等腰三角形中不確定性問題解決思路探究

?甘肅省慶陽市寧縣第五中學(xué) 陳秀蓮

1 引言

結(jié)合二十余年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，等腰三角形中不確定性問題的解決，困擾了很多學(xué)生，學(xué)生在此問題中經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)解、漏解.其實(shí)，歸根結(jié)底這是邏輯思維能力弱的表現(xiàn).那么，如何借助等腰三角形中不確定性問題解決思路的探究培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力呢？本研究從兩道易錯(cuò)題出發(fā)，通過糾錯(cuò)辨析為這類問題探尋正確解決方法奠定基礎(chǔ).

2 易錯(cuò)題及其糾錯(cuò)評(píng)析

例1若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角的度數(shù)為.

錯(cuò)解：因?yàn)榈妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為40°，所以這條高和另一腰之間的夾角與這個(gè)頂角之間一定互余，因此頂角的度數(shù)為90°-40°=50°.

糾錯(cuò)：該生解題時(shí)，由于出現(xiàn)了思維定式，習(xí)慣性地認(rèn)為這個(gè)等腰三角形是銳角三角形.事實(shí)上，等腰三角形分為三種，它們的頂角分別是銳角、直角和鈍角.在本題中，根據(jù)題意可以排除頂角為直角的情況，因此剩下頂角為銳角、鈍角兩種情況，需要分類討論.具體過程如下：

解：在△ABC中，AB=AC.本題有兩種不同情況：

當(dāng)頂點(diǎn)A為銳角時(shí)，如圖1所示，作BD⊥AC，垂足為D.因?yàn)椤螦BD=40°，所以∠A=90°-40°=50°;

圖1

圖2

當(dāng)頂角∠BAC為鈍角時(shí)，如圖2所示，作CD⊥BD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.因?yàn)椤螦CD=40°，所以∠BAC=90°+40°=130°.

綜上所述，頂角的度數(shù)為50°或130°.

評(píng)析：在解決初中數(shù)學(xué)問題過程中，思維定式是阻礙學(xué)生順利解決問題的原因之一.要突破這種思維，首先要培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)角度思考問題的習(xí)慣，讓學(xué)生多用不同的方法解決問題，以激發(fā)他們的思維，其次重點(diǎn)關(guān)注題目所給條件中的關(guān)鍵詞語，如腰、頂角、底邊等，深入思考它們是不是存在多種可能，特別是能否畫出多種情況對(duì)應(yīng)的圖形[1].

例2若等腰三角形的周長(zhǎng)為16 cm，其中一邊長(zhǎng)為4 cm，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為( ).

A.5 cm B.4 cm

C.8 cm D.4 cm或8 cm

錯(cuò)解：因?yàn)榈妊切蔚闹荛L(zhǎng)是16 cm，且其中一邊長(zhǎng)為4 cm，也就是腰為4 cm，所以底邊長(zhǎng)就是16-2×4=8 cm，故選：C.

糾錯(cuò)：從上面錯(cuò)解過程可以看出，該生習(xí)慣性地認(rèn)為這條邊是等腰三角形的腰.事實(shí)上，等腰三角形的邊可以是腰，也可以是底邊.本題中只告訴了“一邊長(zhǎng)”，而并未明確這條邊是腰還是底邊.所以，將長(zhǎng)為4的這條邊認(rèn)為是等腰三角形的腰，又是出現(xiàn)了思維定式的問題.因此，應(yīng)該分類討論，具體過程如下：

解：根據(jù)題意，本題有兩種不同情況.

如圖3所示，當(dāng)長(zhǎng)為4 cm的邊為等腰三角形ABC的腰時(shí)，BC就是底邊，且BC=16-2×4=8 (cm).但是，此時(shí)的三條邊不能構(gòu)成一個(gè)三角形，更不能成為等腰三角形，所以這種情況應(yīng)該排除；

圖3

如圖4所示，當(dāng)長(zhǎng)為4 cm的邊為等腰三角形的底邊時(shí)，BC=4 cm.此時(shí)，兩腰長(zhǎng)為6 cm，能夠構(gòu)成符合題意的等腰三角形.

圖4

綜上所述，它的底邊長(zhǎng)4 cm.故應(yīng)該選：B.

評(píng)析：學(xué)生在解決例1和例2時(shí)，都容易因?yàn)樗季S定式導(dǎo)致漏解、錯(cuò)解現(xiàn)象.與例題1不同的是，本題除了要根據(jù)等腰三角形邊的類型分為兩種情況討論之外，還需要分析這兩種情況中的三邊是否能構(gòu)成三角形，這一點(diǎn)又是學(xué)生極易忽略之處.為此，教師在教學(xué)時(shí)仍應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生縝密的邏輯思維作為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，并且在后階段一以貫之.只有這樣持續(xù)進(jìn)行下去，學(xué)生才能有較大改變[2].

