一種優化感應電機無權重系數無差拍模型預測控制*

李耀華, 陳桂鑫, 王孝宇, 劉子焜, 劉東梅, 任 超

(長安大學 汽車學院，西安 710064)

0 引 言

有限控制集模型預測控制(FCS-MPC)通過遍歷逆變器所有開關狀態，以成本函數為評價指標，輸出令成本函數最小的開關狀態，近年來在感應電機領域受到關注[1-5]。由于傳統模型預測控制(MPC)電壓矢量作用時間固定,轉矩和磁鏈脈動較大，電流諧波含量較高。為了改善系統控制性能，文獻[6-7]分別采用空間矢量調制技術和三電平逆變器生成更多的備選電壓矢量，但增加了系統軟硬件成本，同時更多的備選電壓矢量也帶來更大的計算負擔。文獻[8]采用模糊控制優化備選電壓矢量，但需使用較為復雜的模糊控制方法。無差拍(DB)控制可通過預測模型精確計算得出使控制變量達到參考值所需的作用時間，實現電壓矢量作用時間的最優化，近年來成為研究的熱點[9-11]。磁鏈和轉矩無差拍控制需要求解二次方程，計算較為復雜。由于電機控制中轉矩控制優先，可對轉矩進行無差拍控制，計算得到電壓矢量優化作用時間，再對優化的電壓矢量采用MPC進行二次尋優[12]。傳統轉矩DB控制需要遍歷全部電壓矢量，計算量較大，同時MPC的成本函數含磁鏈和轉矩兩個不同量綱的控制變量，帶來權重系數的設計和整定問題[13-14]。

本文基于傳統轉矩無差拍模型預測控制(DB-MPC)，從精簡電壓矢量個數和無權重系數進行優化，利用備選電壓矢量在αβ平面對稱分布的特點，將遍歷代入轉矩無差拍的非零電壓矢量減少一半，同時省去零電壓矢量，并設計不含轉矩的成本函數，消除權重系數。通過仿真和單片機試驗，對感應電機傳統MPC、傳統DB-MPC和提出的優化控制策略進行對比，證明優化策略在保持控制性能基本相當的前提下，可減少計算耗時，同時消除權重系數。

1 感應電機模型預測控制

靜止兩相αβ坐標系下，以定子磁鏈ψs和定子電流is為狀態變量，定子電壓us為輸入變量，三相感應電機數學模型為

(1)

感應電機定子磁鏈、轉子磁鏈和電磁轉矩為

(2)

(3)

(4)

感應電機下一時刻的定子磁鏈、定子電流和轉矩預測模型為

ψs(k+1)=ψs(k)+Ts[us(k)-Rsis(k)]

(5)

(6)

(7)

兩電平三相逆變器可產生7個基本電壓矢量:

us∈{u0,u1,u2,u3,u4,u5,u6}

(8)

其中零電壓矢量可由兩個開關狀態生成，具體選擇以開關次數最小為原則[15]。

感應電機模型預測轉矩控制系統將逆變器電壓矢量遍歷代入至定子磁鏈、定子電流和轉矩預測模型，可得到下一時刻的定子磁鏈和轉矩。定義表征磁鏈和轉矩控制性能的成本函數:

(9)

將預測磁鏈和轉矩代入至成本函數，并選擇令成本函數最小的電壓矢量作為輸出，則實現MPC。

由于MPC使用7個電壓矢量，本文將其簡稱為7-MPC。感應電機7-MPC系統和程序流程圖分別如圖1和圖2所示。

圖1 感應電機7-MPC系統

圖2 7-MPC程序流程圖

為了提升控制性能，可采用空間矢量調制技術對電壓矢量進行擴充。本文將電壓矢量擴充至13個，如圖3所示[16]。為便于描述，本文將基于圖3所示的13個電壓矢量的感應電機MPC簡稱為13-MPC。

