航空軸承可靠性試驗樣本數及試驗時間設計

安浩俊，王健，許冬冬，劉公平，馬德鋒

(1.中國航發哈爾濱軸承有限公司，哈爾濱 150025；2.洛陽軸承研究所有限公司,河南 洛陽 471039;3.河南省高性能軸承技術重點實驗室,河南 洛陽 471039)

壽命及可靠性試驗是判定軸承可靠性指標的重要手段。經長期研究積累，通用滾動軸承壽命及可靠性的試驗方法已趨于成熟，GB/T 24607—2009《滾動軸承 壽命與可靠性試驗及評定》對試驗類型、載荷、轉速、樣本數量、試驗時間、試驗數據分析方法等給出了明確的界定范圍。用戶可根據自身軸承產品的特點，參照標準選取相應的試驗類型，并確定試驗樣本數量及試驗時長。

航空軸承、高鐵軸承等高成本、高可靠性軸承的可靠性試驗，一般會進行小樣本、無失效數據的定時截尾試驗， 即將一組軸承樣品在相同試驗條件下試驗至規定時間后停止。在定時截尾試驗中，試驗樣本、分組數及試驗時間的選取對軸承可靠性評價的影響十分明顯。文獻[1]對多層貝葉斯法及E-Bayes法進行對比分析，認為航空軸承應按照試驗時間對試驗數據進行分組，當分組數在6～9組之間選擇時評估效果相對較好，且航空軸承的試驗時間越長，分組數可以越少。但在實際工程應用中，往往只有很少量的軸承樣品，無法滿足6～9組的分組數量要求；同時，試驗時間也受到產品研發進度、試驗成本等客觀因素的限制。如何在受限條件下合理設計試驗樣本數量和試驗時間，保證試驗結果的有效性，成為困擾航空軸承可靠性試驗設計的關鍵問題。

大量的試驗研究和理論分析表明，韋布爾分布可用于小樣本情況下的可靠性評估：文獻[2]采用韋布爾分布研究該市高壓電纜的壽命分布；文獻[3]介紹3種韋布爾分布的小樣本分析方法，對比分析了不同韋布爾分布參數、樣本量和失效數下的評估結果，對小樣本可靠性試驗中最小樣本數的選擇有一定的指導意義；文獻[4]采用貝葉斯方法對累計失效概率進行估計，再運用韋布爾分布計算其可靠度；文獻[5]研究了韋布爾分布形狀參數的變化對產品接收和拒收概率的影響；文獻[6]在已知形狀參數下限的情況下給出了可靠度和使用壽命的單側置信下限，能夠根據定時無失效數據對產品進行高置信水平的可靠性評定。

軸承的壽命服從韋布爾分布，因此，本文擬利用韋布爾分布原理推演航空軸承小樣本、無失效數據的可靠性試驗時間、樣本數量與可靠度指標、給定壽命、錯判概率等給定指標的相互關系，并探索試驗時間、樣本數量的設計方法。

1 航空軸承壽命分布模型

韋布爾分布具有冪率特性，能夠有效反映產品的不同失效模式，被廣泛應用于可靠性研究領域。在Lundberg-Palmgren滾動軸承經典疲勞壽命理論[7]以及相關標準中，滾動軸承疲勞壽命符合二參數韋布爾分布，其累積分布函數為

(1)

概率密度函數為

(2)

則可靠度函數為

(3)

軸承的失效率函數為

(4)

式中：m為函數的形狀參數，反映不同的失效模式；η為函數的形狀參數；t為軸承壽命。

2 韋布爾分布定時截尾試驗設計

2.1 考慮置信度的定時截尾試驗

航空軸承具有可靠性要求高，制造困難，壽命長，試驗成本高等特點。為節約試驗成本，航空軸承可靠性試驗通常采用小樣本定時截尾試驗的方式。設試驗樣本數為n，各航空軸承的壽命ti(i=1,2,3,…,n)服從韋布爾分布，在試驗時間內所有產品均未失效。令z=tm，則z服從指數分布

F(z)=1-exp(-λz)；z>0，

(5)

對于指數分布，在已知可靠度和壽命置信度γ的情況下，壽命的單側置信下限為[8]

(6)

