基于直覺模糊張量的決策方法及其應用

鄧勝岳， 譚金桃， 宋玉琴， 申 靜

(1. 湖南工業(yè)大學理學院，株洲 412007; 2. 湖南工業(yè)大學經濟與貿易學院，株洲 412007)

0 引言

多屬性決策是在考慮多個屬性的前提下，選擇最優(yōu)的備選方案或對備選方案進行排序的決策問題[1]。作為現(xiàn)代決策科學的一個重要組成部分，多屬性決策的理論和方法廣泛應用在工程技術、經濟管理、控制和軍事等諸多領域中。信息集成不僅是決策理論中的關鍵問題之一，而且也是目前處理多屬性決策問題的主要方法之一。因此，針對多屬性決策信息集成問題，國內外許多專家展開了系統(tǒng)深入的研究，取得了一系列的研究成果。自Atanassov[2]提出了直覺模糊集以來，基于直覺模糊集的多屬性群決策受到了學術界廣泛的關注，特別是對于直覺模糊多屬性決策信息集成問題，Xu 等[1，3—10]先后定義了直覺模糊有序加權平均算子、模糊加權幾何算子、直覺模糊有序加權算子、直覺模糊有序加權幾何算子、直覺模糊混合算子和直覺模糊混合幾何算子、直覺模糊集相似度并提出了對應的直覺模糊多屬性決策方法；Li[11]提出了廣義直覺模糊有序加權平均算子；Zhao 等[12]給出了廣義直覺模糊混合平均算子和廣義直覺模糊加權平均算子；Xia 和Xu[13]根據(jù)熵的概念及性質，提出了關于直覺模糊多屬性決策熵和交叉熵的方法。然而，隨著決策系統(tǒng)的日益復雜化，影響決策的因素越來越多，獲取的決策數(shù)據(jù)的維數(shù)與量級越來越大，導致了原有基于矩陣理論的決策方法難以有效地處理具有高維數(shù)據(jù)特征的復雜決策系統(tǒng)問題。

隨著Qi[14]和Lim[15]于2005 年分別獨立提出了張量特征值和張量特征向量的概念，相關研究成果在國內外學術界引起熱烈反響，吸引了一大批學者從事張量理論及其應用的研究[16—20]。目前，學術界對張量的研究主要集中在張量譜理論、張量計算、張量的分類以及應用等方向，僅有幾篇文獻涉及到模糊張量的概念、性質及其應用的研究，其中Chen 等[21—23]定義了模糊張量特殊形式(即維數(shù)相等)，并將3 階模糊張量應用到普安古樹茶的分類問題等；Deng 等[24—25]定義了模糊張量的一般形式(維數(shù)可以不相等，也可以相等)，并將模糊張量成功應用于決策理論與實踐中。

由于具有高階多維特征的模糊張量恰好能從理論上解決具有高維數(shù)據(jù)特征的復雜決策系統(tǒng)的建模、計算與綜合集成問題。因此，針對直覺模糊環(huán)境下具有高維數(shù)據(jù)特征的復雜決策問題，在我們已有研究成果的基礎上[24—25]，定義了直覺模糊張量的一般形式，建立了基于直覺模糊張量的廣義直覺模糊加權平均算子，提出了基于直覺模糊張量的決策方法，設計了基于直覺模糊張量的算法，通過具有四維數(shù)據(jù)特征的動態(tài)多屬性群決策算例，驗證了本文所提模型及方法的有效性和可行性。

1 基礎知識

本節(jié)簡要介紹直覺模糊集和直覺模糊信息集成理論的基礎知識，以及說明本文中所要涉及到的符號，具體如下。

則函數(shù)GIFWA 是廣義直覺模糊加權平均算子。

2 基于直覺模糊張量的廣義直覺模糊加權平均算子

由于直覺模糊信息集成理論有助于處理直覺模糊多屬性決策問題，因此，本節(jié)將利用基于模糊張量的廣義模糊綜合評價方法[24]，推導出廣義直覺模糊加權平均(GIFWA)算子，提出了基于直覺模糊張量的決策方法，為設計算法奠定理論基礎。

