考慮斜置彈簧阻尼的船舶軸系縱振高靜低動隔振器的建模研究

楊志榮，李林桃，趙 含，饒柱石

（1.集美大學 輪機工程學院，福建 廈門 361021；2.廈門市海洋腐蝕與智能防護材料重點實驗室，福建 廈門 361021；3.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

0 引 言

由螺旋槳非定常激勵力引起的推進軸系縱向低頻振動對艦艇聲隱身性能的危害性受到國內外學者的廣泛關注[1-3]。對于艦艇推進軸系而言，其縱向振動控制的研究重點是減小經推力軸承基座傳遞至艇體的二次脈動激勵力。由于縱向力傳遞路徑為螺旋槳-傳動軸-推力軸承-推力軸承基座-艇體，因此只能在此路徑上對振源進行隔離或者消減。實際工況中，推進軸系的縱向靜推力一般較大，隔振器需承受較大的靜載荷，軸系躥動位移的限制使得隔振器剛度不能過低，這就導致系統整體固有頻率比較高，面對低頻激勵無法有效隔振。高靜低動隔振器通過并聯正、負剛度機構，可以獲得高靜剛度、低動剛度的特性，具有良好的低頻隔振效果。Carrella 等[4]基于三彈簧并聯的準零剛度結構，比較分析了三種初始狀態下的斜置彈簧對系統隔振效果的影響；劉興天[5]討論了由滑動梁與線性彈簧組成的準零剛度系統帶來的新特性；徐道臨[6]等設計并分析了一種具有準零剛度的磁力隔振器，該隔振器同時具有磁力剛度非線性與幾何結構非線性；Sun等[7]利用剪刀式結構本身的特性，使得線性的彈簧阻尼元件發揮出非線性剛度和阻尼的效果；Liu等[8]則將剪刀式結構與杠桿結構相結合，利用結構自身內在的非線性實現超低頻隔振；周加喜等[9]利用高靜低動結構，設計出一種分段準零剛度隔振器，避免了激勵幅值過大所導致的共振峰值傳遞率超過等效線性系統峰值傳遞率。

然而，上述高靜低動隔振器均是將隔振載體當作剛體，而在螺旋槳葉頻激勵力下，推進軸系自身的分布剛度不可忽視，同時大部分的高靜低動隔振器的阻尼考慮為線性阻尼，較少考慮具有非線性阻尼作用下高靜低動隔振器的隔振特性。本文針對在推進軸系上安裝帶連桿彈簧并聯結構的高靜低動隔振裝置，考慮斜置彈簧阻尼情況，利用有限元法建立推進軸系-高靜低動隔振器縱振隔振系統的動力學模型，分析其在特定參數下隔振器的隔振效果。

1 高靜低動隔振器力學模型

對于如圖1 所示的連桿-彈簧式的高靜低動隔振器，其在承載物重力作用下處于靜力平衡狀態，且長度為b的連桿朝向水平。此時，豎直彈簧剛度為kv，預壓縮變形量為δv；斜置彈簧剛度為kh，原長為Lho，數量為N組，隔振平臺至水平彈簧固定端的距離為a，且滿足a＞b，此時有

圖1 帶連桿-彈簧高靜低動隔振器Fig.1 Rod-spring typed HSLDs vibration isolator

若此時給該隔振平臺一個豎直方向的擾動x，則連桿做旋轉運動，并與水平方向產生θ夾角。對于該擾動，產生相應的豎直方向回復力為

結合式（2）～（3），得

此回復力是僅考慮剛度作用時的整個系統的回復力。將式（4）在x=0處進行泰勒展開，并省略高階項可得

因此，可得近似后的高靜低動隔振器的一階剛度和三階剛度分別為

2 推進軸系-高靜低動隔振器動力學建模

2.1 考慮隔振器為軸向粘性阻尼時的縱振動力學建模

推進軸系主要由螺旋槳、艉軸、中間軸、推力軸、艉軸承、中間軸承和推力軸承等組成。這里將螺旋槳及其附連水質量簡化為集中質量mp，推進軸等效為一根直徑為d的彈性等截面均質軸，且只考慮縱向激勵，忽略彎矩對縱向振動的影響。在推進軸系的推力軸承端配置連桿-彈簧高靜低動隔振器，推力由螺旋槳經推力軸傳遞至該隔振器，再導入到推力軸承上，其系統動力學簡化模型如圖2 所示，其中軸的橫截面面積、彈性模量、長度、以及密度分別用A、E、L和ρ來表示。

