基于卡爾曼和最小二乘的抗野值降噪方法研究

朱紅運，龐建國，先治文

(中國人民解放軍63729部隊，山西 太原 030000)

1 引言

在工程測試中，由于測量設備本身誤差、隨機誤差和各種環境因素等干擾，使得測量數據存在噪聲，部分測量數據還會包含有嚴重偏離目標真實值的數據，通常將這些嚴重偏離目標真實值的數據稱為“野值”。根據是否連續，野值可分為孤立型野值和連續型野值[1]，孤立型野值表現形式是孤立的點，而連續型野值則成片出現，也稱為斑點型野值。在對測量數據降噪時，野值會給降噪結果帶來很大的誤差，甚至會使信號嚴重失真。因此，為獲取有效測量數據，需采用魯棒性強、濾波精度高的降噪方法，對原始數據進行降噪，并將野值剔除或進行必要的修正。

卡爾曼濾波作為線性高斯系統的最優濾波算法，具有理論基礎完備、計算簡便等優點，已廣泛應用于測量數據的降噪處理[2-3]。傳統的卡爾曼濾波魯棒性相對較差[4]，為進一步提高其魯棒性和濾波精度，許多學者對卡爾曼濾波算法進行了改進。文獻[5-7]在傳統卡爾曼濾波算法的基礎上，通過引入調節因子，設計了一種自適應卡爾曼濾波算法，提高了卡爾曼濾波器的抗野值干擾能力，但上述方法在選取調節因子時還需要依靠經驗；文獻[8]提出了一種能動態調整抗野值門限的自適應卡爾曼濾波算法，該方法可根據信號變化率自適應調整抗野值門限，有效降低野值的影響；當野值連續出現時，雖然該方法門限能夠自適應調整，具有一定的抗連續型野值干擾能力，但由于相鄰野值的變化率是隨機的，在抗野值門限調整時必然會存在一定的誤差；文獻[9]提出了一種基于最小二乘和卡爾曼濾波的跟蹤定位算法，其首先采用最小二乘法對目標點進行估算，而后使用卡爾曼濾波算法對估算值進一步修正，實現了高精度跟蹤定位，但該方法需要對每個觀測值進行擬合，隨著數據增多，擬合誤差會逐漸增大，對連續型野值的抗干擾能力有限。

鑒于此，為有效降低野值對濾波的影響，提高卡爾曼濾波精度，本文提出了一種基于卡爾曼和最小二乘的抗野值降噪方法，該方法在進行卡爾曼濾波過程中，采用最小二乘擬合方法對野值進行修正，并通過引入調節因子降低連續型野值擬合誤差的影響，提高其抗連續型野值干擾能力，最后通過仿真驗證了該方法的有效性。

2 卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波算法基本原理是求動態系統狀態序列的線性最小方差誤差估計，利用動態的狀態方程和觀測方程來描述系統。其在濾波過程中，首先建立描述隨機動態變量隨時間變化的先驗模型，而后在實時觀測隨機變量基礎上，根據前一次估計值即可推導出當前目標狀態的最優估計值。

首先，使用系統的狀態方程和觀測方程來描述需要測量的系統

X(k)=A·X(k-1)+B·U(k)+w(k)

(1)

Z(k)=H·X(k)+y(k)

(2)

式中，X(k)、X(k-1)分別為k與k-1時刻系統的狀態；A、B分別為系統狀態轉移方程和控制方程；w(k)為協方差為Q的系統噪聲；Z(k)為k時刻系統的觀測值，H為觀測狀態轉移矩陣，y(k)為協方差為R的觀測噪聲。

預測方程為

X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)

(3)

P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)AT+Q

(4)

式中，X(k|k-1)為k-1時刻對k時刻系統狀態的預測；P為誤差協方差，P(k|k-1)為k-1時刻對k時刻誤差協方差的預測；AT為A的轉置。

而后對狀態方程進行修正，具體如下

Kg(k)=P(k|k-1)HT/(HP(k|k-1)HT+R)

(5)

e(k)=Z(k)-HX(k|k-1)

(6)

X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)e(k)

(7)

P(k|k)=(I-Kg(k)H)P(k|k-1)

(8)

式中，Kg(k)為k時刻卡爾曼增益，e(k)為k時刻殘差序列，X(k|k)為濾波后的狀態值，至此完成一次完整的卡爾曼濾波。

當濾波達到穩定狀態時，e(k)為零均值服從正態分布的隨機序列，此時濾波精度較高。假設k時刻前觀測值均正常，在k時刻出現野值，則此時觀測方程可表示為

Z′(k)=Z(k)+Δ

(9)

