動靜結合 相得益彰
——以“二次函數”教學為例

?廣東省深圳市龍華區實驗學校 邱建濤

1 引言

“二次函數”屬于初中數學課程的半壁江山，其不僅考察了學生的思維能力、邏輯推理能力、建模能力、還有識圖觀察等能力.由此可見，二次函數問題需要一定的解題技巧，教師在教學中應當嚴格解讀動靜結合的思想，引導學生從動、靜的角度思考二次函數問題，從而提高二次函數的學習效率.

2 初中數學中二次函數的特點

2.1 識圖與觀察

二次函數突出了數形結合的思想.在“二次函數”的學習中，除了概念認知，還有圖象解析，學習者需要將概念與圖形進行辯證對應，才能梳理出正確的解題方向.因此，“二次函數”的學習能夠幫助初中生增強抽象思維與直觀想象能力.除此之外，在識圖分析時，學生需要調動各項感官，通過自主觀察才能達成對知識的深層理解.

2.2 動手與推理

二次函數體現了數學學科中的多種思想，精準作圖與高效用圖是解析二次函數問題的關鍵，所以，學生在學習“二次函數”時需要參與到作圖實踐中，通過圖象建立模型，這也是動靜結合法的典型體現.與此同時，學生需要借助已知條件分析圖象，從中獲取有益于解題思路的隱藏條件，這在潛移默化中考察了學習者的數學建模意識和邏輯推理能力.

2.3 理論與應用

眾所周知，數學來源于生活，且回歸于生活.“二次函數”作為初中數學課程中的一個重要內容，自然與日常生活有著緊密的聯系.《義務教育數學課程標準》中明確指出，數學學科教學的最終目的是將知識內容實踐于生活中，充分發揮出數學課程的價值.因此，教師在二次函數教學中，需要緊密結合相關的實踐問題，促使學生將靜態的理論知識應用到動態的生活實際中，從而促進學生的思維動靜交替發展，為構建高效數學課堂奠定基礎.

綜上所述，教師在利用動靜結合思想開展“二次函數”教學時需要以激活學生的思維為切入點，并將實踐應用作為出發點，由此才能促進二次函數學習的順利展開[1].

3 動靜結合——“二次函數”的教學路徑

3.1 依據靜態抽象概念，打造動態生活情境

陶行知先生提出“教育是活的教育”，教育是生活的需要.二次函數概念具有較強的抽象性，倘若教師以單一的理論講授法展開教學，不但會引起學生的抵觸情緒，而且還會降低學生對數學知識的應用認知.因此，教師可以在函數概念教學的基礎上引入動態的生活化內容，通過動態的生活情境化解抽象的定義內涵，由此有效激活學生的學習興趣和動態思維.

以北師大版九年級數學下冊第二章“二次函數”為例，在課堂導入環節，筆者引入生活化動態情境：

農機廠第一個月水泵的產量為50臺，第三個月的產量為y臺，農機廠水泵產量月平均增長率為x，那么y與x之間的函數關系如何表示呢？

計算物品產量是生活中十分常見的問題，學生會主動調取自己的生活經驗與知識基礎思考問題.發現學生毫無思路時，筆者應及時提醒學生依照正比例函數、反比例函數的列式經驗推理出本例的關系式.當有學生列出的關系式中出現了x2后，借此契機在黑板上列出

y=50(1+x)2=50x2+100x+50

①

接著，繼續引出生活化問題：將一根長20 cm的鐵絲折成一個矩形，設矩形的一邊長為xcm，矩形的面積為ycm2，則y與x的關系式又是什么呢？

通過上一個問題的鋪墊，學生迅速列出

y=x(10-x)=10x-x2

②

這時，再引導學生觀察①②式的共同點，在學生發現自變量的最高次數是2后，鼓勵學生嘗試運用以往的函數解析式經驗列出與兩道習題相關的一般形式.通過自主性的動態化探究，學生順利列出y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c為常數).

最后，筆者帶領學生一起學習二次函數的定義與自變量的取值范圍等內容.

通過創設生活情境，學生能夠從動態的生活實際中自主提取出二次函數的定義，由此有效提升了學習質量[2].

3.2 引導動手作圖分析，深化靜態圖形認知

二次函數圖象平移問題在中考試題中出現的頻次較高，其技巧性較強，平移的過程完全突出了動態思想.所以，教師在開展相關內容教學時可以引領學生自主作圖，通過作圖的方式，體會二次函數圖象的性質，由此深化學生的作圖能力和數形結合思想.

圖1

在學生經歷了運用描點法畫二次函數y=ax2的圖象后，筆者引導學生回顧一次函數y=2x與y=2x+1的圖象的關系，喚起學生對“平移”的認知.接著，引導學生利用描點法作出二次函數y=2x2與y=2x2+2的圖象(如圖1所示)，并根據圖象分析兩者之間的關系.

接下來，要求學生根據靜態圖形分析這兩個函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標的異同之處，并鼓勵學生根據自身知識找出y=2x2與y=2x2+2的圖象之間的關系.

在此基礎上，繼續提示學生從函數圖象的開口方向、對稱軸、增減性等角度進行思考.

學生通過動手繪制圖象能夠直觀感受到點、線的平移方法.在問題層層解決的過程中，滲透動靜結合的思想，引導學生在動手作圖的基礎上對兩個圖象進行對比分析，由此鞏固學生動靜結合的學習能力，促使學生深化對靜態圖形的平移認知[3].

3.3 結合實時動態討論，促進函數靜態應用

動靜思維相互轉化是二次函數知識學習的基本要求.二次函數是初中生今后學習函數的基礎，所以動靜結合思維的培養對初中生來說更加關鍵.小組合作模式是新的課程目標改革背景下，眾多數學教師所倡導的小組合作模式，不僅可以將學生從被動的學習模式中解放出來，而且能夠促使學生在自主探究中加強對知識的深層理解，從而營造良好的教學氛圍.