圖3 擴充的13個電壓矢量

基于MATLAB/Simulink建立三相感應電機7-MPC和13-MPC仿真模型。仿真模型為離散模型，采樣周期4×10-5s。參考轉速初始為2 772 r/min，4 s時階躍至-2 772 r/min，負載轉矩初始為2.5 N·m，2 s時階躍至-2.5 N·m，6 s時階躍至2.5 N·m，實現電機四象限運行，仿真總時長8 s。為了防止電機起動電流過大，設置定子磁鏈幅值小于0.65 Wb時，電流大于6.5 A，輸出零電壓矢量，否則輸出電壓矢量u1，以實現電機軟起動。通過試驗搜索法確定模型預測轉矩控制成本函數的權重系數λ取值為17.5[17-18]。仿真電機系統參數如表1所示。

表1 仿真用電機及控制系統參數

三相感應電機7-MPC和13-MPC仿真波形分別如圖4和圖5所示。

圖4 7-MPC仿真波形

圖5 13-MPC仿真波形

定義轉矩脈動均方根誤差(RMSE)和磁鏈脈動RMSE分別為

(10)

(11)

式中:m為采樣個數。

在7-MPC和13-MPC控制下，三相感應電機定子a相電流諧波含量(總諧波畸變，THD)及0.08～8 s(不含電機軟起動)轉矩脈動RMSE和磁鏈脈動RMSE如表2所示。

表2 7-MPC和13-MPC控制性能對比

2 轉矩DB-MPC

上文研究表明，傳統感應電機MPC并未對電壓矢量占空比進行調制，輸出電壓矢量作用時間固定為系統離散采樣周期。電壓矢量作用時間固定時，以增加備選電壓矢量為代價來優化控制性能的方法優化效果有限。因此，為了進一步減小轉矩脈動，下文采用轉矩DB-MPC方法來計算電壓矢量的理想作用時間。

對式(4)所示的轉矩方程對時間求導可得：

(12)

將式(5)和式(6)所示的定子電流和定子磁鏈狀態變量代入至式(12) 替換等號右側的微分項，并采用一階歐拉向前公式，對等號左側轉矩導數離散化，可得：

(13)

其中:

由于au含電壓變量，將其作用時間設為tu。對于每個采樣時刻，a0為常數項，作用時間設置為Ts，則可得：

Te(k+1)-Te(k)=tuau+Tsa0

(14)

根據轉矩無差拍原理，可得：

(15)

因此，電壓矢量理想作用時間tu為

(16)

這里需要指出，如果tu<0，說明該電壓矢量對轉矩的增減效果與實現轉矩DB控制效果相反，無法實現轉矩無差拍控制，則不將其代入至下一步MPC的磁鏈和轉矩計算，直接令其對應的成本函數為極大值，予以舍棄。當參考轉矩與實際轉矩相差較大時，計算得到tu>Ts，說明該電壓矢量無法在一個采樣周期內實現轉矩無差拍控制，則令tu=Ts。因此，經過轉矩無差拍控制環節后，電壓矢量修正為

(17)

由式(17)可知，轉矩DB控制定量優化每個電壓矢量的作用時間，但并未對磁鏈控制進行優化約束。同時，由于存在tu>Ts的情形，并不是所有修正的電壓矢量都能實現轉矩無差拍控制。因此，需要將修正的電壓矢量代入至轉矩和磁鏈預測模型，計算下一時刻的轉矩和磁鏈，并通過式(9)所示的成本函數從中選擇出最優電壓矢量。這里需要指出，此時轉矩預測模型為

Te(k+1)=Te(k)+tuau+Tsa0

(18)

為便于描述，本文將基于7個電壓矢量的DB-MPC簡稱為7-DB-MPC，將基于13個電壓矢量的DB-MPC簡稱為13-DB-MPC。感應電機7-DB-MPC系統和程序流程圖分別如圖6和圖7所示。