圖2 推進軸系-高靜低動隔振器力學模型Fig.2 Schematic diagram of the propulsion shafting-HSLDs

高靜低動隔振器的回復力取如式（5）中的前四階泰勒展開式，k1和k3分別表示式（6）～（7）中隔振器的一階剛度和三階剛度。此外，在圖1隔振器的豎直方向上并聯阻尼系數為cv的線性阻尼器，則圖2中軸系推力軸承端的縱向阻尼系數為

針對該推進軸系-高靜低動隔振器系統動力學模型，利用有限元法進行分析。將推進軸系模型劃分為圖2中的n個單元，即n+1個結點，則系統的動力學微分方程可以寫為

2.2 考慮隔振器斜置彈簧阻尼的縱振動力學建模

一般情況下，高靜低動隔振器僅考慮豎直方向上線性阻尼的影響，而在水平方向上配置線性阻尼器時，特殊的幾何布置結構會導致豎直方向上的非線性阻尼效果。為了研究此類阻尼的可控性，在圖1 所示的原始高靜低動隔振器模型基礎上，分別給斜置彈簧和豎直彈簧并聯一個線性阻尼器，其結構如圖3所示。故本節分析配置如圖3所示的帶斜置阻尼的高靜低動剛度隔振器的軸系縱向力學傳遞特性變化，其中，cv為豎直方向阻尼，ch為斜置阻尼，因此，圖2中的c不再是常數，而是關于cv、ch以及軸系縱向位移的變量。

圖3 配置阻尼的連桿-彈簧高靜低動隔振器Fig.3 Rod-spring typed HSLDs vibration isolator with dampers

考慮斜置的阻尼器為粘性阻尼，在豎直方向產生大小為x的位移時，則水平方向上的阻尼力模型可以寫為

2.3 算例分析

根據上述建立起的系統動力學方程，仿真分析本文提出的非線性隔振器在推進軸系上的隔振效果。由于本文選擇的有限元法需要進行網格無關性檢驗，分別計算推進軸系在等效線性隔振系統下（k1=kv，k3=0，ζh=0，ζv=0.01，kv=108N/m），單元數量選擇5、10 和40 時的力傳遞率曲線，其它的結構參數參考某船軸系進行簡化選取，如表1 所示。不同單元數量下的力傳遞率曲線如圖4 所示，由圖可知，10 至60 單元計算模型的第一、二階縱向共振峰基本重合。因此為了保證計算的精度以及避免不必要的計算負擔，本文的推進軸系計算模型選擇10單元的有限元模型。此外，為了驗證本文利用諧波平衡法所得近似解析解的準確性，將龍格庫塔法求解式（19）得到的數值解作為精確解與之進行對比，此時，同時考慮非線性剛度和非線性阻尼的效果，參數選擇N=2，ζh=0.01，ζv=0.05，kv=109N/m，其它參數按表1 進行選取，計算結果如圖5 所示。由圖可知，近似解析解與數值解在低頻處存在著誤差，但整體上基本吻合。

表1 推進軸系系統參數Tab.1 Parameters of propulsion shafting

圖4 不同單元數等效線性隔振系統有限元模型的力傳遞率曲線Fig.4 Force transmissibility curves of finite element models of equivalent linear vibration isolation system with different number of elements

圖5 非線性隔振系統力傳遞率曲線的近似解析解與數值解Fig.5 Approximate analytical solution and numerical solution of force transmissibility curves of nonlinear vibration isolation system