在給定壽命z和可靠度置信度λ下，可靠度單側置信下限為

(7)

對于韋布爾分布，當形狀參數已知時，由(1)，(5)式可得，在可靠度和壽命置信度已知的情況下，壽命的單側置信下限為

(8)

則對于給定樣本數，滿足壽命T、可靠度R的產品定時截尾試驗所需要的試驗時間t0為

(9)

給定試驗時間t0時所需試驗樣本數n為

(10)

由于受時間、成本等因素的影響，航空軸承試驗所得數據為無失效數據，不包含壽命分布信息，形狀參數無法直接得到，對于軸承，m的取值范圍一般為0.7～2.0，因此取其下限m1為0.7，上限m2為2.0，使m1≤m≤m2。

對(9)式兩邊取對數得

(11)

求偏導得

(12)

2.2 考慮錯判概率的定時截尾試驗

產品可靠性試驗在生產實際中較為復雜，應盡可能多的考慮影響因素，因此引入錯判概率的概念。錯判概率α也稱為生產方風險，指當批質量符合要求卻不被接收時生產方承擔的風險。

由(3)，(4)式可得

(13)

兩邊取對數可得

(14)

當F(t)很小時有

(15)

即

(16)

當F(t)較小且近似服從泊松分布時，其接受概率可表示為

(17)

當無失效數據時，c=0，(17)式可表示為

(18)

當考慮錯判概率時，對應于可接受的失效率上限λ0(t)，接受概率為

(19)

兩邊取對數可得

(20)

設軸承壽命目標值為T，可靠性試驗時間為t0，有

t0=kT，

(21)

則由(5)，(12)，(13)式可得

(22)

當軸承可靠度、錯判概率、壽命目標值已確定時，由(22)式可得壽命試驗時間與樣本數的關系式，即

(23)

當可靠度接近100%，錯判概率取值較小時，計算結果的精確度更高。計算可知，可靠度接近100%，錯判概率α=0.1時，計算誤差大約為5%。

由(23)式可以看出，試驗時間、樣本數與壽命目標值、錯判概率正相關，與累積失效概率F=1-R的倒數正相關，與以往試驗情況相符。另外，在給定指標要求和試驗條件的情況下，增加樣本數可對應減少試驗時長，該趨勢性也與實際相符。

軸承壽命目標值、試驗時間均已確定時，可由(23)式得到軸承樣本數，即

(24)

3 航空軸承工程實例

某航空用角接觸球軸承的壽命目標值為1 100 h，可靠度目標值R≥98%，置信度為95%，使用方可提供最大試驗樣本數n為10。

對于航空軸承，形狀參數m一般取1.5～2.0，因此取形狀參數的下限為1.5，上限為2.0，分別代入(9)式可得試驗時間的下限t02和上限t01，具體結果見表1：形狀參數和樣本數對試驗時間的影響很大，隨著樣本數的增加，試驗時間的上、下限均呈下降趨勢，且試驗時間的選取區間逐漸縮小。

表1 試驗樣本數與試驗時間區間匹配方案

在錯判概率α分別為0.01，0.05，0.10時，由(23)式計算可得不同m值時試驗時間與樣本數的匹配方案見表2，形狀參數m和錯判概率α對試驗時間的影響均很大。

表2 試驗樣本數與試驗時間匹配方案 Tab.2 Matching scheme of sample numbers and duration of test h

不同形狀參數和不同錯判概率對試驗樣本和試驗時間的影響如圖1所示：隨著錯判概率和形狀參數的增大，試驗樣本-試驗時間曲線的走勢不變，但取值呈上升趨勢，且變化較大。為準確設計試驗時間和試驗樣本數量，仍需進行大量試驗以確定錯判概率和形狀參數的取值范圍。

(a) α=0.05

4 結束語

基于韋布爾分布理論，對小樣本無失效數據下航空軸承可靠性試驗的試驗時間、樣本數與可靠度目標值、置信度、錯判概率、壽命指標等因素的相關性進行了推演，得到了一種考慮置信度和錯判概率的試驗時間和樣本數量的計算方法，對試驗時間和樣本數等試驗參數的確定，以及小樣本無失效數據下航空軸承可靠性試驗的設計提供一定的參考。