方程是學生的難點，需要教師恰當地引導.在課堂教學過程中教師要做到：創設現實生活中的實際問題情境，引導學生進入課題；引導探究解題過程，幫助學生對實際問題進行數學建模；驅動內化解題的潛能，強化學生對數學建模的解題應用.這樣，就一定能夠讓學生弄清問題情境，鎖定已知，構建聯系，設定未知，發展思維.