基于等效磁網絡法的混合勵磁雙定子磁懸浮開關磁阻電機建模研究*

張志友, 項倩雯, 孫玉坤, 袁 野

(江蘇大學 電氣信息工程學院,江蘇 鎮江 212013)

0 引 言

開關磁阻電機結構簡單堅固、效率高、機械強度大，廣泛應用于航天器械、電動汽車、風機、泵等領域。由于臨界轉速低，摩擦阻力增大，傳統的機械軸承限制了開關磁阻電機轉速進一步提高[1-3]。磁軸承的出現克服了傳統機械軸承的缺陷，開關磁阻電機可以達到很高的運行速度。磁懸浮開關磁阻電機(BSRM)綜合了磁軸承技術與開關磁阻電機的優點，無機械磨損、無潤滑、能耗低、臨界轉速高，在飛輪儲能、航空航天，渦輪機等領域具有廣泛的應用前景[4]。

當前BSRM的建模方法主要有三種：有限元分析法、磁路解析法、等效磁網絡法(EMN)。大多數學者對于BSRM的研究基于傳統的磁路解析法，應用于電機分析，把磁場問題轉化為磁路問題[5]。針對電機出現的磁飽和現象及鐵心的非線性問題，該方法分析精度偏低，計算結果可能會和實際誤差較大[6-8]。

使用有限元分析軟件在電機設計初始階段需要不斷調整參數，因此會造成電機分析設計的時間增長，設計效率低。而且采用有限元軟件仿真分析時，需要很精細的網格剖分才可以滿足精度要求，單元剖分越精細計算精度就越高，但巨大的網格規模非常占用計算機內存，致使仿真求解過程十分耗時，增加了工程設計的時間和勞動成本[9-10]。

鑒于上述兩種方法的不足，利用EMN分析混合勵磁雙定子BSRM。該方法從磁路法發展而來，同時又采取有限元剖分的思想。采用EMN的仿真時間遠低于有限元分析法，此種方法在電機初始設計分析階段具有良好的應用前景。文獻[11]中，英國謝菲爾德大學的Zhu教授將EMN用于對定子永磁型電機的分析，建立磁通切換電機的等效磁網絡模型，并基于此模型進一步求解出磁通切換電機的氣隙磁密、磁鏈、電感等特性，通過有限元驗證模型的準確性和有效性。文獻[12]將EMN用于混合轉子永磁電機的設計分析和電機電磁性能評估，進一步研究電機的反電動勢、轉矩等特性，并與有限元分析進一步比較，證明EMN具有很高的精度。文獻[13]提出了一種新的車載雙永磁游標電機的EMN模型，將磁路法與網格法相結合，用于預測電機的電磁性能，以提高電機建模效率。并將EMN模型的計算結果與有限元的分析結果對比，驗證所建模型的高效性。

本文以24/16/8極混合勵磁雙定子BSRM為例，提出了一種基于EMN的建模方案。首先采用有限元軟件對電機進行磁場仿真分析，定轉子齒部和懸浮氣隙處磁力線分布均勻且形狀類似于矩形，因此可以近似等效成矩形磁導模型求解。定轉子軛部可以近似等效成扇形磁導模型求解[14]。轉子運動時，轉矩氣隙不斷發生變化，磁場分布較為復雜，采用分割法將外定子與轉子間的相對位置分為若干個區間進行研究，對劃分的每個區間磁導進行推導計算。根據磁力線的分布確定各個磁導的連接方式，建立起電機的整個等效磁網絡模型。對磁網絡進行編號，建立起電機的矩陣方程[15]?；贛ATLAB軟件求解矩陣方程，得到電機轉矩與懸浮繞組的電感、磁鏈等特性，并和有限元分析進行對比驗證所建模型的有效性。