3 等腰三角形中不確定性問題的類型及解決思路

等腰三角形是一種比較特殊的三角形.根據(jù)角的類型，可以分為等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形，它們的頂角分別是銳角、直角和鈍角[3].根據(jù)邊的類型，可以分為一般等腰三角形和特殊等腰三角形(等邊三角形).基于等腰三角形中角和邊的類型均多樣化，等腰三角形中不確定性問題主要有以下幾種類型.

3.1 角不定型

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，等腰三角形的兩底角相等.再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°，所以兩個(gè)底角一定是銳角.然而等腰三角形的頂角只有一個(gè)，它可能為銳角、直角，也可能為鈍角，這是造成等腰三角形中不確定性問題的原因之一.結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，有很多題目在呈現(xiàn)等腰三角形的角的條件時(shí)，并不直接說明該角是頂角還是底角，那么這類問題應(yīng)該如何解決呢？下面結(jié)合例題3說明這類問題的解決思路.

例3若等腰三角形的一個(gè)角為40°，那么另外兩個(gè)角的度數(shù)分別是.

分析:本題只給出了等腰三角形中的一個(gè)角，并未說明該角是頂角還是底角.所以解決思路如下：

首先，明確邊角問題.本題是關(guān)于等腰三角形的角的問題.

其次，明確角的類型.本題給出的角不夠明確，所以可能是頂角，也可能是底角.

再次，分類討論：對(duì)該角是頂角、底角兩種情況分別討論.

最后，綜述.分類討論后一定要進(jìn)行綜合.

解：由于等腰三角形(△ABC)中40°角可能是頂角，也可能是底角，故有以下兩種不同的情況.

(1)當(dāng)40°角是頂角時(shí)，如圖5所示，∠B=∠C=(180°-40°)÷2=70°；

圖5

(2)當(dāng)40°角是底角時(shí)，如圖6所示，∠A=180°-40°-40°=100°.

圖6

綜上所述，另外兩個(gè)角的度數(shù)分別是70°，70°或40°，100°.

3.2 邊不定型

等腰三角形中的三條邊，一類是腰，一類是底邊.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，等腰三角形的兩腰相等.結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，有很多題目在給出等腰三角形的邊的條件時(shí)，并不直接說明該邊是腰還是底邊，繼而造成了等腰三角形中不確定性問題.那么這類問題應(yīng)該如何解決呢？下面結(jié)合例題4說明這類問題的解決思路.

例4已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x-4|+(y-8)2=0，則以x，y為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為.

分析:本題可通過“|x-4|+(y-8)2=0”計(jì)算出x，y的值，即得到了等腰三角形兩邊長(zhǎng).但由于并未說明這兩邊是腰還是底邊，所以要按照如下思路解決.

首先，明確邊角問題：本題是有關(guān)等腰三角形的邊的問題；

其次，明確邊的類型：本題給出的邊不夠明確，所以可能是腰，也可能是底邊；

再次，分類討論：對(duì)該邊是腰、底邊的兩種情況分別討論；

最后，綜述：分類討論后一定要進(jìn)行綜合.

圖7

解：因?yàn)閨x-4|+(y-8)2=0，所以x=4，y=8.由于給出的邊不夠明確，所以可能是腰，也可能是底邊，故分以下兩種不同的情況.

(1)當(dāng)腰為4，底邊為8時(shí)，此時(shí)的三條邊不能構(gòu)成一個(gè)三角形，更不能成為等腰三角形，所以這種情況應(yīng)該排除；

(2)當(dāng)腰為8，底邊為4，此時(shí)的三條邊能構(gòu)成三角形，且它為等腰三角形，如圖7所示.所以，三角形的周長(zhǎng)為8+8+4=20.

綜上所述，以x，y為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為20.

4 結(jié)語

綜上所述，無論等腰三角形種不確定問題屬于哪種類型，分類討論思想是解決這類問題的重要方法.無論學(xué)生在解決哪種類型題目的過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，都暴露出了思維定式的問題.所以，作為初中數(shù)學(xué)一線教師，不僅要憑借更豐富、靈活的變式訓(xùn)練學(xué)生的思維，讓他們突破思維定式的瓶頸，而且要將這種訓(xùn)練方式一以貫之，如此學(xué)生才會(huì)形成更強(qiáng)的思維能力、更有效的靈活性.