單擺系統的多時滯控制與特征根分析

趙東霞， 范東霞， 王婷婷， 毛 莉

(中北大學理學院，太原 030051)

0 引言

單擺是一個具有深厚物理背景的典型非線性系統，基于單擺的應用已經有很多，例如，在機械振動、汽車工程等領域都具有重要的應用價值。越來越多的國內外專家學者和工程技術人員對單擺系統的鎮定和控制問題產生了興趣。例如，文獻[1]采用Lyapunov 函數方法建立了無阻尼單擺系統的穩定性。文獻[2]提出了一種自適應滑模控制器，建立了分數階單擺系統在有限時間內的穩定性和收斂性。文獻[3]研究了單擺的混沌運動，給出了周期性外力作用下的單擺系統的動力學分析。另一方面，研究表明，簡單的位置反饋往往不能取得受控系統的滿意結果，甚至不能使受控系統達到穩定。因而，伴隨著時滯系統穩定性分析的不斷深入，時滯反饋控制器在單擺系統的鎮定問題上得到了廣泛應用，通過調整反饋參數及時滯值使得系統達到漸近穩定甚至指數穩定，取得了一系列的研究成果[4–8]。文獻[9]從近似計算和數值仿真的角度闡述了位置反饋和時滯位置反饋控制器的優越性。文獻[10]采用特征根分析方法，建立了單擺系統的穩定性與系統參數及時滯值之間的充要條件，分別得到了與時滯相關和與時滯無關的穩定性結論。文獻[11]研究了位于小車上的倒立擺系統的時滯控制器設計，建立了與時滯相關的穩定性結論。文獻[12]針對有阻尼的單擺系統，分別采用Lyapunov 函數方法和Lyapunov 矩陣方法得到了系統穩定時參數所滿足的充分性條件。

受上述文獻啟發，本文采用位置反饋和時滯位置反饋控制器去鎮定一類單擺系統，并且將控制器本身具有時滯這一實際因素考慮了進去。此時，目標系統變為一個雙時滯系統，該系統穩定的參數充分性條件以及特征值的漸近表達式在已有文獻中尚未可見。本文第1 部分，主要是設計控制器建立數學模型，第2 部分，致力于建立與時滯相關和與時滯無關的穩定性結論，第3 部分，主要是分析特征根的重數并導出當特征值的實部趨于負無窮大時特征值的漸近表達式，第4 部分，利用Matlab 數學軟件進行數值仿真用以佐證結論的有效性。

1 系統描述

眾所周知，系統(4)是局部漸近穩定的當且僅當線性化系統(5)是漸近穩定的(對于線性系統而言，局部穩定和全局穩定是等價的)，亦當且僅當系統(5)的特征方程的所有根具有負實部。本文致力于建立線性化系統(5)的穩定性以及特征值的漸近表達式，尤其是時滯τ2的出現對系統穩定性的影響。

2 穩定性分析

于是，隨著時滯τ2的微小增加，應用解析函數的零點重數之和關于參數的連續依賴性定理[13]可得如下結論。

引理2 當τ2＞0 且充分靠近0 時，特征方程(6)的所有根均具有負實部，當且僅當參數滿足(8)式。

隨著時滯τ2的進一步增加，穩定性發生切換，當且僅當零點出現在虛軸上或穿越虛軸。于是，不妨設λ=iω(ω ＞0)為特征方程(6)的純虛根，則

3 特征值分析

4 數值仿真

在這一部分，利用Matlab 數學軟件對時滯單擺系統(4)的穩定性進行數值模擬。

例1 在系統(4)中，取L= 1 m，g= 9.8 m/s2，τ1= 0.5 s，a= 8，b= 0.5。一方面，容易驗證這些參數滿足條件(8)。另外，計算可得，方程(16)無根(見圖1)。于是，由定理1 可得，系統(4)的零解漸近穩定，如圖2 所示，其中τ2= 0.4 s，初值條件取為θ(t)=0.5，θ′(t)=0，t ∈(－0.9，0)。

圖1 方程(16)無實根

圖2 a=8， b=0.5， τ1 =0.5 s， τ2 =0.4 s 時，系統(5)的狀態的收斂性

例2 在系統(4)中，取L= 1 m，g= 9.8 m/s2，τ1= 0.3 s，τ2= 0.2 s，a= 1，b=1.5。一方面，容易驗證這些參數滿足條件(8)。另外，結合(16)式、(17)式和(18)式，計算可得τ02= 1.066＞τ2。于是，由定理2 可得，系統(4)的零解漸近穩定，如圖3 和圖4 所示，其中初值條件取為θ(t)=0.5，θ′(t)=0，t ∈(－0.5，0)。

圖3 方程(16)有實根

圖4 a=1， b=1.5， τ1 =0.3 s， τ2 =0.2 s 時，系統(5)的狀態的收斂性

5 結論與討論

本文采用位置反饋和時滯位置反饋控制器(即PDP 控制器)去鎮定一類單擺系統，并且將控制器本身具有時滯這一實際因素考慮了進去。此時，目標系統變為一個雙時滯系統，本文首先采用特征根分析方法考查含有兩個時滯的線性化單擺系統的穩定性，建立了系統參數及兩個時滯值與系統穩定性之間的關系，得到了與時滯相關和與時滯無關的穩定性結論。進而，本文還分析了特征根的代數重數以及當特征值的實部趨于負無窮大時特征值的漸近表達式。最后，通過Matlab 數值仿真驗證了結論的有效性。本文的宗旨是用時滯控制器鎮定一類非穩定二階常微分方程(ODE)系統，對于n階ODE 系統的多時滯控制問題進行類似的研究將是我們接下來要做的工作。