基于傳遞矩陣法的變截面梁自振特性分析*

肖勇剛，李龍

(長沙理工大學 土木工程學院，湖南 長沙 410114)

有限元法是研究變截面梁動力特性的主流方法，但采用有限元法分析時必須建立系統的整體剛度矩陣和總體動力學方程，單元劃分精度也影響其計算結果，分析過程十分繁瑣且計算效率低下。有別于有限元法，傳遞矩陣法不需要系統總體動力學方程，且計算快速，已被廣泛應用于實際工程計算中。丁凱采用傳遞矩陣法研究了車輛作用下變截面簡支梁橋的動力特性；Fang Z.、Ellakany A.M.等將傳遞矩陣法應用于梁式結構的振動分析中；孫建鵬等提出了一種分析連續剛構橋彈塑性區域的傳遞矩陣法；劉進等利用結構有限元結合聲有限元及邊界元方法，建立了任意薄殼腔體彈性殼板振動與內外聲場的耦合模型，計算了激勵力與殼板振動和內部聲場之間的傳遞矩陣；胡齊笑等基于體積流連續原理，采用改進傳遞矩陣法，推導了多穿孔率復合微穿孔板吸聲系數公式，探討了多穿孔率對吸聲性能的影響；仇磊等建立加速度計的傳遞矩陣法力學模型，分析了基于柔性鉸鏈的FBG加速度計的力學傳遞關系和動態性能；鄧韜等采用傳遞矩陣法對夾心式換能器的固有頻率進行了分析；陳東陽等基于多體系統傳遞矩陣法建立舵系統動力學高效仿真模型，并與ANSYS軟件的仿真結果進行了對比分析。以上研究充分發展了傳遞矩陣法，為分析變截面梁的動力問題提供了思路，但仍存在一些問題。該文在傳統傳遞矩陣法的基礎上，結合龍格-庫塔法，提出變截面梁的節段單元傳遞矩陣和整體傳遞矩陣推導方法，考慮梁的邊界條件，建立變截面梁自振頻率特征方程，運用Wolfram Mathematic編程軟件求出固有頻率和振型，并以2個變截面梁和2個等截面梁為研究對象，采用文中方法與ANSYS計算前3階固有頻率和振型，驗證文中方法的正確性。

1 節段單元傳遞矩陣推導方法

以變截面簡支梁為例進行推導。建立變截面簡支梁求解模型(見圖1)，跨度為l。根據截面形式的不同，將其分為n段，每個節段編號依次為S1,S2,…,Si,Si+1,…,Sn，對應長度分別為l1,l2,…,li,li+1,…,ln。x1,x2,…,xi,xi+1,…,xn分別為節段S1,S2,…,Si,Si+1,…,Sn的右端到梁左端的距離。

圖1 變截面簡支梁求解模型

圖2 節段Si示意圖

M、Q分別為彎矩和剪力；ρ為材料密度；A(x)為結構的橫截面積；y″為梁的豎向位移

根據豎向平衡條件，有：

[Q(ξ,t)+ρA(ξ)y″dξ]-[Q(ξ,t)+

(1)

簡化式(1)，得：

(2)

根據材料力學基本原理，有：

(3)

(4)

(5)

式中：φ(ξ,t)為t時刻坐標ξ處的轉角。

假定變截面簡支梁橋在平衡位置作自由振動，有：

(6)

(7)

(8)

(9)

分別將式(6)～(9)代入式(5)～(2)，得：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

系數矩陣[u(ξ)]如下：

(15)

將ξ處的動力參數向量記為{zi(ξ)}，則節段Si左端的動力參數向量{zi(0)}為：

(16)

令[Ti(ξ)]為傳遞矩陣(特別地，Ti(0)為單位矩陣)，有：

{zi(ξ)}=[Ti(ξ)]{zi(0)}

(17)

將式(17)代入式(14)，得：

(18)

由式(18)可確定[Ti(ξ)]，代入式(17)，可求出{zi(ξ)}。由此，可建立節段Si內任意位置處動力參數與Si左端動力參數向量的關系。

下面采用四階龍格-庫塔法確定[Ti(ξ)]。在ξy坐標系下，將節段Si等分為n份，每等份的長度為h。ξ1,ξ2,…,ξj,ξj+1,…,ξn為每段右端處的橫坐標(見圖4)。令：