定理1 設～AIF∈TIF(m，n1×n2×···×nm)是m階直覺模糊張量，即～AIF=(ai1i2···im)n1×n2×···×nm，其中ai1i2···im= (μi1i2···im，νi1i2···im)，則等式(1)的集成值表達式為

可得

因此，定理1 的計算結果是n1維直覺模糊(IF)向量。

3 算法

4 應用

為了說明基于直覺模糊張量的決策方法能夠解決具有高維數(shù)據(jù)特征的決策問題，本節(jié)將以動態(tài)多屬性群決策問題為例。該算例是對文獻[1]中的例題6.3.1，以及文獻[7]中的案例做了適當?shù)男薷模唧w如下。

算例1 考慮湖北省農業(yè)生態(tài)區(qū)排序問題。根據(jù)環(huán)境與自然資源的區(qū)別和差異，湖北省可大致劃分為7 個農業(yè)生態(tài)區(qū)：Y1—武漢—鄂州—黃岡；Y2—湖北東北部；Y3—湖北東南部；Y4—江漢地區(qū)；Y5—湖北北部；Y6—湖北西北部；Y7—湖北西南部。為了考慮這些農業(yè)生態(tài)區(qū)Yi(i= 1，2，···，7)的綜合功能，成立了一個由三位專家組成的委員會El(l= 1，2，3)，該委員會根據(jù)三個不同的屬性Gj(j= 1，2，3)在2004 年至2006 年對7 個農業(yè)生態(tài)區(qū)Yi(i=1，2，···，7)進行評價。其中三個不同的屬性分別是：

1)G1是生態(tài)效益； 2)G2是經濟效益； 3)G3是社會效益。

令ω= (1/6，2/6，3/6)T是年份tlk(k= 1，2，3)的權重向量，λ= (0.5，0.2，0.3)T是決策者El(l= 1，2，3)的權重向量，ξ= (0.3，0.4，0.3)T是屬性Gj(j= 1，2，3)的權重向量，并且R(tlk)(l，k= 1，2，3)是標準化個體直覺模糊決策矩陣(此處tl1表示“2004”年，tl2表示“2005”年，tl3表示“2006”年)，詳見表1 至表9。

表1 直覺模糊決策矩陣R(t11)

表2 直覺模糊決策矩陣R(t21)

表3 直覺模糊決策矩陣R(t31)

表4 直覺模糊決策矩陣R(t12)

表5 直覺模糊決策矩陣R(t22)

表6 直覺模糊決策矩陣R(t32)

表9 直覺模糊決策矩陣R(t33)

表7 直覺模糊決策矩陣R(t13)

表8 直覺模糊決策矩陣R(t23)

即

步驟4根據(jù)得分函數(shù)s(Yi1)的結果，7 個農業(yè)區(qū)域的排序為Y1?Y4?Y2?Y5?Y3?Y7?Y6。因此，功能最全面的農業(yè)生態(tài)區(qū)是Y1—武漢—鄂州—黃岡。

與其他方法的比較：文獻[1]中的例題6.3.1 以及文獻[7]中的案例利用動態(tài)直覺模糊加權平均算子只能解決具有三維數(shù)據(jù)特征的動態(tài)多屬性決策問題，并且本文提出的基于直覺模糊張量的廣義直覺模糊加權平均算子是動態(tài)直覺模糊加權平均算子的一般形式。通過分析上述算例，本文提出的基于直覺模糊張量的決策方法不僅能夠解決具有四維數(shù)據(jù)特征的動態(tài)多屬性群決策問題，而且也可以處理具有三維數(shù)據(jù)特征的多屬性群決策問題或者具有更高維數(shù)據(jù)的實際復雜決策問題。因此，與其他方法相比，本文所提出的方法具有廣泛的適用性。

5 結論

為了解決具有高維數(shù)據(jù)特征的直覺模糊決策問題，本文定義了直覺模糊張量及其運算法則，建立了基于直覺模糊張量的廣義直覺模糊加權平均算子，設計了基于直覺模糊張量的直覺模糊決策算法，該算法能有效解決以動態(tài)多屬性群決策為代表的高維數(shù)據(jù)特征的復雜決策問題。最后，通過算例驗證了本文所提方法的可行性和有效性。