基于混合有限差分格式的非線性奇異攝動問題的最大范數的后驗誤差估計

包小兵， 劉利斌， 梁治芳

(1. 池州學院大數據與人工智能學院，安徽 池州 247000;2. 南寧師范大學數學與統計學院，廣西 南寧 530299)

0 引言

眾所周知，奇異攝動問題廣泛存在于自然科學和工程技術的各個領域，如Navier-Stokes 方程、油藏模擬、量子力學、最優控制等。這類問題所對應的微分方程的高階導數項包含正的攝動參數。一般情況下，這類問題很難求出精確解，尤其是非線性的問題。因此，研究奇異攝動問題的數值方法顯得非常的重要。

基于此，本文考慮如下帶參數的一階非線性奇異攝動問題

其中0＜ε ?1，λ是待求的參數，A和B是已知的常數。假設函數f(x，u(x)，λ)∈C1(Ω×R2)，且存在常數α、b*、m1、M1，使得

由條件(2)和(3)可知，問題(1)存在唯一解。當ε →0 時，問題(1)的解在x= 0 處存在邊界層。

近十多年來，帶參數的奇異攝動問題數值方法的研究引起了許多學者的興趣。Amiraliyev 和Duru[1]在Shishkin 網格上構造了問題(1)的有限差分方法，并證明了離散格式是幾乎一階收斂。接著，Amiraliyev 等[2]進一步證明了在Bakhvalov 網格下的有限差分法是一階收斂的。Cen[3]針對問題(1)，在Shishkin 網格下提出了一種混合的有限差分格式，并證明了離散格式是幾乎二階收斂的。Wang 等[4]提出了一種數值求解問題(1)的高精度的重心有理譜方法，但是沒有給出任何理論分析。在文獻[5]中，Kudu 將問題(1)的邊界條件改成了積分邊界條件，并在Bakhvalov 網格下證明了有限差分離散格式是一階一致收斂的。顯然，上述大部分方法屬于奇異攝動問題的層適應網格方法。該方法構造簡單，且比較容易分析其收斂性，但是該方法要求給出解的先驗信息。

相比之下，自適應移動網格方法可廣泛應用于工程應用中所涉及的有邊界層的奇異攝動問題的求解。例如，段獻葆等[6]考慮了流體力學中典型的Navier-Stokes 方程，對求解區域進行有限元剖分，進而構建移動網格算法進行求解，但作者并未給出理論分析。最近，Das[7]利用向后的歐拉公式對問題(1)進行了離散，并利用多項式插值的誤差估計，給出了離散解的最大范數的后驗誤差估計，并設計了相應的網格生成算法。基于有限差分方法，Shakti 和Mohapatra 在文獻[8—9]中討論了問題(1)的自適應移動網格算法，利用外推技術及解的導數估計，證明了半離散格式下的自適應移動網格算法是二階收斂的。劉利斌和方虹淋[10]在文獻[7]的基礎上系統討論了問題(1)的自適應移動網格算法，證明了在經典的弧長控制函數下，半離散格式是一階收斂的。同時，利用多項式插值的誤差估計，給出了基于全離散格式的后驗誤差估計的自適應網格算法。考慮到文獻[8—9]僅僅給出了半離散格式下自適應移動網格算法的收斂性，而文獻[10]的收斂階只有一階，本文受文獻[3]的啟發，將在任意網格下給出問題(1)的混合有限差分格式，并證明離散格式的穩定性。然后，利用多項式插值技術，推出了混合差分格式的后驗誤差估計，并以此設計了相應的網格生成算法。

注1 在本文中，C表示與ε和網格大小N無關的任意常數，在不同的位置可以表示不同的數值。

1 預備知識

為了能更好的構造數值方法，首先給出精確解及其導數的邊界和漸近性分析。然后，構造了在非均勻網格上的離散格式。最后，得到了離散解的穩定性分析。

2 后驗誤差估計

最后，由引理2 可得(23)式。

3 自適應網格生成算法

眾所周知，后驗誤差估計對奇異攝動問題自適應網格算法的設計起到至關重要的作用。近年來，許多學者利用有限差分或有限元方法，給出了奇異攝動問題的后驗誤差估計及相應的網格生成算法[11–14]。一般情況下，自適應網格算法的基本思想是構造合適的后驗誤差估計

4 數值實驗

為了驗證本文構造的后驗誤差估計及相應的自適應網格算法的有效性，我們考慮如下帶參數的非線性奇異攝動問題

根據文獻[3]所構造的Shishkin 網格及差分格式，分別對應于上述ε和N的取值，計算得到相應的誤差和收斂階。結果表明，在此網格下，對于不同的ε參數值，計算結果完全相同，因而只在表2 中列出了ε=10-j(j=4，5，6，7)時的計算結果。從表1 和表2 的數值結果可以看出，本文提出的自適應網格方法的收斂階明顯高于Shishkin 網格方法的收斂階，同時也驗證了理論結果。

表1 自適應移動網格算法的數值結果

續表

表2 Shishkin 網格算法的數值結果

此外，為了進一步展示自適應網格的迭代生成過程，當ε= 10-6，N= 64 時，圖1 畫出了網格的移動過程(自下而上)。同時，圖2 也給出了當ε=10-6，N=64 時，問題(34)的數值解的變化曲線。從圖1 和圖2 可以明顯看出，問題(34)的解在x= 0 點處存在邊界層。

圖1 網格迭代過程

圖2 數值解的曲線圖

5 結論

基于混合有限差分格式，本文系統討論了一類帶參數的一階非線性奇異攝動問題的自適應移動網格算法。利用離散格式的穩定性和多項式插值，構造了一個具有二階精度的最大范數的后驗誤差估計，并設計了相應的網格算法。值得一提的是，本文所給出的后驗誤差估計的構造思想及相應的網格生成算法可以進一步推廣到其他一階奇異攝動問題的數值模擬。