陣元位置互質的線性陣列：互耦分析和角度估計

何 勁 唐 莽 舒 汀 郁文賢

(上海交通大學電子信息與電氣工程學院 上海 200240)

1 引言

陣列信號處理在雷達、聲吶、無線通信等領域有著廣泛的應用。信號的角度估計(也稱為方向估計、DOA估計)是陣列信號處理的核心問題之一。在過去的幾十年里，發展了大量有效的角度估計方法，形成了相對較為完善的理論體系。有關角度估計的基本方法可參考文獻[1–3]。長期以來，在設計角度估計算法時都考慮使用均勻線性陣列(Uniform Linear Array， ULA)。這是因為ULA具有便于算法設計的一些特性，如范德蒙結構、平移不變性等，同時也便于對算法進行理論和統計性能分析。根據奈奎斯特空間采樣定理，為了保證無模糊的參數估計，ULA的相鄰陣元間距不能超過半波長。這將限制整個陣列的有效孔徑，從而限制陣列的空間分辨率和對參數估計的精度。此外，如果考慮天線間的電磁行為，相鄰較近的陣元間會受到顯著的互耦影響，這也將會造成陣列參數估計性能的下降。稀疏陣列的提出，為解決以上問題提供了有效的途徑。典型的稀疏陣列結構包括嵌套陣列和互質陣列等。

嵌套陣列的概念在文獻[4]中提出。嵌套陣列由兩個或多個緊密相連的均勻線陣組成，其中每個均勻線陣都可以“嵌入”在和其串聯的均勻線陣的兩個相鄰陣元中。經過近十年的發展，嵌套陣列已被廣泛應用于實現對各類信號的角度估計，如窄帶信號[4]、寬帶信號[5]、分布式信號[6]、完全極化信號[7]、部分極化信號[8]、混合源信號[9]、非圓信號[10]等。同時，將嵌套陣列擴展到2維可實現對信號的2維角度估計[11–13]?；ベ|陣列的概念在文獻[14]中提出?；ベ|陣列是由兩個陣元個數和間距均滿足互質條件的均勻線陣組成的結構化稀疏陣列。與嵌套陣列一樣，互質陣列也被廣泛應用于解決信號的角度估計問題。有關互質陣列的角度估計算法的發展，可參考文獻[15]。

與均勻線陣相比，嵌套陣列和互質陣列由于其固有的稀疏特性增大了有效的陣列孔徑，并在一定程度上降低了陣列的互耦效應。盡管如此，嵌套陣列和互質陣列本身還存在影響互耦效應降低的因素。比如：嵌套陣列的第1級ULA陣元間距要求為半波長，互質陣列的陣元間距與陣列規模成正比，當陣列規模較小時陣元間距也較小。這些因素也使得嵌套陣列和互質陣列在使用過程中依然受到互耦效應的影響。近年來，學者們針對降低嵌套陣列和互質陣列的互耦效應，提高陣列的實用性，開展了大量工作[16–20]，這些工作也說明了評估互耦對實際系統測向性能的影響是非常必要的。

為了進一步降低稀疏陣列的互耦效應，提高陣列對角度估計的性能，本文提出一種新的稀疏陣列結構：陣元位置互質的線性陣列(Coprime Linear Arrays， CLA)，并提出一種基于CLA的無模糊角度估計算法。首先，給出了CLA的定義，并證明了其導向矢量對不同信號方向是線性獨立的。隨后，利用高階累積量，建立了陣列輸出信號的3階張量模型，并通過張量分解得到導向矢量的估計。最后，利用得到的導向矢量估計，推導了一種求解無模糊信號角度估計的方法。不同于嵌套陣列和互質陣列，CLA可將相鄰陣元間的間距設計遠大于半波長，從而顯著降低陣列互耦效應。在計算機仿真實驗中，通過阻抗匹配互耦模型比較了CLA和均勻線陣、嵌套陣列和互質陣列的互耦效應和角度估計性能，證明了CLA的有效性。

2 陣列模型與問題描述

首先，考慮如圖1所示的線性陣列。不失一般性，假設陣列由L+1個陣元組成，沿y軸放置。陣元0放置在原點，作為相位參考，其余L個陣元的坐標分別為d1，d2，...，dL， 其中d?=m?D，D=λ/2，λ表示系統波長。定義圖1 所示的陣列滿足當?1∈[1，L]，?2∈[1，L]，m?1和m?2互質時，表示陣元位置互質的線性陣列，即CLA。CLA與互質陣列具有明顯區別，互質陣列可分解為兩個均勻線陣，而CLA 的任意子陣(大于兩個陣元)均不是均勻線陣。

圖1 陣元位置互質的線性陣列示意圖

3 互耦影響分析

事實上，在陣列信號處理文獻中廣泛使用的接收信號模型式(2)并不是用于表示實際數據測量值的合理模型，因為式(2)中未考慮電磁行為引起的天線/陣元之間的互耦效應。通常，從信號處理的角度處理陣列互耦問題的方法是，首先通過將耦合矩陣M乘以陣列流形矩陣A來建模耦合數據，然后通過估計矩陣M進行解耦合/去耦合。但由于由天線電磁行為較為復雜，實際耦合模型難以用數學方式建模，因此這種解決方案將導致假定的互耦模型與實際耦合模型不匹配，從而導致非隨機系統參數估計誤差。

互耦矩陣M的非對角元素反映了陣元間互耦的“量”。此外，根據天線和電路理論，M的非對角元素的大小與天線/陣元間的距離成反比。這意味著當陣元間距足夠大時，M將成為單位矩陣。只有在這種情況下，系統模型式(2)才是合理的。利用這一見解，可以通過將CLA的陣元間距設計為遠大于半波長，從而顯著降低互耦的影響，以合理的方式忽略互耦對參數估計性能的影響，提高角度估計精度。