1 電機結構與工作機理

1.1 混合勵磁雙定子BSRM拓撲結構

圖1為24/16/8極混合勵磁雙定子BSRM的拓撲結構圖。內外定子和轉子鐵心材料采用的是DW465-50硅鋼片，永磁體材料采用的是釹鐵硼NdFe30。電機由24極外定子，16極轉子和8極混合內定子構成?；旌蟽榷ㄗ佑?個對稱分布的凸極和4個永磁體組成。永磁體采用徑向充磁的方式為轉子提供偏置磁通，磁極呈NS交替變化，與控制磁通共同形成八極磁場。其他4極與永磁體相間分布。x方向懸浮電流控制x方向的懸浮力，y方向的懸浮電流控制y方向懸浮力。電機外定子等間隔分布24個齒極，其中8個齒極的繞組串聯成一相，如圖1中的A相所示。定義圖1中A相外定子極與轉子極對齊時的角度θ=0°。B相和C相分別位于A相順時針方向的15°和30°處。

圖1 混合勵磁雙定子BSRM拓撲結構

1.2 工作機理

電機的轉矩由外定子與轉子作用產生，如圖2(a)所示,與傳統的開關磁阻電機轉矩原理相同，均遵循“磁阻最小原理”。當給轉矩繞組通一定大小的電流時，磁通流經轉子齒、轉子軛、外氣隙、定子齒、定子軛部形成閉合的磁路，隨著轉子的運動，磁場會發生扭曲從而產生切向的磁拉力，產生轉矩。

懸浮力由內定子上永磁體和懸浮繞組電流共同作用產生，如圖2(b)所示。永磁體產生的磁通Φm流經內定子齒、內定子軛、內氣隙、轉子軛閉合。懸浮繞組電流產生的磁通Φx流經內定子齒、內定子軛、內氣隙、轉子軛閉合。當永磁體單獨作用時，產生8極對稱分布磁通，內氣隙磁密相等，此時懸浮力為零，轉子處于平衡位置。當x正方向產生擾動時，轉子會向x正方向偏移，此時x負方向懸浮氣隙減小，磁場變強。給x方向的繞組通電，產生的磁通Φx與Φm在x負方向氣隙處方向相反，在x正方向氣隙處方向相同，會產生x正方向的懸浮力，使得轉子回到平衡位置。

圖2 工作機理

1.3 磁路分析

給轉矩和懸浮繞組同時通2 A的電流，磁場分布如圖3所示。轉矩磁場與懸浮磁場彼此獨立，實現解耦。轉矩磁場8極對稱均勻分布。由于ap處偏置磁場與控制磁場方向相同，磁場疊加，而bp處偏置磁場與控制磁場方向相反，磁場削弱，因此ap處磁密較bp處大，在x正方向上會產生徑向懸浮力。

圖3 θ=0°磁場分布

2 混合勵磁雙定子BSRM EMN建模

2.1 等效磁導的分析與計算

2.1.1 定子和轉子

考慮到電機定轉子結構的特點，可以將電機的齒部和軛部分成兩種基本的模型。

圖4中，對于齒部而言，內部磁場分布均勻，且類似矩形結構，因此可以直接等效成矩形磁導模型。矩形模型的磁導可以由下式求出：

(1)

式中：μ為對應材料的磁導率;la為電機的軸向長度;w為垂直于磁通方向磁截面積的寬度;l為磁通方向長度。

圖4 磁力線圖

電機的軛部可以等效成扇形模型，如圖5所示。扇形模型的磁導可以根據基本的矩形模型進行微積分推導得到：

(2)

式中：R1、R2和θ分別為扇形模型的內半徑、外半徑和開口弧度。

圖5 矩形和扇形磁導模型

2.1.2 繞組和永磁體

磁場中的磁動勢是由繞組和永磁體產生的，混合勵磁雙定子BSRM采用的是集中繞組，如圖6所示。磁動勢的大小為

Fn=∮H·dl=Nci

(3)

式中：H為磁場強度;l為閉環的周長;Nc為電樞繞組匝數;i是繞組中通入電流大小。

圖6 繞組的磁動勢等效模型

永磁體等效模型可以表示為磁動勢和磁導的串聯組合,永磁體的磁動勢和磁導的推算公式如下[16]:

(4)

式中：Fpm、Gpm、μrm、μ0和Brm分別為永磁體的等效磁動勢、等效磁導、相對磁導率、真空磁導率和剩磁密度；hm、la和lm分別為永磁體的寬度、電機軸向長度和永磁體的長度。