圖6 感應電機7-DB-MPC系統

圖7 7-DB-MPC程序流程圖

相同仿真條件下，三相感應電機7-DB-MPC和13-DB-MPC仿真波形分別如圖8和圖9所示。

圖8 7-DB-MPC仿真波形

圖9 13-DB-MPC仿真波形

在7-DB-MPC和13-DB-MPC控制下，三相感應電機定子a相電流THD及0.08～8 s的轉矩脈動RMSE和磁鏈脈動RMSE如表3所示。

表3 7-DB-MPC和13-DB-MPC控制性能對比

仿真結果表明,與MPC相比，DB-MPC大幅降低定子電流諧波含量、轉矩脈動和磁鏈脈動。與7-MPC相比，7-DB-MPC減小定子電流THD 55.02%，減小轉矩脈動均方根誤差75.89%，減小磁鏈脈動均方根誤差44.78%。與13-MPC相比，13-DB-MPC減小定子電流THD 80.23%，減小轉矩脈動均方根誤差66.29%，減小磁鏈脈動均方根誤差80.00%。與7-DB-MPC相比，13-DB-MPC有效減小磁鏈脈動，但對轉矩脈動改善較小。經統計，0.08～8 s內，7-DB-MPC控制選擇的最優電壓矢量占空比99.854%,小于1。這表明7-DB-MPC控制下，99.854%選擇的最優電壓矢量可實現轉矩無差拍控制，轉矩脈動優化空間極其有限。雖然13-DB-MPC通過增加電壓矢量，可實現99.998%選擇的最優電壓矢量實現轉矩無差拍控制，但對優化轉矩脈動意義較小，對減小磁鏈脈動和電流THD有較大的價值。

3 DB-MPC優化

3.1 精簡備選電壓矢量

由上文可知，DB-MPC需每次遍歷全部備選電壓矢量計算其理想作用時間。由式(16)可知，在每個采樣時刻，其分子為固定值，理想作用時間的大小和正負決定于分母au。分母au的定義如下：

(19)

由式(19)可知，如果兩個電壓矢量在αβ平面上呈對稱分布，則兩者在αβ軸的分量uα和uβ正好相反，計算得到的au與tu也互為相反數。以電壓矢量V30°和V210°為例，假設計算得到V30°理想作用時間為tu，則V210°作用時間為-tu。由于7-MPC和13-MPC的非零電壓矢量均為對稱分布，則無需將全部6個或12個非零電壓矢量代入計算tu，只需遍歷連續3個或6個非零電壓矢量。對于7-DB-MPC，可只需遍歷u1、u2和u33個非零電壓矢量計算其理想作用時間tu。如果tu大于0，則保留；如果tu小于0，則選擇對稱的電壓矢量，并令其作用時間為-tu。同理，對于13-DB-MPC只需遍歷V0°、V30°、V60°、V90°、V120°和V150°6個非零電壓矢量即可，從而減小計算電壓矢量理想作用時間的工作量。

對于零電壓矢量，由于其在αβ軸的分量為0，則由式(16)和式(19)可知，零電壓矢量理想作用時間為無窮大，DB控制令其作用時間為采樣周期Ts。與非零電壓矢量相比，其對轉矩的無差拍控制效果較差。經統計，在現有權重系數設置下，7-DB-MPC和13-DB-MPC均沒有選擇零電壓矢量。因此，與優化作用時間后的非零電壓矢量相比，零電壓矢量選擇率極低，可以不作為備選電壓矢量。綜上，可將備選電壓矢量分別減少至3個和6個。為便于描述，下文分別簡稱為3-DB-MPC和6-DB-MPC。

3.2 無權重系數成本函數

在7-DB-MPC和13-DB-MPC控制下，99%以上的最優電壓矢量占空比小于1，可實現轉矩無差拍，即成本函數中磁鏈控制項為0。僅有極少數非零電壓矢量占空比被調整為1，但其對轉矩的增減控制效果與無差拍控制是一致的，可實現定性控制。因此，成本函數中去掉轉矩控制項，不會引起轉矩失控。由此提出無權重系數的成本函數:

(20)

由于成本函數不含權重系數，省卻了權重系數的設計和整定，同時無需轉矩計算，實時性得到優化。

這里需要指出，無權重系數的成本函數需要與不含零電壓矢量的備選電壓矢量集合配合使用。否則，由于成本函數不考慮轉矩控制，僅考慮磁鏈控制，零電壓矢量選擇率極高。而此時零電壓矢量的轉矩控制效果不一定與無差拍控制一致，且對轉矩控制效果較差，影響系統控制性能。

