思路有序變化 變式自然生成

?湖北省武漢市吳家山第三中學 萬建光

1 引言

拋物線中的定值問題是中考的熱點，這類試題注重初高中知識的銜接,考查學生解題的綜合能力，備受命題者的青睞.如何根據此類問題編制變式題組？變式又是怎樣產生的？還能編出哪些定值問題？這些都是數學教師和學生一直思考的問題.本文以2020年武漢市中考數學第24題第(3)小題為例，運用多種策略和方法對題目進行變式研究，并探究同一背景下的其他定值問題，以期和大家共研變式教學之道.

2 試題呈現

題目將拋物線C：y=(x-2)2向下平移6個單位長度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個單位長度得到拋物線C2.

(1)略；(2)略；

圖1

3 變式研究

第(3)問的問題是自然的，對學生的智力有適度的挑戰性，題意明確、不糾纏于細枝末節，表述形式簡潔、流暢、好懂[1].多維度、多層面對這個“好題”進行變式研究，有利于夯實學生的基礎知識和基本技能，有利于擴大學生的認知廣度和深度.原題的核心條件有：(1)兩條直線EF，GH相交于點O；(2)點M，N分別是線段EF，GH的中點；(3)兩條直線的斜率之積為-4.保持原題拋物線的解析式及部分核心條件不變，編制母題，在母題的基礎上進行變式研究.

3.1 交點變化，定點依然

思路1：原題中兩條弦的交點在坐標原點，可以改變核心條件中兩弦交點的位置來探究直線是否過定點.

圖2

變式1如圖2，直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2交于點P(1，3)，直線y=k1x+b1與拋物線y=x2-6交于點E，F，直線y=k2x+b2與此拋物線交于點G，H, 且M，N分別為線段EF，GH的中點，若k1k2=-4，求證：直線MN經過一個定點.(參考答案：定點為(0，5).)

圖3

變式2如圖3，點P(-3，3)在拋物線y=x2-6上，直線PF:y=k1x+b1與此拋物線交于另一點F，直線PH:y=k2x+b2與此拋物線交于另一點H，且M，N分別為線段PF，PH的中點，若k1k2=-4，求證：直線MN經過一個定點.(參考答案：定點為(0，5).)

圖4

變式3如圖4，直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2交于點P(-4，3)，直線y=k1x+b1與拋物線y=x2-6交于點E，F，直線y=k2x+b2與拋物線交于點G，H, 且M，N分別為線段EF，GH的中點，若k1k2=-4，求證：直線MN經過一個定點.(參考答案：定點為(0，5).)

剖析：點P與拋物線的位置關系有三種：點在拋物線的內部、點在拋物線上和點在拋物線的外部.由①式可知：只要已知k1k2的值，直線MN必經過定點.變式中動點P的縱坐標不變，定點的坐標沒有變化，目的是為了讓學生發現變化中的不變，激發學生學習數學的興趣.

3.2 由點到線，體系初現

思路2：循著從點與拋物線的位置關系到直線與拋物線的位置關系的研究路徑，改變兩條直線與拋物線的位置關系探究直線MN是否過定點.同時交換題目中的題設和結論的位置，可以得出新的定值問題，豐富定值結論.

圖5

變式4如圖5，直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2交于點P(t，3)(t<-3)，直線y=k1x+b1與拋物線y=x2-6交于點E，F，M為線段EF的中點，直線y=k2x+b2與此拋物線有唯一公共點N，且k1k2=-4，求證：直線MN經過一個定點.(參考答案：定點為(0，5).)

圖6

變式5如圖6，過點P(t，-8)的直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2分別與拋物線y=x2-6有唯一公共點M，N，求證：直線MN經過一個定點.(參考答案：定點為(0，-4).)

變式6如圖6，過點(0，-5)的直線與拋物線y=x2-6交于點M，N，過點M，N分別作直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2與此拋物線均有唯一公共點，兩直線交于點P，求證：(1)k1k2為定值；(2)點P在定直線上運動.(參考答案：(1)k1k2=-4；(2)點P在直線y=-7上運動.)

剖析：變式4和變式5分別得到了拋物線的切割線和雙切線的圖形，探究發現都存在著類似的定值問題.將變式5的條件和結論互換后得出變式6.類比圓冪定理，沿拋物線的相交弦→雙割線→切割線→雙切線這一主線進行變式探究，將整個定值問題串成一條線，進而形成一個網絡，一個體系，讓學生感悟知識和結論的統一美.

3.3 位似變換，奇異再現

思路3：將核心條件中M,N的位置由中點變為線段對應的三等分點、四等分點、五等分點……直至平移到分別與點F，H重合，探究直線MN是否經過定點.

