巧構參數方程 妙解數學問題

?甘肅省張掖市肅南裕固族自治縣第一中學

張 超

1 引言

參數方程是解決直線、圓錐曲線等相關平面解析幾何問題中曲線比較常用的一種表達方式.巧妙構建直線、圓錐曲線等的參數方程，相比對應的普通方程有時可以更加簡捷方便地表示問題，從而簡化運算，優化過程，提升效益，有助于學生進一步體驗數學方法的靈活多變.

2 直線的參數方程問題

例1[2022屆清華大學中學生標準學術能力診斷測試(2021年11月測試)數學文科試卷·8]已知圓C：x2+y2-8x-4y+19=0，直線l：3x-2y-6=0，直線l交圓C于A，B兩點，設點P(2，0)，則|PA|·|PB|=( ).

分析：根據所求的關系式|PA|·|PB|的特征，合理聯想到直線的參數方程中參數的幾何意義，將直線的一般方程轉化為過點P的參數方程，結合參數方程的代入與轉化來確定相應的含參二次方程，利用參數的幾何意義解決問題.

所以，|PA|·|PB|=t1t2=7.故選擇答案：D.

點評：在求解一些有關距離或線段的長度問題時，可巧妙引入直線的參數方程，根據相關參數的幾何意義來直接轉化與處理.方程化解決，整體化思維，可以很好避免求解具體點的坐標、以及線段的長度等相關問題.

3 橢圓的參數方程問題

分析：結合橢圓的參數方程進行三角換元，代入所求的分式代數式，通過變形與轉化得到相應的三角關系式，結合函數的構建以及求導處理，利用導函數為零確定相應三角關系式的最值，進而確定分式的最小值.

所以，f(θ)的最小值為

故填答案：4.

點評：解決一些涉及圓錐曲線上的點所對應的代數關系式的最值或取值范圍問題，通常可以巧妙引入圓錐曲線的參數方程，比用普通方程更簡捷方便，進而轉化為相應的三角函數的最值或取值范圍問題.

4 雙曲線的參數方程問題

(1)求C的離心率；

(2)若B在第一象限，證明：∠BFA=2∠BAF.

分析：(1)根據題目條件中兩直線的垂直關系，結合點的坐標，從距離關系入手，建立相應參數之間的關系式，通過求解方程確定雙曲線的離心率.(2)結合雙曲線的參數方程進行三角換元，通過斜率公式以及三角恒等變換，巧妙轉化，合理證明.

又c2=a2+b2，所以c2-ac-2a2=0，即e2-e-2=0，解得e=-1(舍去)或e=2.

所以，雙曲線C的離心率為2.

因此tan2∠BAF=tan∠BFA，即∠BFA=2∠BAF.

當|BF|=|AF|，且BF⊥AF時，∠BFA=2∠BAF=90°.

綜上所述，若B在第一象限，∠BFA=2∠BAF.

點評：解決一些涉及圓錐曲線中的角的關系問題時，自然聯想到圓錐曲線的參數方程，其中含有角與對應的三角函數值問題，合理構建參數方程中的角與平面幾何解析中相關概念以及角之間的關系，結合三角函數的相關知識來分析與處理，目的更加明確，操作起來更加簡單快捷.

5 拋物線的參數方程問題

例4在平面直角坐標系xOy中，F為拋物線Γ：y2=2px(p>0)的焦點，點B在x軸上，且在點F的右側，點A在Γ上，且|AF|=|BF|，直線AF，AB與Γ的第二個交點分別為M，N，若∠AMN=90°，則直線AF的斜率為________.

分析：根據拋物線的參數方程設出對應點的坐標，結合兩直線垂直所對應的斜率關系式建立方程，進而確定參數值，從而得以求解直線的斜率.

解析：設A(2pt12，2pt1)，M(2pt22，2pt2)，N(2pt32，2pt3).

點評：解決一些涉及圓錐曲線上的概念、軌跡等問題時，利用圓錐曲線的參數方程自然巧妙地引入參數，通過函數與方程思想等來巧妙轉化，實現相關參數的確定與求解、關系式的確定等，從而簡單快捷處理相應的圓錐曲線問題.

6 變式練習

A.-4 B.-5 C.4 D.不確定

A.1 B.2 C.3 D.4

(3)已知點M到點F(3，0)的距離比它到直線l：x+5=0的距離小2.

①求點M的軌跡E的方程；

②過點P(m，0)(m>0)作互相垂直的兩條直線l1，l2，它們與①中軌跡E分別交于點A，B及點C，D，且G，H分別是線段AB，CD的中點，求△PGH面積的最小值.

7 結束語

利用參數方程來解決直線、圓錐曲線等相關平面解析幾何問題，思維巧妙，往往能化繁為簡，迎刃而解，起到事半功倍的效果.既能鍛煉學生的邏輯思維，拓寬解題思路，培養學生“一題多解”的能力，又能激發他們的潛能，潛移默化地滲透數學思想方法，提高學習積極性，提升主動探索實踐的能力.