例談含參數問題的運算優化策略*

?啟東市教師發展中心

沈 輝

1 引言

含參數問題主要考查函數的單調性、最值和分類討論思想，是高考、模擬考試中重要考點.如果方法選擇不當，計算起來會比較復雜，甚至做不下去，或出現遺漏等情況.本文主要談談幾個含參數問題如何回避討論，或降低討論難度的方法.

2 運算優化策略

2.1 特殊值法——局部縮小

綜上得，a=e.

點評：如果由f′(x)的表達式研究函數的單調性討論其最小值,則需分①2a≤1,②1<2a

例2(2008年江蘇高考卷第14題)f(x)=ax3-3x+1對于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立，則a=.

解析：由f(1)=a-2≥0，f(-1)=-a+4≥0，解得2≤a≤4.

故a=4.

點評：本題若化為fmin(x)≥0,但在求f(x)的最小值時需要對a分大于、等于、小于0三種情況討論，計算繁瑣，小題大做.利用上述特值限定參數范圍,則無需討論,簡潔明快.

2.2 參變分離——避免討論

方程有解(函數存在零點)、不等式恒成立、不等式存在性等含參數問題，很多情形下可以把參數和變量分離，將式子變成其中一邊不含參數的形式，從而避免討論.

例4(2014年江蘇卷第19題第Ⅱ問)已知函數f(x)=ex+e-x,其中e是自然對數的底數.若關于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實數m的取值范圍.

解：由mf(x)≤e-x+m-1，得m(ex+e-x-1)≤e-x-1.

因為ex+e-x-1≥2-1>0，所以

評注:上述例3、例4兩題分別是含參數的方程有解問題和不等式恒成立問題,采用參變量分離法,避免了分類討論.

2.3 轉換視角——選擇主元

例5(2012年浙江理第22題第Ⅱ問)已知a>0,b∈R，函數f(x)=4ax3-2bx-a+b.

證明：當0≤x≤1時，f(x)+|2a-b|+a≥0.

分析：要證f(x)+|2a-b|+a≥0，即證4ax3-2bx+b+|2a-b|≥0.注意到不等式左邊含有x，a，b三個字母，如果把它們看成地位相當的三個變量,幾乎無處發力，很難展開研究.所以需要根據題目結構特征，人為劃分主從地位，選擇適當變量作為主元.本題如果將x看作主元，字母a，b當作參數，則不等式左邊是一個關于x的三次函數，研究起來較繁.換一個研究視角,將字母b看作主元，這樣不等式左邊就是一個關于b的一次分段函數，且每段的單調性很容易得出.選擇字母a為主元，雖然也是一次分段函數，但每段的單調性還需討論.

又a>0,故gmin(b)≥0，即4ax3-2bx+b+|2a-b|≥0得證.

例6( 2014年江蘇蘇北四市二模15)設函數f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R).若不等式f(x)+f(-x)≥mt+m對任意的x∈R,t∈[-2,1]恒成立, 求實數m的取值范圍.

分析：本題含有x，m，t三個字母，如果視三個字母地位相等，平均使用力氣，則無助于解決問題.讀題后發現，可以先把x看成變量，m，t看成常量，逐個擊破.

解：設g(x)=f(x)+f(-x)=log4(4x+4-x+2)≥log44=1，則由題意得mt+m≤gmin(x)=1.

所以，問題轉化為“mt+m≤1 對?t∈[-2,1]恒成立，求m的取值范圍”.這時，就可以把t看成變量，把m看成參數，則把mt+m≤1看成關于變量t的一次函數(m≠0時) .

評注:解答上述一類含多個參數的問題,關鍵是對變量和參數關系的轉換.而變量和參數是相對的，在一定條件下可以相互轉換，需依次進行，逐次變化，體現了事物是聯系、變化、發展的辯證觀.

2.4 整體思想——消元減參

有些含多個參數的分類討論問題，如果是從局部出發，看成是幾個不相干的變量來處理，則難以奏效或計算冗繁.因此，需要調整視角，把一些關于多個變量的代數式作為一個有機整體，對整體結構進行全面深刻地分析改造，找到解決問題的途徑和辦法.

分析：根據兩點之間線段最短，可以得到a,b,c之間滿足一些不等關系，利用這些不等關系，逐步縮小，最后化成一元問題解決.

2.5 數形結合——形象直觀

“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”.在含參數問題的處理中，如果從“數”的角度解答困難，不妨轉換角度，從“形”入手，根據數的幾何意義，畫出圖形，數形結合的思想往往能起到重要的作用，便于解答.

例8(2014年天津第14題)已知函數f(x)=|x2+3x|，x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍為______.

解析1：顯然a>0.

如圖1，當y=-a(x-1)與y=-x2-3x相切時，a=1，此時f(x)-a|x-1|=0恰有3個互異的實數根.

圖1

圖2

如圖2,當直線y=a(x-1)與函數y=x2+3x相切時，a=9，此時f(x)-a|x-1|=0恰有2個互異的實數根.

結合圖象可知，a的取值范圍是(0,1)∪(9,+∞).

圖3

3 結語

含參的數學問題是高中各級各類考試中常見的題型，解決的通法是對參數的取值進行分類討論.但有時候通過分類討論去解決，情況多，計算量大，學生解答思維混亂，容易卡殼或算錯.上面探討了幾種轉化方法優化運算解決參數問題的策略.因此，在讓學生掌握通性通法的基礎上，還要教會學生根據不同的條件具體分析，充分理解參數的意義及參數與主元的關系，對癥下藥，找出靈活有效的解決辦法.