無權重系數3-DB-MPC流程圖如圖10所示。

圖10 無權重系數3-DB-MPC程序流程圖

由圖10可知，無權重系數3-DB-MPC程序控制流程如下：

(1) 轉矩無差拍控制計算理想占空比。遍歷3個非零電壓矢量u1～u3，根據轉矩無差拍計算得到各個電壓矢量對應的理想占空比。

(2) 電壓矢量修正。如果占空比大于1，則令占空比為自身與絕對值之商。將占空比與電壓矢量相乘，得到3個修正的電壓矢量。

(3) MPC。將修正的電壓矢量代入至定子磁鏈預測模型計算得到下一時刻的磁鏈，并基于式(20)所示的成本函數求令成本函數最小的電壓矢量，將電壓矢量和其占空比輸出給逆變器。如果占空比小于0，則令代入電壓矢量為其對稱電壓矢量，并令占空比為正。

相同仿真條件下，三相感應電機無權重系數3-DB-MPC和6-DB-MPC仿真波形分別如圖11和圖12所示。

圖11 無權重系數3-DB-MPC仿真波形

圖12 無權重系數6-DB-MPC仿真波形

無權重系數3-DB-MPC和6-DB-MPC控制下，三相感應電機定子a相電流THD及0.08～8 s的轉矩脈動RMSE和磁鏈脈動RMSE如表4所示。

表4 無權重系數3-DB-MPC和6-DB-MPC控制性能對比

仿真結果表明：與上文傳統DB-MPC相比，提出的優化算法的控制性能基本相當，但將備選電壓矢量減少一半以上且無需轉矩預測，從而減小了計算負擔，同時無需權重系數設計與整定，簡化了控制算法。

與上文類似，經統計，0.08～8 s內，無權重系數3-DB-MPC控制選擇的最優電壓矢量占空比99.752%小于1，說明通過增加電壓矢量來優化轉矩脈動空間有限。無權重系數6-DB-MPC控制選擇的最優電壓矢量占空比99.998%小于1，輕微減小轉矩脈動，但有效減小磁鏈脈動和電流THD。

4 實時性驗證

為了驗證不同控制策略的實時性，基于 STM32F103單片機平臺對7-MPC、13-MPC、7-DB-MPC、13-DB-MPC、無權重系數3-DB-MPC和無權重系數6-DB-MPC 6種控制策略進行單步實時性驗證，其中測試用例參數如表5所示。

表5 測試用例參數

在表5所示的實時性測試輸入參數下，對以上6種控制策略進行單步運算循環10次。不同算法執行時間如表6所示，其中t1為轉矩DB控制計算理想占空比耗時，t2為電壓矢量修正耗時，t3為MPC計算耗時，t為算法總耗時，t=t1+t2+t3。

表6 算法計算耗時 ms

由表6可知：

(1) 與7-MPC相比，13-MPC增加6個備選電壓矢量，從而大幅增加算法耗時。

(2) 與7-MPC和13-MPC相比，7-DB-MPC和13-DB-MPC增加轉矩無差拍控制的理想占空比計算和電壓矢量修正耗時，但MPC耗時有所減少，總耗時基本相當。同樣由于增加6個備選電壓矢量，13-DB-MPC的計算耗時大幅增加。

(3) 與7-DB-MPC和13-DB-MPC相比，無權重系數3-DB-MPC和無權重系數6-DB-MPC的計算耗時大幅降低，分別減少了48.22%和47.67%，從而在保持控制性能不變的前提下，優化了實時性。

5 結 語

(1) 通過空間矢量調制將傳統MPC備選電壓矢量增加至13個，可降低轉矩脈動，但對磁鏈脈動和電流THD優化有限，同時大幅增加計算耗時。

(2) 與傳統MPC相比，DB-MPC可顯著減小轉矩脈動、磁鏈脈動和電流THD，計算耗時與傳統MPC基本相當。通過增加備選電壓矢量可進一步減小磁鏈脈動，但增加計算耗時。

(3) 本文提出的優化控制策略可將非零備選電壓矢量減少一半且省去零電壓矢量，成本函數無需轉矩預測和權重系數設計，控制性能與傳統MPC基本相當，計算耗時顯著減少。