線段之妙 彰顯數(shù)學(xué)之美

?湖北省利川市教學(xué)研究和教師培訓(xùn)中心 羅仁義?湖北省利川市建南鎮(zhèn)民族初級(jí)中學(xué) 李小勇

1 原題呈現(xiàn)

圖1

(2019年恩施州中考第23題)如圖1，在⊙O中，AB是直徑，BC是弦，BC=BD，連接CD交⊙O于點(diǎn)E，∠BCD=∠DBE.

(1)求證：BD是⊙O的切線；

2 試題感悟

題目中由條件“過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G”給出的線段EF，在解題時(shí)的作用妙不可言，彰顯了數(shù)學(xué)之美，是本題的“點(diǎn)睛之筆”.其原因有三：其一，這條線段EF雖然在第(2)問(wèn)中才出現(xiàn)，但它可以作為第(1)問(wèn)中的輔助線，為第(1)問(wèn)的證明拓展了思路，學(xué)生可以選用“垂徑定理”“圓周角定理”“圓弧、圓周角、圓心角之間的等對(duì)等關(guān)系”等圓的基本性質(zhì)來(lái)完成.其二，由于線段EF與BC相交于點(diǎn)G，第(2)問(wèn)中要求的線段BG就是△BEG或者△BGF的邊，如果選擇用△BEG來(lái)求線段BG的長(zhǎng)，就用“相似三角形”的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；如果選擇用△BGF來(lái)求線段的長(zhǎng)，就用“勾股定理”的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.其三，由于線段EF的出現(xiàn)，圖形中又出現(xiàn)了一個(gè)等腰三角形CEG和幾組相似三角形(如:△BGE∽△BEC，△CGE∽△CBD，△GEC∽△EDB，△DEB∽△DBC)和一組直角三角形(Rt△BEF與Rt△BGF).

在考試過(guò)程中，考生充分展示了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)：考生用他們熟悉的“圓的基本性質(zhì)”來(lái)找角的關(guān)系，用等角對(duì)等邊來(lái)確定線段的長(zhǎng)度，用相似三角形找比例關(guān)系，用勾股定理列方程，熟練地進(jìn)行計(jì)算，準(zhǔn)確地解方程，規(guī)范地書(shū)寫(xiě)答題過(guò)程.此題在實(shí)現(xiàn)考查和選拔功能的同時(shí)，也為考生提供了廣闊的思維空間；在考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的整合能力、探索解題過(guò)程的思維品質(zhì)的同時(shí)，也為初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.此題根植于教材，又高于教材，是一道好題.

3 考生的解題賞析

3.1 第(1)問(wèn)的解法賞析

思路一：利用直徑構(gòu)建直角.

圖2

解法1：如圖2所示，連接AE.

∴∠A=∠C.

∵∠BCD=∠DBE，

∴∠A=∠DBE.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°.

∴在△ABE中，

∠EAB+∠EBA=90°.

∴∠DBE+∠EBA=90°，即∠DBA=90°.

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說(shuō)明：這是命題組給出的參考答案，思路直接，過(guò)程簡(jiǎn)潔.)

圖3

解法2：連接AC，如圖3所示.

在△DBE與△DCB中，有

∴△DBE∽△DCB.

∴∠DEB=∠DBC.

又∵四邊形ABEC是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠DEB=∠A，

∴∠DBC=∠A.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.

∴在△ABC中，∠A+∠CBA=90°，

∴∠DBC+∠CBA=90°，即∠DBA=90°.

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說(shuō)明：這里用到了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，反映出教師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)這個(gè)基本性質(zhì)進(jìn)行了拓展.)

圖4

解法3：如圖4所示，連接EO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)M，再連接BM，則EM是⊙O的直徑，

∴∠EBM=90°.

∴在△EBM中，

∠M+∠BEM=90°.

∴∠M=∠C.

又∵∠C=∠DBE，

∴∠M=∠DBE.

∵BO=EO，

∴∠OEB=∠OBE.

∴∠DBE+∠OBE=∠BEM+∠M=90°，

即∠DBA=90°.

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說(shuō)明：這種解法就是解法1的“翻版”，略顯復(fù)雜.考生在答題時(shí)能夠想到這種方法，但為什么沒(méi)想到連接AE呢？反映了考生的緊張心態(tài).事實(shí)上，在解法2的基礎(chǔ)上，也可以進(jìn)行類(lèi)似的翻版，只不過(guò)更復(fù)雜，因此不可取.)

思路二：利用第(2)問(wèn)“過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F”的提示來(lái)解答.

圖5

解法4：延長(zhǎng)EF交⊙O于點(diǎn)H，如圖5所示.

∵在⊙O中，AB⊥EH，

∴∠BCE=∠BEH.

又∵∠BCD=∠DBE，

∴∠BEH=∠DBE.

∴EF∥BD.

∵EF⊥AB于點(diǎn)F，

∴BD⊥AB于點(diǎn)B.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說(shuō)明：這種解法把第(2)問(wèn)中的“過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F”作為第(1)問(wèn)解答的輔助線，這也是此題的巧妙之處，給考生提供了更多的解題思路.有的考生利用這個(gè)提示，進(jìn)行了較為復(fù)雜的角的轉(zhuǎn)換，雖然可以達(dá)到解題的目的，但不可取.)

思路三：利用圓弧的度數(shù)來(lái)解答.

解法5：如圖1,

∵AB是⊙O的直徑，

∵∠BCD=∠DBE，

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說(shuō)明：考生的這種解法反映出教師在教學(xué)過(guò)程中補(bǔ)充了圓弧的知識(shí)，拓展了學(xué)生的解題思路.)

圖6

解法6：連接EO，如圖6所示.

∵∠BCD=∠DBE，

∵BO=EO，

∴∠OEB=∠OBE.