4 角度估計算法

在陣列信號處理中，實現無模糊角度估計的前提是不同角度對應的導向矢量彼此線性獨立。因此，在推導角度估計算法之間，首先在定理1中證明對不同信號角度，CLA的導向矢量是線性獨立的。

定理1 對圖1定義的CLA，對應于不同方向的導向矢量彼此線性獨立。

證明 參見附錄1。

定理2表明，陣列輸出的高階累積量矩陣可以表示成陣列流形矩陣的3階張量形式。因此，陣列流形矩陣A可以通過對張量模型式(6)或式(10)進行低秩分解得到。有許多有效的方法可以實現3階張量模型低秩分解。本文將采用三線性交替二乘(Trilinear Alternating Least Square， TALS)算法[22]進行求解。TALS算法的核心思想概述如下：將待估計參數分為3組(根據式(10)，分別為AΓ，A和AH)，依次對其中一組參數進行最小二乘法求解直到代價函數或參數的變化小于預定義的收斂標準。由于TALS算法的每一步都是基于最小二乘的優化，因此可以確保TALS算法單調收斂。后續仿真中，將使用COMFAC (COMplex parallel FACtor analysis)算法[22]來實現TALS的快速收斂。根據式(10)，利用COMFAC算法得到的是AΓ，A和AH估計值。通過簡單的運算即可得到導向矢量矩陣A的3組估計值。對這3組估計值取平均可進一步降低噪聲的影響，提高參數估計精度。

5 討論

通過前面幾個小節的分析，提出的CLA可以在降低互耦效應的同時，實現無模糊的角度估計。與文獻[16–20]中已有的低互耦效應稀疏線陣相比，CLA具有以下兩個特點和優勢：一是CLA完全稀疏，即陣列中不包含間距為半波長的陣元，理論上CLA的互耦效應比文獻[16–20]中的稀疏陣列更低；二是相同陣元個數時，CLA可具有比文獻[16–20]中的稀疏陣列更大的陣列孔徑，理論上CLA的角度分辨率和角度估計精度比文獻[16–20]中的稀疏陣列更高。上述兩點將在計算機仿真分析中進行進一步比較和說明。

根據CLA的定義，對任意給定的陣元數目，CLA的結構并不唯一。從降低互耦和提高測角精度的角度考慮，在滿足CLA的條件下，陣列孔徑越大，其受到的互耦影響越小，相應的測角精度越高。上述兩點將在計算機仿真分析中進行進一步比較和說明。從系統設計的角度考慮，實際陣列的孔徑將受到部署陣列的系統負載限制。因此，在使用CLA進行測角時，需要在估計性能和總陣列孔徑之間進行折中。

6 計算機仿真分析

本節將通過計算機仿真對CLA的互耦效應和角度估計精度進行分析。為說明CLA的優勢，將其與均勻線陣(ULA)、嵌套陣列(NA)、互質陣列(CA)以及具有低互耦效應的超級嵌套陣列(SNA)[16]、擴展嵌套陣列(ANA)[17]、廣義嵌套陣列(GNA)[18]和CAP-3互質陣列[20]進行比較。假設所有考慮的陣列均為偶極子天線陣列，陣元個數L為偶數。對嵌套陣列，兩級的陣元個數均為L/2。對互質陣列，由于兩個ULA具有共同參考陣元，其陣元個數分別為L/2和(L + 2)/2。對其余陣列結構，采用相應文獻中的最優方法設置陣元位置。對CLA的設置，文中考慮以下兩種情況：相鄰兩個陣元間距為大于10λ和15λ的最小質數，分別用CLA (1)和CLA (2)表示。為分析互耦效應，考慮偶極子天線應用中廣泛使用的互耦模型將互耦矩陣M建模為[23]

圖2 互耦泄漏因子隨陣元個數的變化關系

根據CLA的理論分析知道其導向矢量是不模糊的，因此可以利用傳統的估計算法，如Capon算法和MUSIC算法，進行角度估計。為進一步說明CLA的有效性，比較傳統的Capon算法和MUSIC算法與提出的算法之間的性能。仿真條件與前面的仿真相同，使用CLA式 (1)陣列結構。圖5給出了3種算法的均方根誤差隨信噪比的變化關系。通過仿真可以發現，提出的算法的性能與傳統的算法相當，但提出的算法無需譜峰搜索運算，因此具有相對較低的計算復雜度。

圖3 角度估計的均方根誤差隨信噪比的變化關系，未考慮互耦

圖4 角度估計的均方根誤差隨信噪比的變化關系，考慮互耦

圖5 角度估計的均方根誤差隨信噪比的變化關系，考慮互耦

7 結束語

針對現有稀疏陣列存在的陣列互耦影響角度測量精度的問題，本文提出了陣元位置互質的線性陣列(Coprime Linear Arrays， CLA)，分析了CLA的互耦影響并提出了一種基于CLA的角度估計方法。論文證明了CLA導向矢量的無模糊性，推導了一種基于陣列輸出高階累積量張量分解的無模糊信號角度估計算法。CLA可將相鄰陣元間的間距設計遠大于半波長，從而可顯著降低陣列互耦效應。通過計算機仿真實驗與典型的陣列結構進行比較，證明了CLA在降低陣列互耦和提高角度估計精度方面的優勢。CLA也可應用于解決陣列信號處理的其它問題，如陣列校正和波束形成，相應的方法將另文給出。