基于“主題單元”理念的教學(xué)設(shè)計展示
——以“基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則”為例

?廣東省東莞市東莞中學(xué)

崔吉平

1 “主題單元”教學(xué)設(shè)計的內(nèi)涵

主題單元教學(xué)，也叫主題式授課，是指把課時教學(xué)設(shè)計融入主題單元教學(xué)設(shè)計中的一種授課模式.有別于傳統(tǒng)教學(xué)，主題單元教學(xué)就是要在課時教學(xué)設(shè)計之前，先進行本單元的教學(xué)設(shè)計，對本單元內(nèi)容及其蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法、著重培養(yǎng)的學(xué)科核心素養(yǎng)、要達成的教學(xué)目標等作出全面分析，然后按照知識的發(fā)生發(fā)展過程、學(xué)生的認知過程分解到具體課時.主題單元教學(xué)的內(nèi)容不拘一格，既可以是課本章節(jié)內(nèi)容，也可以是其他的通過梳理整合的教學(xué)材料，操作性強，靈活性好，是發(fā)展“四基”、提高“四能”的重要載體，是提升核心素養(yǎng)，踐行新課程標準(2017年版)的絕佳路徑.本文以《選修2-2》中“基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則(第1課時)”為例，向讀者展示基于“主題單元”理念的一篇教學(xué)設(shè)計，望能起到拋磚引玉的作用.

2 教學(xué)設(shè)計展示

2.1 單元目標及解析

(1)通過分析變化率問題，了解平均變化率和瞬時變化率，了解兩者的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)——導(dǎo)數(shù)就是瞬時變化率；

(2)能借助《幾何畫板》理解函數(shù)切線與割線的關(guān)系，從中感受極限思想，并能指出導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

(4)能通過研究函數(shù)圖象切線去分析初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式；

(5)理解導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能運用公式及法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

(6)會利用導(dǎo)數(shù)公式及運算法則求曲線的切線方程和瞬時變化率.

2.2 課時目標及重難點

(1)教學(xué)目標：能熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求曲線在某點處的切線方程.

(2)教學(xué)重點：八個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則的理解、記憶與應(yīng)用.

(3)教學(xué)難點：①理解函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=ax，y=logax的導(dǎo)數(shù)公式.(a>0,且a≠1.)

②導(dǎo)數(shù)運算法則(乘除)

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),

的記憶與應(yīng)用.

2.3課時教學(xué)過程設(shè)計

2.3.1 問題引入，激發(fā)興趣

追問1-1：你能從中得出冪函數(shù)f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)的導(dǎo)數(shù)公式嗎？

生：f(x)=x，則f′(x)=1；

f(x)=x2，則f′(x)=2x；

由此歸納可得，若f(x)=xα(α為有理數(shù))，則f′(x)=α·xα-1.

設(shè)計意圖：通過對四個已知冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作出歸納，從特殊到一般得到冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，學(xué)生積極參與，信心高漲，學(xué)習(xí)熱情被迅速點燃.

2.3.2 由形到數(shù)，發(fā)現(xiàn)公式

問題2除了利用導(dǎo)數(shù)定義，我們?nèi)绾卫煤瘮?shù)y=f(x)的圖象去研究它的導(dǎo)數(shù)？

引導(dǎo)學(xué)生回憶導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過討論達成共識：要研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只需要研究函數(shù)圖象的切線斜率值的變化情況.

設(shè)計意圖：加強學(xué)生對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解，為下面的教學(xué)奠定邏輯基礎(chǔ).

問題3現(xiàn)在來研究三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，請在學(xué)案上畫出函數(shù)f(x)=sinx，x∈[-2π，2π]的圖象，觀察其切線斜率值的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1

生：如圖1所示，觀察出切線斜率的值呈現(xiàn)周期性變化，其范圍在[-1，1].

追問3-1：猜想正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

學(xué)生活動：畫圖(圖2)，獨立思考后相互討論，得到“正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù)，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦函數(shù)的相反數(shù)”.

圖2

設(shè)計意圖：通過作圖及《幾何畫板》演示，巧妙縮短了教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的心理距離，加深學(xué)生對三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的理解與記憶，培養(yǎng)了直觀想象與邏輯推理素養(yǎng).

問題4你如何快速記牢八個導(dǎo)數(shù)公式？

學(xué)生活動：同學(xué)們發(fā)言踴躍，能說出八個導(dǎo)數(shù)公式分別是常值函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)(兩個)，指數(shù)函數(shù)(兩個)，對數(shù)函數(shù)(兩個)，第6個公式是第5個公式的特殊化，第8個公式是第7個公式的特殊化.

設(shè)計意圖：課堂氣氛輕松愉悅，學(xué)生反響熱烈，教學(xué)效果好.

2.3.3 法則探究，活學(xué)活用

問題5你會求課本第3頁問題2中的函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的導(dǎo)數(shù)嗎？這里主要涉及到導(dǎo)數(shù)的哪些運算法則？

生：導(dǎo)數(shù)的加法和乘法的運算法則.

兩個函數(shù)f(x)與g(x)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)法則：[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).(教師板書)

追問5-1：[f(x)g(x)]′=f′(x)·g′(x)成立嗎？

教師活動：表揚學(xué)生，給出法則[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

追問5-2：如果函數(shù)g(x)=c(c為非零常數(shù))，你能得到什么結(jié)果？

生：[cf(x)]′=cf′(x).

生：分母是原先分母的平方，分子是個差值.

生：分子是f′(x)g(x)-f(x)g′(x).

設(shè)計意圖：利用課本例子指出學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)運算法則的必要性，處理巧妙，然后通過找反例、分析結(jié)構(gòu)加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)運算法則的理解和記憶.

2.3.4 課后訓(xùn)練，鞏固提高

(1)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

①y=(x-1)3； ②y=xn2x；

設(shè)計意圖：第(1)題是檢測學(xué)生對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則的掌握情況，第(2)題主要是檢測學(xué)生導(dǎo)數(shù)公式的運算素養(yǎng)水平.

3 總結(jié)與反思

本文是2020年11月份作者在廣東省惠州市舉辦的華南師范大學(xué)教育服務(wù)合作項目——高中數(shù)學(xué)“同課異構(gòu)”教研活動中，上的一節(jié)示范課的教學(xué)設(shè)計的修改稿.整個課堂緊扣主題單元設(shè)計的要求，通過問題串的設(shè)置與解決促使學(xué)生由表及里掌握導(dǎo)數(shù)公式與運算法則，把數(shù)學(xué)知識的教學(xué)、數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)、數(shù)學(xué)能力的提升融為一體，有一定的啟發(fā)性和參考性.美中不足的是兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)法則學(xué)生理解起來還有些困難，需要我們更細致地設(shè)計和引導(dǎo)幫助學(xué)生順利過關(guān)，真正使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落到實處，生根發(fā)芽，茁壯成才.