挖掘教材資源 拓展數學思維

?北京中學 申海東

1 引言

在傳統數學教學中過于強調“練”的作用，使整個數學學習過程都與題為伴，試圖利用“刷題”來提升解題能力，那么這樣做是否真的有效呢？過多的練習勢必會固化學生的思維，消耗學生數學學習的興趣，將數學學習當作任務，缺乏主動學習意識，影響學生探究的熱情.另外，因為過多的“練”使學生忽視了對教材的關注.殊不知，中考為了體現教學的公平性和基礎性，其考核的內容源于教材，而學生因為對教材的鉆研不夠，導致基礎題頻頻失分.可見，若教學偏離教材，學生不僅消耗了精力而且成績沒有得到實質性的提高，得不償失.因此，在教學中，教師必須將目光和精力放置于教材的鉆研上，關注例習題的拓展和應用，引導學生通過自主探究來挖掘例習題的典型性功能，使學生練就成火眼金睛，可以透過現象發現問題的本質，提升解決問題的能力[1].筆者通過例題，帶領學生進行知識點的挖掘和拓展，以期優化學生的認知，鍛煉學生的思維.

2 研讀教材，深挖內涵與外延

教材是知識點的濃縮和升華，是教學實施的依據，是設置教學活動的方向標.教師對教材的掌握程度決定了數學教學的高度.新課標實施后，教材內容更加豐富化，生活化，開放化，為教學帶來了新的機遇和新的挑戰.教材是濃縮的精華，其語言言簡意賅，其內容簡潔精煉，從而使學生感覺數學知識抽象、乏味.另外，部分教師因對教材研讀不足，上課內容空洞；對概念和公式的探究主要依賴例習題進行鞏固，缺乏概念、公式、定理的分析和講解.這樣勢必會影響學生對知識的建構和遷移.因此，為了讓學生更好地體驗教材并與教材順暢地溝通，教師要充分發揮其協調者的作用.教師要精心研讀教材，領會其豐富的知識內涵，充分挖掘例習題中所隱藏的數學思想和數學內涵，通過對教材的再開發實現夯實基礎、有效拓展的目的.

圖1

例1如圖1，AD是△ABC中∠BAC的平分線，它與△ABC的外接圓交于點D，求證：DB=DC.

為了發揮例題的示范作用，教師板演解題過程.因學生對本節課的重點內容已經精準把握，因此在講解時非常順暢，為了發揮學生的主體作用并調動學生的積極性，教師講解后提出問題：若將“AD是△ABC中∠BAC的平分線”改為“AD是△ABC的外角∠EAC的平分線”，該如何證明呢？

圖2

例2如圖2，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓交于點D，求證：DB=DC.

(學生板演證明過程.)

證明：∵AD是∠EAC的平分線，

∴∠DAC=∠DAE.

∵四邊形ABCD內接于圓O，

∴∠BAD+∠DCB=180°.

∴∠DCB=∠DAE.

又∠DAC=∠DBC,

∴∠DBC=∠DCB,

∴DB=DC.

通過新的問題引出例題，既調動了學生的積極性，又將學生的眼光由三角形內引導至三角形外.對比的教學手法讓學生深入思考，形成完善的知識體系.另外，本題主要考查圓的內接四邊形的性質，題目簡單，學生合作探究后，由學生板演解題過程，進而通過暴露學生的思維過程來培養學生的實踐能力和創新能力.

教學反思：通過研讀教材，教師才能提出有效的問題，從而用問題將新舊知識串聯，讓學生通過猜想、分析、對比逐漸形成完善的知識體系，有利于學生從特殊中總結出一般規律，有利于學生的發展.

3 變式引申，關注知識遷移

在初中數學學習中，變式教學是常用的教學方法之一，其以基礎知識為源，通過改變條件引導學生從不同角度思考問題，有利于拓展學生的知識面.同時，因變式后題目更加新穎別致，更能反映問題的本質特征，有助于學生加深對知識點的理解，進而通過變化培養思維的多樣性和創新性.

