數列中探索性問題的類型與破解策略

?江蘇省大豐高級中學

姜興榮

1 引言

數列中的探索性問題是近年新課標高考中比較常見的一類創新性問題，根據數列中的定義、通項公式、求和公式以及相關性質等加以變形與應用，通過觀察、分析、試驗、歸納、運算、類比、猜想、論證來剖析與轉化，創新成分非常高.

2 數列中的條件探索性問題

此類問題的基本特征是：結合確定的結論，探尋未知條件，或確定條件的增刪情況，或判定條件的正誤等.解決此類數列問題的基本策略是執果索因，首先確定結論成立的必要條件，再檢驗或認證結論成立的充分條件.注意“執果索因”中推理過程是否可逆.

例1已知函數f(x)=logkx(k為常數，k>0且k≠1).

(1)在下列三個條件中選擇一個，使{an}是等比數列，并說明理由：

①{f(an)}是首項為2，公比為2的等比數列；

②{f(an)}是首項為4，公差為2的等差數列；

③{f(an)}是首項為2，公差為2的等差數列的前n項和構成的數列.

分析：對第(1)問根據等比數列的定義，結合不同條件建立對應的f(an)的關系式，通過數學運算與變形來分析；對第(2)問，結合(1)的結論與對應的條件，確定數列{bn}的通項公式，利用通項公式的裂項相消進行數列求和.

解析：(1)條件①③不能使數列{an}成等比數列，條件②可以.

所以

Tn=b1+b2+……+bn

點評：涉及數列中的條件探索性問題，根據不同條件加以合理推理與轉化，通過數列中定義、公式、性質等的應用來分析與運算.此類條件探索類問題，可以通過數列中的不同條件來分析對應的結論，也可以通過數列中的確定結論來反推滿足題意的條件等.

3 數列中的結論探索性問題

此類數列問題的基本特征是：給出確定的條件，自行確定對應的結論或判定結論的正誤等.解決此類數列問題的基本策略是先探索結論而后去論證結論.注意從特殊情況入手加以觀察，再合理分析，并歸納與猜想，最后論證.

例2已知各項均不為零的數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=4，an+1=3Sn+4(n∈N*).

(1)求數列{an}的通項公式；

分析：(1)由數列的遞推關系式，合理變形，結合等比數列的定義確定數列類型，進而確定對應的通項公式；(2)通過第(1)問的結論以及條件中關系式確定bn的表達式，利用錯位相減法進行數列求和，借助不等式的放縮法來確定大小關系.

①

②

①式-②式,得

點評：涉及數列中的結論探索性問題，一定要先確定一個相應的結論，再進行合理推理論證.對比較大小的問題，經常可以通過構建函數，利用函數的基本性質來分析，也可利用放縮法加以變形轉化等.

4 數列中的存在探索性問題

此類數列問題的基本特征是根據確定的條件，判斷數列對象是否存在或相應結論是否成立.解決此類數列問題的基本策略是：先假定存在性，再在此條件下加以合理推理，推理正確則肯定結論，推理矛盾則否定假設.注意反證法的應用.

已知{an}是公差為2的等差數列，其前n項和為Sn，______.

(1)求數列{an}的通項公式.

分析：(1)根據選擇的條件，從不同角度，結合不同數列類型加以變形與轉化，進而確定數列{an}的通項公式；(2)結合第(1)問的結論與對應的條件來確定bn的表達式，利用作差比較法進行合理變形，通過項數n的取值情況確定數列{bn}中的最大項，進而確定數列的存在性問題.

若選③數列{a2n}的前5項和為65，則a2(n+1)-a2n=[2(n+1)-2n]×2=4，因為a2=a1+2，所以{a2n}是首項為a1+2，公差為4的等差數列.

點評：遇到含多個變量的數列存在探索性問題，在假設存在的情況下，確定滿足條件的關系再進一步尋找相關的條件，而根據條件推出矛盾則說明不存在.破解此類問題一般可以利用數列的函數性質、重要不等式、函數的值域或取值范圍等的判斷來確定對應的存在性問題.

5 結束語

處理數列中的探索性問題，應充分利用已知條件或對應的結論，合理根據數列前幾項的特點透徹分析、發現規律、猜想條件或結論的存在性等，綜合不等式的性質(包括放縮法等)、函數的性質等加以合理運算與推理，從而得以解決探索性問題，提升數學應用與創新能力.綜合數學知識、數學思想方法和數學能力的應用，養成良好的數學品質，培養數學核心素養.