分別計算推進軸系在等效線性隔振系統下和推進軸系帶高靜低動隔振器隔振系統下的力傳遞率。系統中存在三種阻尼：推進軸系材料粘性阻尼比ζ、高靜低動隔振器軸向阻尼比ζv和高靜低動隔振器橫向阻尼比ζh。首先對于線性系統，分析ζ與ζv對系統的影響，圖6～7為當kv=1×109N/m，不同ζ與ζv取值時，線性隔振系統的力傳遞率及軸系在推力軸承端的結點位移幅值。圖8～9為當kv=1×108N/m，不同ζ與ζv取值時，線性隔振系統的力傳遞率及推力軸承端結點位移幅值。

圖6 不同ζ與ζv取值時線性隔振系統的力傳遞率（kv=1×109 N/m）Fig.6 Force transmissibility curves of linear system with different ζ and ζv(kv=1×109 N/m)

圖7 不同ζ與ζv取值時推力軸承端的位移幅值（kv=1×109 N/m）Fig.7 Displacement curves of linear system with different ζ and ζv(kv=1×109 N/m)

圖8 不同ζ與ζv取值時線性隔振系統的力傳遞率（kv=1×108 N/m）Fig.8 Force transmissibility curves of linear system with different ζ and ζv(kv=1×108 N/m)

由下圖可知，隨著材料阻尼比ζ的增加，幅頻響應的各階共振峰均會下降，同樣隨著高靜低動軸向阻尼ζv的增加，幅頻響應的各階共振峰也均會下降，即高靜低動軸向阻尼ζv對共振響應幅值的抑制更為強烈。對于力傳遞率而言，增加ζ和ζv都會使得共振峰值下降，其中，增加ζ，對于非共振區域沒有影響，而增加ζv會增加非共振區域的力傳遞率。此外，當ζv下降時，也使得ζv和ζ對共振峰抑制的強烈程度發生改變。進一步分析安裝高靜低動隔振器的船舶推進軸系系統受阻尼的影響，其中kv=1×108N/m，其他參數取值由表1給出。由圖10可知，考慮斜置彈簧阻尼的高靜低動隔振器非線性隔振系統在低頻段的力傳遞率均下降，低頻隔振效果更好，但是高靜低動隔振器的軸向阻尼比ζv越大，在高頻段隔振系統的隔振效果越差。對于線性系統，增加ζv會增加非共振區域的力傳遞率。由圖11可以發現，高靜低動隔振器低頻的響應位移均增大，對于第一個共振峰，增加高靜低動軸向阻尼比ζv可以有效地降低響應峰值，而改變高靜低動隔振器橫向阻尼比ζh，則無明顯效果。除此之外，增加ζh可以使得系統的低頻響應降低。

圖9 不同ζ與ζv取值時推力軸承端的位移幅值（kv=1×108 N/m）Fig.9 Displacement curves of linear system with different ζ and ζv(kv=1×108 N/m)

圖10 不同ζ與ζv取值時非線性隔振系統的力傳遞率Fig.10 Force transmissibility curves of linear system with different ζ and ζv

圖11 不同ζ與ζv取值時推力軸承端的位移幅值Fig.11 Displacement curves of linear system with different ζ and ζv

3 結 論

本文針對推進軸系上安裝的帶連桿-彈簧并聯結構的高靜低動隔振裝置，考慮斜置彈簧阻尼情況，利用有限元法建立了推進軸系-高靜低動隔振器縱振隔振系統的動力學模型，分析其在特定參數下隔振器的隔振效果，通過分析可以得出以下結論：

（1）建立的考慮推進軸系自身分布剛度和斜置彈簧阻尼作用下的推進軸系-高靜低動隔振器系統的非線性動力學模型更為精確；

（2）對于等效線性隔振系統，增加ζ和ζv都會使共振峰值下降，其中，增加ζ，對于非共振區域沒有影響，而增加ζv會增加非共振區域的力傳遞率；

（3）考慮斜置彈簧阻尼的高靜低動隔振器隔振系統的低頻隔振效果更好，此外，隨著高靜低動隔振器的軸向阻尼ζv變大，在高頻段隔振效果變差。