為了讓學生深化理解，關注知識點間的聯系，筆又結合圖2將題目做了這樣的拓展：

例3如圖2，△ADB和△ADC是圓O的內接三角形，AD邊公共，BD=CD，∠ABD=∠ACD，那么△ADB與△ADC是否全等呢？

通過對圖形的直觀觀察并結合三角形全等條件可以判斷兩三角形不全等.在之前的學習過程中學生主要關注性質的應用，對“為什么”的探究很少，在對“邊邊角”和“角角角”不全等的探究過程僅局限于舉出反例.研讀教材后發現，本題就是一個很好的反例.筆者通過結合圖形特點，過點D作DF⊥BE，DM⊥AC，垂足分別為F，M，引導學生進行探究，去發現隱藏在已知中的奧秘.

圖3

探究過程：如圖3，根據已知很容易證明△DFA≌△DMA，△DFB≌△DMC.通過探究驚奇地發現，△ADB與△ADC作垂線后即將△ADC多出的三角形△ADM補給△ADB，得到了兩個全等三角形.若AD與DM重合，且兩個三角形為直角三角形時，可以直接用HL定理來判斷其是否全等.另外，通過觀察還可以發現BA+AM=MC，即M是折線BAC的中點.

經過探究學生收獲了意外的驚喜，尤其BA+AM=MC為常見的幾何證明題結論，之前解題時常會感覺過于抽象無從下手，這樣從新知聯想到了舊知，引導學生經歷動手實踐的過程加深了對舊知的理解，有利于學生將新知內化至已有認知中，進而形成完整的知識體系.

教學反思：數學題目千變萬化，更換一個已知條件或一個數字就變成了一個新的題目.若僅靠機械練習而不注重總結、歸納和拓展，不但增加了學生的課業負擔，而且無法形成解題能力，不利于學生的持續發展.因此，在數學教學中要充分發揮變式的功能，借助“變”讓學生厘清問題的來龍去脈，找到問題的本質，總結出解決問題的通性通法，這樣才能具備以不變應萬變的能力，從而真正地提升解題效率.為了更好地設計恰當的變式，教師必須認真鉆研教材，結合學生學情和已有認知，借助教材中的“言外之意”來開闊學生的視野，培養學生的創新精神.

4 尋根求源，提升解題能力

經過實踐驗證，提升學生解題能力的法寶不是“題海戰術”，而且“尋根求源”的能力.雖然中考題目千變萬化，但萬變不離其宗，只有抓住了問題的本質，解決問題才能游刃有余.在教學中，教師要引導學生對問題進行剖析，尋找已知與結論的聯系，挖掘已知和結論的隱藏條件，借助已有認知進行重新建構，最終形成解題思路.

將例2的探究過程進行簡化和重建，得出了以下兩個證明題：

圖4

例3如圖4，點D是弧BAC的中點，點A是弧上任意一點，若DM⊥AC于點M，求證：M是折線ABC的中點.

例4如圖4，AB>BC,點D是弧BAC的中點，點A是弧上任意一點，若DM⊥AC，M為垂足，求證：BA+AM=MC.

例3和例4是由例2的探究而來，經過仔細分析發現其是阿基米德折弦定理.至此學生自然會聯想到定理的證明和應用，尤其補短法、截長法和垂線法這三個方法的應用在幾何證明中發揮著不可估量的作用.

教學反思：在實踐中可以發現，大多數習題都是由典型題目演變而來的.因此要提升解題能力，“尋根求源”才是關鍵，找到問題的原型，解題思路自然豁然開朗.在教學中不要盲目追求“多”“新”“難”，而應引導學生關注“變”，要對典型題目進行仔細推敲，找到問題的“前世”，這無疑會大大提升學生的解題能力.

5 追問與聯想，建構新的知識體系

由對圓內接四邊形的探究延伸至對“邊邊角”的思考，借助“邊邊角”的反例又延伸至對“阿基米德折弦定理”的思考，這樣一點點拓展，一點點編織，形成了一個巨大的知識網絡，方便學生記憶、運用.

為了讓學生進一步拓展，教師又提出問題：通過“邊邊角”你還能聯想到哪些相關的內容呢？

在問題的指引下，學生想到了HL定理、平行四邊形的判定，以及解直角三角形，這樣由點及面的構造，使學生知識網絡不斷豐富、完善.

數學教學要改變傳統“以練代思”的機械模仿模式，要給學生足夠的時間進行教材的挖掘，通過對典型題目的挖掘而深入了解知識的內涵和外延[2].同時，也要給學生足夠的空間去聯想和交流，教師可以通過問題的引導，讓學生在聯想、反思、總結中不斷完善認知，提升自我.