2.1.3 氣隙磁導

在轉子運動時，由于內定子磁極與轉子間對齊面積始終相等，此部分的懸浮氣隙磁力線分布均勻，可以等效成矩形磁導式(1)計算。外定子齒和轉子齒之間的轉矩氣隙可以采用分割法進行研究。

將外定子與轉子齒的相對位置分為8個區間進行研究，由α1～α8來定義,即:

(5)

式中：α為外定子齒與轉子齒中心線之間的夾角。

圖7中是區間1與區間8中外定子齒與轉子齒之間的相對位置。α1～α8與電機結構參數有關，例如α1可以由下式定義：

(6)

式中：βr和βos分別為轉子和外定子的齒寬。

圖7 不同區間的轉子位置

根據磁通的分布情況，需要將每個區間再分成幾個小區間，每個小區間中磁通的分布相對均勻，可以用一個磁導表示。例如，在圖8(a)中，區間1就被分成了a～e五個小的區間，每個小區間的寬度如下式：

(7)

b=(α1-α)Rosi

(8)

c=βosRosi

(9)

d=(α1+α)Rosi

(10)

(11)

式中：Rosi為外定子的內半徑；τos為外定子齒距，以角速度表示。

圖8 區間分界角的定義

在圖8中，將外定子與轉子齒的側面分別傾斜β1、β2角。這么做是為了能夠用圓弧和直線代替實際的磁力線。可由下列經驗公式確定：

(12)

對應的分界點為:

(13)

式中：hcos和hcr分別為外定子和轉子磁極高度。

現以區間1為例推算氣隙磁導，在子區域a中，磁力線可以看成由兩段圓弧和一段矩形組成，其長度隨著與轉子左邊界的距離x而變化。

(1) 由式(1)可以得到子區域a的氣隙磁導為

當x2≥a時：

當x2

(2) 子區域b內，磁力線由一段圓弧和一段直線組成，對應的氣隙磁導為

(16)

(3) 在c區域中：

(17)

(4) 與子區域b類似，子區域d的磁導為

(18)

(5) 在e子區域中，與子區域a類似。

當x2≥e時：

當x2

式中：go為外定子齒部和轉子齒部之間的氣隙長度；μ0為真空磁導率。

因此利用式(14)～式(20)可以得到區間1總氣隙的磁導：

Gm=G1+G2+G3+G4+G5

(21)

區間2～區間8的氣隙磁導的計算公式可用類似的方法得到。

2.2 EMN模型

圖9所示為混合勵磁雙定子BSRM兩個特殊位置下EMN模型，表1為電機磁導的種類和編號。

圖9 混合勵磁雙定子BSRM的等效磁網絡模型

表1 電機磁導的種類

3 EMN模型算法求解

根據前面求出的所有磁導，結合有限元仿真的磁場分布，確定好磁導的連接方式，磁導矩陣、節點磁動勢矩陣和磁通矩陣滿足以下關系：

G(μi)·Fn=Φn(μi)

(22)

根據圖9建立的EMN模型，可以觀察到節點的總數為92，編號為0～91。

(23)

式中：G(i,j)為節點i和j的磁導；Fn(i)和Φn(i)分別為節點i的磁勢和磁通；μi為第i條支路的磁導率。

矩陣G沿著對角線對稱，具有如下特點：

(24)

如圖10所示，節點磁通為已知量，賦值方法如下：若與節點“i”關聯的支路存在磁動勢，則節點磁通為支路磁動勢與磁導乘機的代數和，即

(25)

圖10 節點磁通的計算

電機鐵心材料的磁導率會隨著磁通密度而發生變化，所以鐵心材料的實際工作點應該通過一系列的迭代過程得到。采用插值法計算節點i和節點j的磁導率[17]:

(26)

式中：Hn和Bn分別為第n個插值點的磁場強度和磁感應強度；Hn+1和Bn+1為第n+1個插值點。

為了提高求解速度，采用超松弛迭代法求解式(23)的矩陣方程，為了得到更好的收斂特性，本文采用定子和轉子齒的磁通密度做為收斂判據，其迭代條件可以表示為

(27)