圖7

圖8

變式8如圖8，點P(-3，3)在拋物線y=x2-6上，直線PF:y=k1x+b1交此拋物線于另一點F，直線PH:y=k2x+b2交此拋物線于另一點H，若k1k2=-4，求證：直線FH經過一個定點.(參考答案：定點為(3,7).)

剖析：將直線MN平移，MN都經過定點，更為奇異的是，這些定點的坐標是有規律的，都在經過點P的一條射線上.通過推理和演示，讓學生領略位似變換帶來的數學的奇異美.

3.4 斜率關聯，有律可尋

思路4：原題中兩條直線的斜率相互關聯，改變核心條件中兩條直線的斜率之間的數量關系，又有怎樣的定值問題？

變式9如圖9，點P(-3，3)在拋物線y=x2-6上，直線PF:y=k1x+b1交此拋物線于另一點F，直線PH:y=k2x+b2交此拋物線于另一點H，且M，N分別為線段PF，PH的中點，若k1+k2=-4，求證：直線MN與經過原點的一條定直線平行.(參考答案：直線MN與直線y=2x平行.)

圖9

圖10

剖析：由①式可知直線MN的表達式與k1+k2和k1k2有關，那么當已知點P(a，b)時，改變k1和k2的數量關系就會出現三種定值問題：(1)若已知k1k2，則直線MN過y軸上一定點；(2)若已知k1+k2，則直線MN與定直線平行；(3)若k1k2和k1+k2滿足一次函數關系，即k1k2=p(k1+k2)+q(p，q為常數，且p≠0)，則直線MN過非y軸上的一定點.

3.5 條件“隱形”，以形代數

思路5：引入垂直、等腰等幾何“元素”,將斜率k1和k2之間的數量關系“隱形”，讓學生借助幾何直觀來解決問題，借此體驗由“形”到“數”的轉化過程.

圖11

圖12

變式12如圖12，點P(-3，3)在拋物線y=x2-6上，過點P的直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2分別與x軸交于點S，T，與此拋物線分別交于另一點F，H，且PS=PT，M，N分別為線段PF，PH的中點，求證：直線MN與經過原點的一條定直線平行.(參考答案：直線MN與直線y=6x平行.)

剖析：通過構造相似，將幾何條件轉化為線段之比，再將線段之比轉化為k1和k2的關系，經過化簡后發現變式11中的PH⊥PF可以轉化為k1k2=-1，變式12中的PS=PT轉化為k1+k2=0.這些知識的獲得不是靠超前學習和死記硬背得到的,而是借助形的特殊位置及性質通過推理和計算得到的，這可以讓學生更好地理解數學本質.

4 教學反思

4.1 有序變式，貴在自然

變式教學應遵循學生的認知規律，體現知識的發生、發展的過程，讓學生的思維螺旋式上升.以母題為基礎，從學生認知的最近發展區出發，有序改變問題中的核心條件和背景，由點與拋物線的位置關系變到直線與拋物線的位置關系，由相交弦→雙割線→切割線→雙切線，由特殊到一般，由簡單到復雜，由單一到多樣，由顯性到隱性，目的是讓學生發現變式的思路是有律可循的，明白變式的生成也是有源可尋的.學生在母題的演變過程中不僅體會到了變式的自然生成，而且對問題的解決和方法的領悟也不斷深入.在潛移默化中,學生掌握了數學學習規律，提升了審美意識，形成有序思維、發散思維等良好思維品質.

4.2 變式之道，成于自主

蘇霍姆林斯基認為，在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者.教學中不能只讓學生被動地解答變式問題，更要讓學生主動地發現、提出問題變式.變式教學的最終目標是讓學生做變式的主人.第一，通過變式教學，要厘清變式思路及其生成途徑，要讓學生知曉：(1)常見的變式策略和方法；(2)題目中有哪些核心條件，可以變什么，怎么變；(3)還能往哪變.第二，教學中要敢于放手，從簡單問題入手，加強學生對變式問題解決的自我探索與合作探究,加強學生對變式提出和解決思維過程、思維策略與方法的感悟，加強學生對變式活動經驗的概括、提煉與內化[2].第三，要用欣賞和鼓勵的眼光去看待學生的變式成果，增強其自信心，激發其內驅力，最大限度地挖掘其潛能.

5 結束語

在變式中思考，在變式中提高，是變式的魅力之所在.教學中，要精選具有良好的“生長點”和“延伸點”的例題，通過變式教學促進學生養成自主變式、深度學習的習慣，不斷提升其數學素養.