圖4 節段Si劃分示意圖

(19)

(20)

(21)

將式(21)代入式(18)，得：

(22)

結合式(18)～(20)，有：

(23)

式(18)可改寫為：

(24)

由式(23)、式(24)可得：

(25)

四階龍格-庫塔法的遞推公式為：

(26)

得：

(27)

(28)

(29)

(30)

2 整體傳遞矩陣推導及自振特性分析方法

由上述方法可確定節段任意位置傳遞矩陣的值，節段Si+1右端動力參數與節段Si左端動力參數之間的關系可用下式表示：

{zi+1(li+1)}=[Ti+1(li+1)][Ti(li)]{zi(0)}

(31)

以式(31)的形式遞推，可得到全橋右端與全橋左端動力參數之間的關系：

{zn(ln)}=[Tn(ln)]…[Ti(li)]…

[T1(l1)]{z1(0)}

(32)

令全橋整體傳遞矩陣[T]為：

[T]=[Tn(ln)]…[Ti(li)]…[T1(l1)]

(33)

將式(33)代入式(32)，得：

{zn(ln)}=[T]{z1(0)}

(34)

令：

[T]=[{t1}，{t2}，{t3}，{t4}]T

(35)

結合變截面梁的邊界條件，對于簡支梁，有：

(36)

對于其他類型梁，如懸臂梁、兩端固定梁等，根據相應邊界條件確定式(36)。

綜合式(35)、式(36)，得：

(37)

(38)

令：

(39)

則有：

(40)

(41)

令：

[H]=[{t1}，{t3}，{tt1}，{tt3}]T

(42)

則有：

[H]{z1(0)}=0

(43)

特征方程為：

|H|=0

(44)

運用Wolfram Mathematic編程軟件計算固有頻率ω，將其代入式(43)即可解得相應{z1(0)}。結合式(31)，代入{z1(0)}，即可求出簡支梁橋的對應階振型值。

3 算例分析

通過計算2個變截面梁(拱形簡支梁和兩端固定變截面梁)、2個等截面簡支梁的自振特性并與有限元軟件ANSYS分析結果對比驗證上述方法的正確性。計算模型見圖5～8。

圖5 拱形簡支梁計算模型(單位：m)

橋梁參數如下：材料密度ρ=2 400 kg/m3，彈性模量E=3.25×1010Pa，泊松比υ=0.3，橫截面均為矩形，梁的寬度b=0.3 m。拱形簡支梁、兩端固定變截面梁和等截面簡支梁A的跨度為l1=l2=l3=16 m，等截面簡支梁B的跨度l4=30 m，拱形簡支梁的圓弧半徑R=106.82 m。

圖6 兩端固定變截面梁計算模型(單位：m)

圖7 等截面簡支梁A計算模型(單位：m)

圖8 等截面簡支梁B計算模型(單位：m)

前3階固有頻率計算結果見表1～ 4。限于篇幅，只給出拱形簡支梁前3階振型圖(見圖9)。

由表1～4、圖9可知：采用文中方法計算的橋梁前3階固有頻率及振型結果整體上與ANSYS分析結果十分接近；運用文中方法計算等截面梁的精度高于變截面梁；橋梁跨度和形狀影響文中方法的精度(這與該方法的假定有關)，梁的跨度越小，該方法越精確。

表1 拱形簡支梁的前3階固有頻率計算結果

表2 兩端固定變截面梁的前3階固有頻率計算結果

表3 等截面簡支梁A的前3階固有頻率計算結果

表4 等截面簡支梁B的前3階固有頻率計算結果

圖9 拱形簡支梁的前3階振型

4 結語

在傳統傳遞矩陣法的基礎上，采用龍格-庫塔法，提出一種計算變截面梁自振特性的方法。該方法適用于所有變截面梁的固有頻率及振型計算，編程方便，求解快速，且不需要計算質量矩陣和剛度矩陣。與有限元法相比，可大大減少分析過程中矩陣相乘次數，提高計算精度，節省計算時間。該方法為發展傳遞矩陣法提供了一種新思路，具有一定的理論和工程實踐應用前景。