化歸轉化思想在三角恒等變換題型中的應用

?甘肅省慶陽市鎮原縣第二中學

王 東

1 引言

三角變換中利用化歸轉化思想將復雜的三角函數問題化為形如f(x)=Asin(ωx+φ)+b簡單易求解的函數模型.這類題型的設計往往為以下幾種情況：結合三角函數求最大(小)值，利用實際問題構建函數模型解決問題，利用向量的運算求解角度或結合解三角形求邊長等.熟記公式并靈活應用是解決此類題型的關鍵.

2 例題分析

分析：題目中給出的函數名稱不同，而且次冪也不相同，所以我們要做的首先就是把高次冪函數降冪，其次把不同名的函數轉化為同名函數.這類題型的解題思路就是逆用二倍角公式，結合輔助角公式將函數化歸為f(x)=Asin(ωx+φ)+b形式，進而求得函數的最值.

圖1

例2如圖1，圓心角為60°的扇形AOB的半徑為1，C是弧AB上一點，作矩形CDEF，且點D在半徑OB上，點E，F在半徑OA上.當點C在什么位置時，這個矩形的面積最大？此時∠AOC等于多少度？

在Rt△FOC中，利用三角函數可得

FC=sinθ·OC=sinθ，OF=OC·cosθ=cosθ.

在Rt△OED中，

SEFCD=EF·FC

點評：此類題型的新穎之處在于，借助圖形利用角的三角函數值表示未知邊，通過面積公式構建函數模型，從而利用三角恒等變換解題.

分析：該題中利用兩個平行向量的坐標關系建立等式是解題的突破口.利用三角形的內角和等于π這個隱含條件以及角的恒等變換可得sin(A+C)=sinB，再利用二倍角公式和同角的正余弦商的關系，可求得角B的大小.

在三角形ABC中，A+C=π-B，所以

點評：和差角的正余弦公式、二倍角公式等的源頭是向量數量積的坐標的運算，所以借助向量的數量積、平行或垂直向量的坐標運算構建三角函數(或方程)模型是比較常見的命題方式，需要同學們構建相應的知識體系.

分析：這道題本質在于利用余弦定理解三角形，知道a,c兩條邊長，只需要借助轉化與化歸思想化簡函數f(x)，求得a,c兩邊的夾角B，就可以利用b2=a2+c2-2ac·cosB，可求得b的值.

解：根據題意，得

所以,b=1.

點評：在函數模型的應用中求解三角形角度問題，一定要注意對角度范圍的討論，有時還需要進行分類討論.

3 結束語

解決形如f(x)=Asin(wx+φ)+b的函數模型問題，教學中我們要強化基礎知識的記憶——和差角的正余弦公式、二倍角公式、降冪公式以及輔助角公式，并合理利用這些有力工具來提升學生解題的基本技能，在學與練的過程中形成基本活動經驗并產生基本思想[2].所以，教師要指導學生對某類題型模型化解題思路的整理，并在解題和應用方面不斷靈活“切換”.