式中，Z(k)與Z′(k)分別為疊加野值前后的觀測值，Δ為野值分量。

在野值存在時，殘差序列可表示為

e′(k)=Z(k)-HX(k|k-1)+Δ

(10)

由式(7)可知，在求濾波后狀態值時，野值分量被放大為原來的Kg(k)倍引入到狀態估計中，特別是當野值連續出現時，殘差得不到及時修正，會嚴重影響濾波精度，因而，在使用卡爾曼濾波器進行濾波時，必須對野值進行剔除或修正。

3 卡爾曼濾波與最小二乘擬合的聯合應用

3.1 野值判別

由于異常數據會在殘差中體現出來，因而通過判別殘差是否超過了合理范圍即可對野值進行辨識。對于一個服從正態分布的序列，根據高斯理論，其測量值落在[-3σ，3σ]以外的概率不超過0.3%(σ為序列的標準差)，可認為落在該區域以外的值為異常值，這就是萊特準則判別方法，也稱為3σ方法。因此可以以3σ為野值判斷閾值，殘差中落于[-3σ，3σ]以外的觀測值即可認為是野值。

當判出野值時，需對野值進行適當的處理，目前常用的方法是直接使用預測值代替野值[7]，但該方法未對預測值進行修正，從而降低了濾波精度，特別是當野值連續出現時，濾波效果會受到嚴重影響。為此，本文采用最小二乘擬合方法對野值進行修正，以提高濾波精度。

3.2 基于最小二乘擬合的野值修正

設存在n+1個點(xk，yk)，k=0，1，…，n，可求一個m次的最小二乘擬合多項式

Pm(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

(11)

為求得上式，首先構造滿足點(xk，yk)的正交基函數{Qj(x)(j=0，1，…，m)}；其中多項式Qj(x)函數次數不大于m，則Pm(x)可表示為

Pm(x)=q0Q0(x)+q1Q1(x)+…+qmQm(x)

(12)

式中

(13)

此時，正交基函數{Qj(x)(j=0，1，…，m)}的遞推表達式為

(14)

式中

(15)

(16)

將m個連續已知的點坐標代入到擬合多項式中，由最小二乘擬合原理得出擬合系數，求得擬合多項式，而后即可利用該擬合多項式外推出下一點的數值。

設k時刻系統的觀測值Z(k)為野值，X(k|k-1)為卡爾曼濾波器對k時刻系統狀態的預測值，X′(k)為外推擬合值，此時用擬合值代替野值，殘差可更新為

e(k)=X′(k)-HX(k|k-1)

(17)

而后將其代入卡爾曼濾波器進行濾波計算，完成單個野值的剔除。

受擬合多項式次數限制，當野值連續出現時，擬合誤差會逐漸積累，濾波準確度會隨之降低，為保證濾波精度，提高卡爾曼濾波抗連續型野值干擾能力，引入調節因子λ，此時，濾波后狀態X(k|k)可表示為

X(k|k)=X(k|k-1)+λKg(k)e(k)

(18)

由式(18)可知，隨著野值連續個數的增加，λ逐漸減小，即當野值連續出現時，外推擬合值對預測值的修正作用逐漸降低，由此可有效抑制擬合誤差帶來的影響，提高濾波精度。

綜上，本文提出的基于卡爾曼濾波和最小二乘擬合的抗野值降噪方法具體步驟可表述為：

步驟1：對原始信號數據進行卡爾曼濾波計算，求得k時刻殘差；

步驟2：采用萊特準則對k時刻殘差進行判別，判斷該時刻觀測值是否為野值；

步驟3：若步驟2中k時刻觀測值為正常值，則采用該觀測值對卡爾曼預測值進行修正，而后求得最終濾波結果；

步驟4：若步驟2中k時刻觀測值為野值，則采用最小二乘方法得出該時刻擬合值；

步驟5：使用步驟4中擬合值代替野值，更新k時刻殘差；

步驟6：設計調節因子λ；

步驟7：使用步驟6設計的調節因子對步驟5中更新后的殘差進行修正，而后由式(18)求得最終濾波結果。

4 仿真與分析

為檢驗所提出算法的性能，首先采用傳統卡爾曼濾波算法、文獻[8]算法、文獻[9]算法及本文算法分別對含孤立型野值的含噪仿真信號進行降噪，原始含噪信號及不同算法降噪結果如圖1所示。含噪信號信噪比為10dB，其表達式為y(t)=s(t)+n(t)+δ(t)；式中，y(t)為含噪信號，s(t)為幅值為1的原始正弦波信號，n(t)為服從正態分布的噪聲序列，δ(t)為孤立型野值，野值分別位于信號第300、500、700及1000個采樣點處。

