數形結合 直觀解題

?廣東省開平市第一中學

林慶倫

1 引言

數學思想方法相比較于數學基礎知識，具有更高的內涵層次和觀念性的地位.而數形結合思想，有效實現代數問題與幾何問題的等價轉化，借助幾何直觀的分析與代數抽象的探索，尋找更為簡單快捷破解問題的方法，從而使得問題得以巧妙破解.

2 破解涉及方程的解或函數零點的問題

在破解涉及方程的解或函數零點的問題時，往往借助兩個基本初等函數的構造，結合函數的圖象，探討兩函數的交點問題，數形結合，可以直觀快捷地處理此類問題.

若函數y=f(x)-ax-b恰有三個零點，則( ).

A.a<-1，b<0 B.a<-1，b>0

C.a>-1，b<0 D.a>-1，b>0

分析：利用函數y=f(x)-ax-b恰有三個零點的條件，結合分段函數中自變量的分類討論，在不同背景下確定零點情況，進而分離參數，根據函數圖象，直觀剖析參數的取值范圍.

圖1

故選:C.

點評：利用數形結合思想破解方程的解或函數的零點問題時，借助函數的圖象數形結合，同時一定要注意函數圖象的準確性、全面性，否則會得到錯解.

3 破解涉及取值范圍或最值問題

在破解涉及取值范圍或最值問題時，關鍵是分析題目中相應關系式(等式或代數式)的結構，挖掘其中蘊含的幾何特征或幾何意義，數形結合.借助幾何特征或幾何意義的變化情況，直觀分析，利用幾何法求解.

分析：利用曲線上動點的“動”態，結合兩平行線間距離的“靜”態及平行直線的設置，數形結合處理.聯立方程組，利用方程的判別式加以轉化，以代數運算來解決“動”態幾何問題，直觀有效.

圖2

2x2+mx+4=0，

故填答案：4.

點評：在解決一些涉及“動”態的取值范圍或最值問題時，通過數形結合，利用對應的幾何特征或幾何意義的巧妙轉化，以及圖象的直觀想象，對于解決一些參數的取值范圍或最值問題有奇效.

4 破解涉及不等式問題

在破解涉及不等式問題時，根據不等式的合理恒等變形，轉化為兩個熟知的基本初等函數值的大小關系問題.通過數形結合，利用函數圖象的位置關系加以直觀分析，破解相應的不等式問題.

例3(2020年高考數學北京卷第6題)已知函數f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)>0的解集是( ).

A.(-1，1) B.(-∞，-1)∪(1，+∞)

C.(0，1) D.(-∞，0)∪(1，+∞)

分析：通過題目條件中的函數，轉化為兩個熟知的指數函數與一次函數，結合對應函數的圖象，數形結合，直觀解決有關不等式的解集問題.

圖3

解析：如圖3，在同一平面直角坐標系中作出函數y=2x與函數y=x+1的圖象.

結合圖象可知，兩函數對應的交點坐標分別為(0，1)，(1，2).

數形結合可知，不等式f(x)>0的解集是

{x|x<0，或x>1}.

即x∈(-∞，0)∪(1，+∞).

故選：D.

點評：利用數形結合思想破解不等式問題時，借助不等式轉化為熟知的基本初等函數問題，一般通過兩個基本初等函數的圖象加以數形結合，直觀處理，往往可以避免繁瑣的運算，回避復雜的分類討論等，獲得簡捷的解答.

5 破解涉及解析幾何問題

在破解涉及解析幾何問題時，回歸解析幾何中點、直線、曲線等之間的圖形特征與位置關系，數形結合，通過平面幾何圖形的特征、性質、關系等加以直觀想象，從而快捷簡單處理解析幾何問題.

分析：根據題目條件，先確定右焦點F的坐標，數形結合，根據對稱點的性質可知x軸平分∠QFQ′，結合垂直確定其角度，得以確定直線的斜率，即可求解對應直線的方程.

圖4

又Q關于x軸對稱的點為Q′，且PQ⊥FQ′，如圖4所示，根據對稱性可知kPF=kl=-1.

所以，直線l的方程為y-0=-1×(x-1)，即x+y-1=0.

故填答案：x+y-1=0.

點評：破解解析幾何問題時，經常利用平面幾何中點、角、直線、圖形等的性質，合理建立相應的關系，直觀有效，數形結合破解.

6 總結

合理有效利用數學思想方法破解數學問題，是數學基本內容的深入應用，也是文字和符號的高度抽象與應用，是對數學知識的進一步認識、創新與應用.特別對于數形結合思想的應用，巧妙借助等價性原則、雙向性原則、簡單性原則等加以分析與處理，直觀形象，巧妙破解.