“放縮構造”促進高中數學高階思維能力提升

?江蘇省如東高級中學

洪 兵

新一輪高考改革已逐步邁入了推進階段，加快新課程改革進程，促進新教材的有效使用，發(fā)展學生的高階思維，都是數學教學的重要目標，也是培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的重要任務與有力抓手.放縮構造在解題時能力要求較高，若能熟練掌握，必定對學生數學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)以及高中數學高階思維能力的提升有較大益處.

1 高中數學高階思維界定及表現特征

何謂高階思維?美國教育家布魯姆 (B.S.Bloom)和加涅等對學習理論進行了高階思維的劃分，將認知領域的教育目標分成識記、理解、應用、分析、評價和創(chuàng)造六個類別.其中分析、評價和創(chuàng)造，通常被稱為“高階思維”,它包括問題解決、推理與決策、批判性思維、創(chuàng)新性思維和反思性思維等五個維度，體現思維的高階.

高中生在數學學習中培養(yǎng)了較強的實踐能力、創(chuàng)新精神，具備高中數學高階思維，其特征表現為善于發(fā)現問題的特殊性.如發(fā)現問題的隱含條件等，說明學生養(yǎng)成了求異思維；若能多角度思考分析問題 ，說明學生具備了創(chuàng)造思維；若能靈活妙用數學思想方法，說明學生具有了開放思維.

2 及時發(fā)現問題特殊性，培養(yǎng)求異思維

2.1 利用收斂原理，夾逼放縮

2.2 利用分式形式，極限放縮

問題2已知關于x的不等式a[x-ln(x+1)]≤ex-x-1在x≥0時恒成立，求實數a的取值范圍.

解析：當x=0時，a∈R，則主要研究當x>0時實數a的取值范圍.

由x-1≥lnx恒成立可知x≥ln(x+1)，所以x>0時，x-ln(x+1)>0.

綜上可知，實數a的取值范圍是a≤1.

3 多角度思考分析問題 ，培養(yǎng)創(chuàng)造思維

3.1 利用分層轉化，易元放縮

解題思路：利用分割法求四邊形ABCD的面積，在兩個三角形中分別使用余弦定理，多角度分析簡單的幾何問題 ，再將所有的關系式互相聯系，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維.

另外，已知二元變量x,y滿足函數t(x,y)，先以變量x為主元，令f(x)=t(x,y)，求得f(x)=t(x,y)的最值φ(y)，再以變量y為主元，求得φ(y)的最大值.利用分層處理，易元放縮，培養(yǎng)學生創(chuàng)造思維，提升數學高階思維能力.

解析：連接BD，將平面四邊形ABCD分割成兩三角形.

在△BCD中，有BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=22+22-2×2×2cosC=8-8cosC.

在△ABD中，有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=12+42-2×1×4cosA=17-8cosA.

在三角形中，易知A,C∈(0,π)，sinA>0，sinC>0.

3.2 利用同構特征，單調放縮

問題4(2020年高考山東卷第22題改編)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1，求實數a的取值范圍.(答案：[1,+∞).)

解題思路：對于復雜的不等式構造出同構不等式，形如f[g(x)]≥f[h(x)]，由函數y=f(x)的單調性，化簡得g(x)與h(x)的不等關系式，再研究參數的取值范圍.利用整體思想，分層次轉化，達到降維的目的.

解析：f(x)=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價于

elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx

①

令g(x)=ex+x,①式等價于

g(lna+x-1)≥g(lnx).

顯然g(x)為單調增函數，所以lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1.

所以，在區(qū)間(0,1)上，h′(x)>0,h(x)單調遞增；在(1,+∞)上，h′(x)<0,h(x)單調遞減.

所以，h(x)的最大值為h(1)=0,即lna≥0，解得a≥1.

故填答案：[1,+∞).

4 靈活妙用數學思想方法，培養(yǎng)開放思維

4.1 利用曲線相切，傳遞放縮

解題思路：此類問題的思考角度很多，從不等式的角度尋求思路繁瑣.讓學生認真觀察提出不同見解，根據圖形的特征，靈活妙用數學思想方法，突破思維瓶頸，培養(yǎng)學生開放思維，從而提升數學高階思維能力.

由函數y=f(x)與y=g(x)圖象在點(x0,f(x0))處相切，且f(x)≥g(x0)≥g(x),f(x0)=g(x0) , 則f(x)的最小值為f(x0)=g(x0).

當a>1時，

=1-cosx≥0(x=0取等號).

4.2 利用數形結合，幾何放縮

5 結束語

“放縮構造”整合高中數學知識，對應變能力有較高的要求.數學時應抓住題目的特點，根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，特別在不等式恒成立有解求參、不等式放縮證明、函數最值與超越函數間的關系等問題的研究，體現非常充分；教學時應精心設置問題，總結基本的放縮方法和放縮調整手段.鼓勵學生積極探究，啟發(fā)深度思考，激發(fā)深度學習.

可見，“放縮構造”可以作為高中階段提升思維和邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力的支點，探究解決問題的方法和途徑.“放縮構造”是積累思維經驗的過程，提升學生數學高階思維能力，從而達到培養(yǎng)學生數學學科核心素養(yǎng)的目的.