4 結果與驗證

本文以24/16/8極混合勵磁雙定子BSRM作為研究對象建立起EMN模型。給轉子運動設定每個步長，當轉動一個步長的時候，就需要重新建立起模型，重新求解建立的非線性矩陣方程。如此就可以求出在單相通電周期(0°～7.5°)時間內，懸浮和轉矩繞組的磁鏈、電感等特性，通過所求的電磁特性結果與有限元法(FEM)進行對比,說明EMN模型的高效性。

4.1 懸浮和轉矩繞組磁鏈

假設節點a和節點b是一個磁導的兩端，則磁通密度可以由下式求得：

(28)

可以進一步求得對應θ位置每相繞組的磁鏈ψθ:

ψθ=NSBθ

(29)

式中：N為繞組的匝數;S為齒的截面積，Bθ為θ對應位置下的磁感應強度。

圖11和圖12所示為給懸浮繞組和轉矩繞組通2 A電流時，懸浮和轉矩繞組磁鏈隨著轉子角度θ的變化情況。從圖12中可以看出當θ=0°的時候，即外定子和轉子齒極中心軸線對齊時，轉矩的磁鏈值最大。由于內定子齒與轉子之間的懸浮氣隙在運動的過程中基本不發生變化，這部分的氣隙磁導也是固定不變的，求解的懸浮繞組的磁鏈也基本保持不變。

圖11 懸浮繞組磁鏈

圖12 轉矩繞組磁鏈

4.2 懸浮和轉矩繞組電感

當求得懸浮和轉矩磁鏈時，可由下列公式求得懸浮和轉矩電感L(θ):

(30)

圖13 懸浮繞組電感

圖14 轉矩繞組電感

圖13和圖14表示給懸浮和轉矩繞組通2 A電流時，懸浮和轉矩繞組電感隨著轉子角度θ的變化情況?？梢钥闯鲭姼械淖兓闆r與磁鏈基本一致。EMN模型求解的電感與FEM的電感吻合效果很好。

4.3 懸浮力

以x方向為例，x軸正方向為力的正方向，根據麥克斯韋方程可以求出x方向的懸浮力為

(31)

式中：Sxy表示內定子齒部磁極的面積;φx1表示x軸正方向上的磁通;φx2表示x軸負方向上的磁通;μ0表示真空磁導率。

通過對式(31)的求解，可以求出當給懸浮繞組通2 A電流的時候，懸浮力的大小和FEM求解出來的幾乎一致，如圖15所示。在轉子運動的過程中，內定子齒極與轉子之間的對齊面積始終保持不變，因此懸浮力幾乎保持恒定，不會隨θ的變化發生變化，這也進一步確保了轉子的穩定懸浮。

圖15 x方向懸浮力值

4.4 電磁轉矩分析

混合勵磁雙定子BSRM的轉矩部分和開關磁阻電機一樣，根據能量轉換原理，作用在轉子上的電磁轉矩可以由磁場儲能Wa對轉子位置角度θr的偏導數得出。所以A相繞組對轉子產生的電磁轉矩Ta可用下式求出：

(32)

當θr=0，即外定子齒和轉子齒部正對齊的時候，此時不產生電磁轉矩，Ta=0，隨著轉子的運動，θr逐漸增大，外定子齒與轉子齒之間對齊的面積逐漸減少，氣隙處的磁力線會發生扭曲，此時電磁轉矩逐漸增大。由圖16可以看出EMN模型求解出的電磁轉矩和FEM求解的基本吻合。

圖16 轉矩值

5 結 語

本文建立了24/16/8極混合勵磁雙定子BSRM的EMN模型，推出各部件的磁導公式，尤其是轉矩氣隙部分采用分割法進行分析。然后對建立的矩陣方程進行求解，進一步可以得到懸浮和轉矩繞組的磁鏈、電感以及懸浮力和轉矩特性。通過和FEM分析進行對比，EMN模型求解的結果和FEM求得的結果基本吻合。EMN對于電機的分析具有很好的精度，但用時卻遠少于FEM。本文分析的EMN可以高效分析BSRM，為此類電機的后續研究提供了一定的參考。