在△BOE中，∠BOE+∠BEO+∠EBO=180°，

∴∠DBE+∠EBO=90°，即∠DBA=90°.

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

解法7：連接EO，如圖6所示.

∵∠BCD=∠DBE，

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說(shuō)明：這兩種解法與參考答案，即與解法一有異曲同工之妙，也有考生在此基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)O作BE的垂線，同樣可以解決問(wèn)題，只是略顯復(fù)雜.)

3.2 第(2)問(wèn)的解法賞析

思路一：利用三角形相似求解.

解法1：如圖1所示，

∵在△BCD中，BC=BD，

∴∠C=∠D.

∵∠BCD=∠DBE，

∴∠D=∠DBE.

∵EF⊥AB于F，

∴∠EFA=90°.

∵∠DBA=90°，

∴EF∥BD.

∴∠CEG=∠C,∠DBE=∠BEG.

∴CG=EG=3.

又∵∠BCD=∠DBE，

∴∠BEG=∠C.

∴△BEG∽△BCE.

解方程，得BG=5或-8(舍去).

因此，BG的長(zhǎng)為5.

(說(shuō)明：這是命題組給出的參考答案，過(guò)程簡(jiǎn)潔，但考生的思維還是不容易達(dá)到這個(gè)高度.)

解法2：如圖1所示,

∴△DBE∽△DCB.

即BD2=DE·DC

∵EF⊥AB于點(diǎn)F，

∴∠EFA=90°.

∵∠DBA=90°，

∴EF∥BD.

∴∠CEG=∠D.

又∵BC=BD，

∴∠C=∠D.

∴∠C=∠CEG.

∴CG=EG=3.

∴△GEC∽△EDB.

∴BD2=40+3BD.

解這個(gè)方程，得BD=8或-5(舍去).

因此BG=BC-CG=8-3=5.

所以，BG的長(zhǎng)為5.

思路二：利用勾股定理求解.

圖7

解法3：如圖7所示,過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BD于點(diǎn)N.

由BC=BD，得∠C=∠D.

∵∠BCD=∠DBE，

∴∠D=∠DBE.

∵EF⊥AB于點(diǎn)F，

∴∠EFA=90°.

∵∠DBA=90°，

∴EF∥BD，

∴∠CEG=∠D.

∴∠C=∠CEG.

∴CG=EG=3.

∴BD=BC=BG+3.

在△BED中，BE=ED，EN⊥BD

在Rt△BEF中，有

在Rt△BGF中，有

整理，得BG2+3BG-40=0.

解這個(gè)方程，得BG=5或-8(舍去).

因此，BG的長(zhǎng)為5.

解法4：延長(zhǎng)EF交⊙O于點(diǎn)H，連接BH，如圖8所示.

圖9

∵在△BCD中，BC=BD，

∴∠C=∠D.

∵∠BCD=∠DBE，

∴∠D=∠DBE.

∵EF⊥AB于點(diǎn)F，

∴∠EFA=90°.

∵∠DBA=90°，

∴EF∥BD.

∴∠CEG=∠C.

又∵∠C=∠H，∠CEG=∠GBH，

∴∠H=∠GBH.

∴GB=GH.

∵在⊙O中，AB⊥EH，

∴EF=HF.

∴BG=HG=HF+GF=EF+GF=3+2GF.

在Rt△BEF中，有

在Rt△BGF中，有

BF2=BG2-GF2=(2GF+3)2-GF2.

整理，得2GF2+9GF-11=0.

∴BG=3+2GF=3+2=5.

因此，BG的長(zhǎng)為5.

(說(shuō)明：題目給考生提供了廣闊的思維空間，考生給出了多種不同的解答方法.線段EF，妙！)

4 教學(xué)啟示

首先，教學(xué)必須立足課本.用教材進(jìn)行教學(xué)的關(guān)鍵是把知識(shí)的脈絡(luò)理清楚.針對(duì)課本中的基本概念、性質(zhì)、定理、基本圖形，學(xué)生不僅要知其然，還要知其所以然；不僅要“會(huì)用”，還要弄清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，深刻理解知識(shí)的本質(zhì).認(rèn)真研究和挖掘課本中習(xí)題的深層次價(jià)值，挖掘概念的內(nèi)涵和外延，歸納總結(jié)重要圖形和方法，并嘗試做一些拓展，發(fā)揮出課本的最大價(jià)值.幾何綜合題的教學(xué)要狠抓基礎(chǔ)(基本圖形、基本知識(shí)、基本方法等)，積極滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.同時(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力：怎么去思考問(wèn)題，怎么去找突破口，為什么這樣，為什么不這樣，還有更好的方法嗎……

其次，注重發(fā)展學(xué)生的推理能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、發(fā)展邏輯思維能力.”因此，培養(yǎng)學(xué)生的能力，特別是邏輯推理能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，也是推進(jìn)素質(zhì)教育的一個(gè)重要手段.我們要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀的反思和對(duì)“新課標(biāo)”的學(xué)習(xí)，在課堂教學(xué)中落實(shí)合情推理與演繹推理并重的教學(xué)思路，力求讓學(xué)生在知識(shí)獲得的過(guò)程中有所悟，從而了解知識(shí)的來(lái)龍去脈和內(nèi)在聯(lián)系，形成對(duì)數(shù)學(xué)的真正理解，為學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí)提供條件.

最后，欣賞完考生們的各種解題方案，感覺(jué)真是八仙過(guò)海，各顯神通，美不勝收啊！我們?yōu)閹熣撸荒芫窒抻趥鞯馈⑹跇I(yè)、解惑，而是要善于利用數(shù)學(xué)之美，激勵(lì)和喚醒學(xué)生，鼓勵(lì)他們做學(xué)習(xí)的主人.