基于廣義多項式混沌法的圓柱殼自由振動不確定性分析

陳爐云,鄧乃旗,楊 念

（1.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240；2.中國艦船研究設計中心，武漢 430064）

0 引 言

理論分析和數值計算是艦船結構聲振特性預報的主要方法。對于艦船系統這樣的復雜對象，即使實施精確的數字建模也存在一定的偏差，這些偏差不是由于設計或建造的錯誤因素所導致的，而是由結構固有屬性所決定。由于存在著不確定性因素，結構響應參數僅是真實結果的近似值，兩者間的偏差可能超出設計許可，并可能導致重大工程風險。在艦船結構建造過程中，存在著影響其聲振特性的固有的、具有隨機特性的影響參數，即建造因素不確定性。由于存在建造因素不確定性，使得艦船結構聲振特性參數實質上是一個具有一定概率密度分布的隨機變量，這表明在一定建造工藝水平下，不能消除該不確定性對系統的影響，即使提高工藝水平也只能使不確定性區間變窄而不能消除。建造因素不確定性包括材料參數不確定性、幾何尺寸不確定性、邊界條件不確定性、初始條件不確定性、操作環境不確定性、載荷不確定性等[1-4]。當結構中存在多個不確定性輸入參數時，結構響應的預測值與實際值會存在巨大的偏差[5-7]。

對于結構聲振特性不確定性問題，需評估各參數的不確定性對最終響應的影響，并用概率統計方法對這些影響進行描述以獲得綜合影響程度。針對已知概率密度分布的不確定性輸入，采用數學模型將輸入不確定性參數傳導給輸出響應，獲得輸出參數的概率分布特征。不確定性問題的主要計算方法包括攝動法[8]、蒙特卡洛法[9]、可靠性分析法[10]、響應面法[11]和譜分解方法[12]等等。譜分解方法在處理高斯分布和非高斯分布問題的計算效率方面有一定優勢。為解決非高斯分布和參數協方差未知問題，廣義多項式混沌方法（generalized polynomial chaos,GPC）成為當前研究熱點。

本文將GPC 法應用于圓柱殼結構自由振動的不確定性分析，將自由振動不確定性研究范圍從隨機載荷不確定性方面擴展到考慮建造因素的不確定性問題。在文中建立自由振動不確定性分析模型，將結構建造因素中的不確定性傳導并反映到圓柱殼結構自由振動特性概率密度分布。研究成果可用于考慮建造質量影響的艦艇結構聲振特性的預報與控制。

1 廣義多項式混沌方法

1.1 廣義多項式混沌方法概述

在不確定性分析中，標準隨機變量的選擇將影響計算收斂性和截斷項數，選擇最佳匹配多項式可提高計算效率，如表1 所示。在聲振特性不確定性計算中，采用Hermite 多項式擬合不確定性參數較為合適，其最高階為3次。

表1 不確定參數對應的最佳多項式類型Tab.1 Uncertain parameter types and the corresponding orthogonal polynomials

1.2 廣義多項式混沌方法的隨機投影

選定多項式類型后，定義隨機空間(Ω,γ,P)，其中Ω是總樣本空間、γ是樣本空間中的σ域、P是事件概率。對于隨機空間，空間中任意不確定性變量χ可表示為

式中，Ψi為隨機正交基，xi為待定系數。隨機正交基Ψi是一組含有隨機向量ξ的多項式，它們滿足正交性條件：

1.3 廣義多項式混沌方法的求解

應用廣義多項式混沌方法，將結構中建造非確定性因素作為輸入參數通過結構控制方程傳遞到輸出的響應結果中，開展非高斯分布的隨機問題求解。

應用GPC 法求解不確定性問題的步驟為：（1）將不確定性參數表示成多項式混沌展開式形式，求解該展開式系數；（2）用廣義多項式混沌表達式表達不確定性輸入參數和所求解響應結果；（3）將輸入參數不確定性通過結構的隨機控制方程傳導至輸出參數中，求得響應表達式中的未知系數。GPC法求解過程如圖1所示。

圖1 基于GPC的求解過程示意圖Fig.1 GPC-based solving flow chart

設結構聲振方程滿足線性條件，將圖1所示的求解步驟應用于結構聲振特性不確定性分析中，需獲得結構中輸入參數（如材料密度、板殼厚度、肋骨型號等）的概率密度分布。

通過不確定性傳導功能，將結構參數不確定性特性傳導至輸出參數（即結構聲振特性），獲得結構聲振特性概率密度分布，求解過程如圖2所示。

圖2 基于GPC的結構聲振特性不確定性求解Fig.2 Dynamical solution based on GPC

2 不確定性輸入參數

在應用GPC進行結構聲振特性不確定性求解中，需求解式（4）中待定系數xi。設變量χ和ξ處于同一隨機空間中且具有相同的概率分布，采用Galerkin投影法描述待定系數xi：

式中，a、b是標準隨機變量上、下限。設式中χ(ξ)為未知函數，需進行隨機空間轉換以獲得不確定性變量χ關于參數ξ的表達式χ=F(ξ)，變換方程如圖3所示。

圖3 不同隨機分布之間的變換Fig.3 Conversion between uncertain parameters

在圖3 中，不確定性變量χ在隨機空間Ω1中，概率分布為ρ1(χ)，區間為[c,d]；隨機參數ξ在隨機空間Ω2中，概率分布為ρ2(ξ)，區間為[a,b]。不確定性變量χ和標準隨機變量ξ間的變換滿足：

對于大多數隨機分布函數，式(7)中隨機分布函數F(ξ)并不是一個顯性表達式，需引入標準平均分布為中間變量實現對待定系數xi的轉換方程，將式（7）代入式（6）中，可得

