巧用極化恒等式 妙解動態幾何題

?重慶市忠縣中學校

張 侶

?重慶市忠縣中學校

胡江麗

平面向量是高中數學的基本內容，具有鮮明的獨特性質(代數與幾何的紐帶)，現已成為人們研究的重點對象. 文獻[1]表明極化恒等式建立了數量積與幾何長度(數量)之間的聯系，作為代數與幾何的橋梁，具有化動(動點)為定(定點)、化動(動態)為靜(靜態)、化曲(曲線)為直(直線)、化普通為特殊之功效，應用十分靈活. 文獻[2]也舉例討論了極化恒等式在部分解題中的應用.文獻[3]以近幾年高考試題、江蘇省市級統考試題為例，對極化恒等式在數量積問題中的應用進行歸納剖析，探索其解題規律. 涉及動態幾何中向量數量積的問題，運用常規方法很難找到求解問題的突破口，因而借助極化恒等式來求解就顯得尤為重要.

1 極化恒等式的展示

上式表明向量的數量積可以由向量的和、差運算的模來表示，該式將向量的數量積運算和向量的線性運算聯系在一起，將不可度量的向量數量積關系轉化為可度量、可計算的數量關系.

圖1

圖2

推論2(極化恒等式的三角形模式)如圖2，在ΔABC中，若M是BC的中點，則有

故得證.

2 極化恒等式的妙用

2.1 在平面幾何中的妙用

A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D. 直線

分析：此題是通過給出平面的兩個定點和向量數量積，求解動點的軌跡問題.問題設置簡單，但考生很難快速解答，原因是雖然看起來破解此題的方法很多，有定義法、坐標運算等，但都涉及到大量的運算，不免給學生計算帶來困難.若能借助平面向量的極化恒等式破解，則可事半功倍.

點評：此類問題的破解，因涉及思考方向不同，所獲得求解方法也不同. 定義法和坐標法雖然容易想到，但難免出現大量的計算，容易造成計算錯誤. 而借助極化恒等式和圓的定義，問題的突破水到渠成. 根據問題的破解過程，可將原問題進行拓展，獲得一般性結論.

2.2 在立體幾何中的妙用

圖3

解法1：(一般解法)由題設知，當弦MN取到最長時，即MN為正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球直徑.

不妨設M,N為內切球與正方體在平面ABB1A1和平面CDD1C1的切點，易知點M,N分別為平面ABB1A1和平面CDD1C1的中心.

如圖3，現以點A為坐標原點，以AB,AD,AA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則M(1,0,1),N(1,2,1)，設P(x,y,z)，此時

解法2：(極化恒等式)如圖3，設球心為O，由題設知，當弦MN取到最長時，MN=2.

設外接球的球心為O，由極化恒等式得

點評：以上兩題都以正多面體為載體，結合球面上的兩動點和正多面體上的動點，設置平面向量數量積問題.因問題中涉及多個動點，若按一般方法來處理很困難，但我們注意到此題中不管弦MN如何運動，球的直徑始終為定值，由此借助極化恒等式，將多個動點轉化為一個動點，使問題變得容易化解.

2.3 在解析幾何中的妙用

①

解法1：(一般解法)根據題意，設動點P(x0,y0)，A(x1,y1),B(-x1,-y1)，則

由于點P在拋物線上，點A,B在橢圓上，所以有

點評：在圓錐曲線中涉及向量數量積問題求解時，需結合問題本身的規律特點，合理處理向量關系，若采用一般方法破解，會涉及到方程消元，結合韋達定理將向量的數量積轉化為坐標運算，此方法運算量一般都比較大，需要考生有扎實的運算能力. 若能巧妙地運用極化恒等式，可以減少運算，問題得以快速有效破解.

3 應用反思

本文研究用極化恒等式破解動態幾何中的數量積問題，若用常用的方法(基底法，坐標法，幾何意義法)有時在求解過程由于運算復雜會導致錯誤；若能根據圖形特征，巧妙地運用極化恒等式進行思考與探究，很快就能找到問題的突破口. 這并不是追求高難度的解題技巧，而是想闡明極化恒等式也是處理向量數量積的一種常見思路. 向量是連接代數與幾何的橋梁，由于向量中引入了坐標運算，使向量與代數運算密切相關，而幾何運算就略顯單薄，極化恒等式恰恰彌補了這個遺憾.極化恒等式把向量的數量積問題用形象的幾何圖形展示得完美無缺，實現了向量與幾何、代數三者的有機結合，有利于培養學生的邏輯推理、直觀想象能力和數學建模等素養.