圖1 不同算法對含孤立型野值含噪信號的降噪結果

由圖1可以看出，上述4種算法對噪聲均有一定的抑制作用，但傳統卡爾曼濾波算法抗野值干擾能力相對較弱，降噪后信號在野值點處存在一定的失真現象。

為進一步更好的比較各算法的性能，引入噪聲抑制率(noise suppression ration,NSR)和信號失真率(signal distortion ration,SDR)兩個指標參數進行評估。兩指標表達式分別為

(19)

(20)

式中，y′(n)為降噪后信號，s(n)為原始信號，y(n)為含噪信號。

由式(19)～式(20)可知，在采用上述指標評定時，噪聲抑制率越大、信號失真率越小，則表明算法的降噪性能越好。不同算法降噪后噪聲抑制率(NSR)和信號失真率(SDR)如表1所示。

表1 不同算法降噪后NSR與SDR

由表1可知，與傳統卡爾曼濾波算法相比，文獻[8]、文獻[9]算法對噪聲抑制能力更強，但由于文獻[9]在進行濾波時，用最小二乘法擬合值代替了觀測值，隨著數據增多，擬合誤差會逐漸增大，導致該方法降噪后信號失真率相比文獻[8]更大；本文算法在采用最小二乘擬合時，僅對野值進行了修正，能夠有效消除野值的影響，具有最好的降噪性能。

為檢驗所提算法抗連續型野值干擾能力，在含噪仿真信號中加入連續型野值，而后分別采用上述算法對含噪信號進行降噪處理，原始含噪信號及不同算法降噪結果如圖2所示。含噪信號信噪比為10dB，其表達式為y(t)=s(t)+n(t)+δ(t)；式中，y(t)為含噪信號，s(t)為幅值為1的原始正弦波信號，n(t)為服從正態分布的噪聲序列，δ(t)為連續型野值(連續6個野值)，連續型野值分別在信號第300、500、700及1000個采樣點處開始出現。

圖2 不同算法對含連續型野值含噪信號的降噪結果

由圖2可以看出，當野值連續出現時，傳統卡爾曼濾波算法無法有效降低野值的影響，降噪后信號中仍存在突變點，其余算法降噪后信號在野值對應位置也出現了不同程度的失真。

不同算法降噪后噪聲抑制率(NSR)和信號失真率(SDR)如表2所示。

表2 不同算法降噪后NSR與SDR

由表2可知，文獻[8]、文獻[9]算法降噪性能均優于傳統卡爾曼濾波算法，同樣由于文獻[9]在進行濾波時，用最小二乘法擬合值代替了觀測值，隨著數據增多，擬合誤差會逐漸增大，致使該方法降噪后信號失真率相比文獻[8]更大；當野值連續出現時，會對文獻[8]設計的自適應抗野值門限造成一定的誤差，導致該方法的噪聲抑制率低于文獻[9]算法；在對連續型野值處理時，本文算法通過引入調節因子，有效降低了擬合誤差帶來的影響，提高了濾波精度，因而具有最強的抗連續型野值干擾能力。

為進一步驗證所提算法的魯棒性，采用該算法分別對信噪比為10dB、8dB、6dB的含孤立型和連續型野值的含噪信號進行降噪，結果分別如表3、表4所示。

表3 含孤立型野值含噪信號的降噪結果

表4 含連續型野值含噪信號的降噪結果

由表3、表4可知，無論野值為孤立型還是連續型，隨著信噪比減小，噪聲抑制率均逐漸增大，表明本文算法具有較強的魯棒性，在強噪聲影響下仍具有很好的降噪性能及抗野值干擾能力；此外，隨著噪聲強度增強，由于受噪聲影響，降噪后信號失真率緩慢增大，屬正常現象，降噪結果表明，當噪聲較強時，信號失真率仍可以滿足要求。

5 結論

本文提出了一種基于卡爾曼和最小二乘的抗野值降噪方法，該方法在進行卡爾曼濾波過程中，使用最小二乘擬合方法對野值進行修正，有效降低了野值對降噪結果的影響。由實驗結果和理論分析可知，在進行卡爾曼濾波時，使用最小二乘擬合值代替測量信號中的野值可有效提高卡爾曼濾波算法性能，降低野值對降噪結果的影響；當野值連續出現時，逐漸減弱野值擬合結果對卡爾曼預測值的修正作用，可進一步提高卡爾曼濾波算法抗連續型野值的干擾能力。