建立不確定性變量χ和標準隨機變量ξ對于標準平均分布μ(0,1)的空間變換方程：

3 不確定性傳導方程

3.1 不確定性傳導

在結構聲振特性不確定性分析中，研究輸入參數不確定性對聲振特性的影響，將輸入參數（結構材料、結構幾何尺寸等）的不確定性特性通過運動控制方程有效地傳導到輸出參數（結構響應、聲學響應等）概率密度分布中。

在應用有限元法進行確定性固有頻率系數λri分析中，涉及確定性剛度矩陣系數ki、確定性質量矩陣系數mi和確定性振型向量系數φri。由于涉及大量積分運算且非常耗時，需對傳導方程進行改進。

3.2 配點法概述

對于大多數結構，其變量χ的概率密度分布ρ1(χ)無法通過明確的函數來表示，采用基于配點法（collection method，CM）結合試驗數據獲得ρ1(χ)的概率密度分布具有一定優勢。配點法基本原理是基于最小二乘法原理，使兩種預測結果間的誤差達到最小，以確定相關的不確定性參數。

求解式（13），獲得廣義多項式混沌系數xi，進而獲得χ的概率密度。配點法可直接避開通過式（8）中復雜積分運算求解系數的過程，減小計算復雜度和計算量。

3.3 配點法求解響應混沌系數

為提高計算效率，將配點法和廣義多項式混沌法進行結合，用于作為輸入參數的不確定性變量混沌系數及作為輸出的結構響應表達式中混沌系數的求解，獲得結構響應概率密度分布，其求解過程如圖4所示。

圖4 配點法求解響應混沌系數Fig.4 Flow chart for obtaining response coefficients based on collocation method

從圖4 可知，應用配點法結合GPC 法求解非確定性問題時，可避免應用確定性剛度矩陣系數、確定性質量矩陣系數、確定性振型向量系數求解確定性固有頻率系數中的推導和計算?？芍苯永贸墒煊邢拊虡I軟件進行求解，且可依托商業軟件的計算優勢簡化計算過程，使計算效率最大化。

4 數值分析

4.1 模型概述

以圓柱殼模型為例，采用Galerkin 投影方法確定不確定性參數，分別采用GPC 法和蒙特卡洛法計算固有頻率，驗證GPC法的正確性。

具有兩端簡支圓柱殼結構的幾何參數如表2所示。結構材料為鋼，力學特性為：密度ρ=7860 kg/m3，彈性模量Em=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3。

表2 圓柱殼幾何參數Tab.2 Cylindrical shell geometry parameters

4.2 彈性模量概率密度

彈性模量概率密度分布圖如圖5所示。

圖5 彈性模量概率密度分布Fig.5 PDF of elastic moduli

4.3 固有頻率概率計算

基于Hermite 多項式，結合GPC 法和配點法計算圓柱殼結構固有頻率不確定性，計算步驟為：（1）定義圓柱殼結構幾何參數、材料參數及彈性模量概率密度分布函數；（2）求解圓柱殼結構的確定性固有頻率解；（3）將不確定性參數表示成多項式混沌展開式的形式；（4）推導含建造因素的圓柱殼結構自由振動方程；（5）引入隨機變量，將建造不確定性參數定義為不確定性變量；（6）基于Hilbert 空間，引入正交基Ψi；（7）應用逆冪法（inverse power method）求解自由振動方程的特征值；（8）設定方程收斂標準，進行收斂性判斷；（9）應用Galerkin投影法求解多項式混沌表達式中系數xi；（10）進行結構固有頻率非確定性數值計算；（11）將計算結果與蒙特卡洛法進行對比。

圖6 所示為用GPC 和不同模擬次數的蒙特卡洛法計算第一階固有頻率值對比，結構固有頻率的變化滿足正態分布。

圖6 GPC與蒙特卡洛法計算對比Fig.6 Comparison between GPC and different order MC

圖7 分別為用GPC 法、5000 次模擬蒙特卡洛法計算的圓柱殼結構前4 階固有頻率的概率密度分布，圖中豎直虛線表示為圖5 中所定義的彈性模量期望值對應的固有頻率。

由圖7 可知，不同階結構固有頻率的變化滿足正態分布。采用GPC 法計算結果同蒙特卡洛法計算結果具有較好的一致性，GPC 法在求解動力學問題方面的有效性得到了驗證。

圖7 GPC法同5000次模擬蒙特卡洛方法的固有頻率對比Fig.7 Natural frequency comparison between GPC method and 5000 MC

4.4 計算效率驗證

為驗證GPC 法計算效率，對比GPC 法和不同模擬次數蒙特卡洛法的計算時間，如表3所示。

由表3 可知，在計算精度基本相似情況下，采用5000 次模擬蒙特卡洛法需137 247.6 s，而采用GPC 法僅需要184.2 s，計算時間遠小于蒙特卡洛法。圖7 和表3 表明，GPC 法在求解實際大型結構工程不確定性振動問題時具有明顯的優勢和潛力。

表3 GPC法同蒙特卡洛法的計算時間對比Tab.3 Consuming time of GPC and Monte Carlo

5 結 語

本文針對艦艇建造過程中的聲振特性不確定性問題，推導了GPC 法對不確定性參數的求解公式及不確定性傳導公式。以圓柱殼結構為例，將GPC 法與有限元數值方法相結合開展了結構動力學的非確定性分析。通過數值計算，驗證了所提出方法的可行性和有效性。研究成果可應用于艦艇結構聲振特性的精確預報，并可為艦艇聲學質量控制提供策略。