在二次函數習題教學中，筆者依照學生以往的課堂表現、學習能力、學習成績以及性格特點將學生劃分為水平相當的幾個小組，并告訴學生本節課以小組競爭機制展開，最快答對題目的小組將會獲得精美小禮品.然后，提出問題：

已知二次函數y=-x2+ax(-1≤x≤1)，分別求下面三種情況下函數的最小值：

(1)a<-2；(2)-2≤a≤2；(3)a>2.

競爭機制的提出將會迅速引起各小組的動態討論.針對學生討論中的問題，引導學生分析自變量的范圍，并且結合字母系數a的取值范圍和二次函數圖象的頂點進行分析.各小組在討論中明確了解題方向，很快解決了問題.

小組合作的過程，不僅加強了學生的動態思維碰撞，而且點燃了學生的創新意識和合作精神，這與素質教育的核心理念不謀而合.在本節課教學中，筆者通過組織動態溝通交流，有效增強了學生對靜態理論的認知及應用，從而構建了高效的二次函數課堂[4].

3.4 鏈接動態圖象分析，提高靜態解題能力

隨著我國現代信息技術的快速發展，信息化教學手段為廣大教育工作者提供了便利.在二次函數教學中，不論是數學建模，還是圖象分析等，都離不開動態的圖象分析.以往的數學教學中，教師常常采用板書畫圖的方式，不僅會出現作圖誤差，而且浪費了課堂教學時間.基于此，教師可以借助電子白板引領學生對動態的圖象進行分析，這樣不僅可以增強學生的直觀認知，而且有助于培養學生的解題思維.二次函數中的動點問題常常作為中考數學的壓軸題出現，所以教師在講解動點問題時應當積極融入多媒體技術，使學生動靜交替地看待問題，在思考探究的過程中逐步掌握以靜制動的方式，從而有效提高學生的學習效率.

圖2

本題是為后面重點內容作鋪墊，筆者借助電子白板出示圖象，引導學生在分析題目時熟悉圖象.由于本題涵蓋了銳角三角函數的性質，因此，提醒學生從拋物線對稱軸和銳角三角函數性質思考.

通過自主思考，大多數學生有了解題思路.筆者帶領學生共同梳理解題步驟，最后求出tan∠ACD的值.此時，學生的思維已經完全被調動起來.接著，引出本節的重點內容.

筆者利用電子白板繼續出示圖象(如圖2)與例1的第(2)問：

(2)若動點P從點A出發沿著線段AB以1個單位長度每秒的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從點C出發沿線段CB勻速運動.請問，線段PQ是否能在某一時刻被直線CD垂直平分？若能，請求出此時的時間t(單位：s)和點Q的運動速度；如果不能，請說明理由.

該題是動點問題，引導學生將動靜結合的思想作為切入點，分析靜點與動點的關系，使學生明晰解題思路.通過分析靜止條件和動點的運動軌跡，學生迅速發現本題的突破口.之后，利用電子白板依次展示學生的思路，并從多個角度動態分析.最后，帶領學生一起梳理解題步驟：

設直線CD垂直平分PQ，連接DQ，利用∠PDC=∠QDC，PD=DQ，∠ACD=∠ADC可以得到∠ACD=∠QDC，從而可以得出t=5秒，線段PQ被直線CD垂直平分.再利用時間、速度、路程之間的關系便可以求到點Q的運動速度.

借助動態的圖象幫助學生一步步地細致分析，促使學生明確每一步的含義，由此在無形中幫助學生提高了解決問題的能力[5].

3.5 利用靜態問題引導，再探動態函數圖象

二次函數與初中階段的其他知識相比，除了表層知識的擴充，更多的是思維難度的上升，所以教師應當積極貫徹以學生為主體的教學理念.問題導學法能夠有效激發學生的探究欲望，在問題的引導下，學生將主動走進數學世界，從而逐步提升學習效果.因此，在二次函數教學中，教師可以利用問題導學法喚起學生的互動意識，促使學生在靜態的問題引導下呈現動態思維.

在確定的區間范圍內二次函數最值問題分析的教學中，筆者采用循序漸進的問題不斷引導學生展開分類討論，在分析到區間范圍限定部分時，及時引入二次函數的圖象與性質.

例2求函數y=x2+2ax+1，在區間[-1，2]上的最小值.

想要解決本道題目，學生需要分析出該二次函數的對稱軸.因此，筆者提出問題，引導學生思考：區間限定的劃分依據是什么？這樣一來，學生便會和二次函數圖象的對稱軸聯系起來，并依照現有的知識基礎迅速得出該二次函數的對稱軸為x=-a.緊接著，繼續拋出問題：當函數y=x2+2ax+1的對稱軸在區間[-1，2]時最小值是什么？明顯的提示使學生很快計算出-1≤-a≤2時，ymin=1-a2.在學生的思路被打開后，將時間完全交給學生，引導學生對函數對稱軸處于區間右側和處于區間左側時的情況進行討論，使學生在辯證分析的過程中形成分類討論的意識，明確定區間的動軸問題，并加深了對二次函數圖象性質的認知.

在整個教學中，始終借助問題驅動學生的動態思考，不僅建立了新型的師生互動，而且能夠促使學生感受到解決數學問題的樂趣與成就感，從而夯實了動靜結合課堂的構建[6].

4 結束語

總而言之，動靜結合思想在二次函數的教學中起到了非常關鍵的作用.數學教師應當立足于學生實際，積極制定動靜結合的教學方案，讓學生在動靜交替的學習狀態下高效理解抽象的函數知識，從而構建高效初中數學課堂.