數(shù)值分析中埋置式波紋鋼板的剛度等效方法研究

付文強(qiáng)，符鋅砂，李百建，賀玉婷

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510641)

波紋鋼板以其力學(xué)性能好等優(yōu)點(diǎn)在公路工程和市政工程中得到廣泛應(yīng)用。這種結(jié)構(gòu)板是通過對基礎(chǔ)平鋼板進(jìn)行沖壓或滾壓成型制造而成的單向周期性波紋的結(jié)構(gòu)板殼，屬于構(gòu)造各向異性結(jié)構(gòu)板，其單胞結(jié)構(gòu)或典型微元是類似正弦波形的單周期波紋，經(jīng)平移陣列后形成具有波紋形狀的宏觀結(jié)構(gòu)板殼。由于結(jié)構(gòu)較大的三維尺寸和復(fù)雜的微元結(jié)構(gòu)，直接建立埋置式波紋鋼數(shù)值模型(如波紋鋼板與周圍填充材料的接觸分析模型、波紋鋼板斜向切割模型、大尺度波紋鋼橋梁三維模型等)較困難。

剛度等效是分析波紋鋼結(jié)構(gòu)的一種有效方法，可將構(gòu)造各向異性轉(zhuǎn)換為材料的各向異性，從而減少建模復(fù)雜度、布爾運(yùn)算失敗和計(jì)算結(jié)果不收斂的風(fēng)險(xiǎn)。研究發(fā)現(xiàn)，Seydel提出的波紋鋼板剛度近似表達(dá)式在使用過程中存在缺陷，當(dāng)板厚較大時(shí)，其第二主向剛度會小于平鋼板的抗彎剛度。為此，常福清等在Seydel公式的基礎(chǔ)上提出了修正的第二主向剛度表達(dá)式；馮巖從更廣泛的角度研究了凹凸板的剛度等效方法。上述剛度等效方法均以波紋鋼平板為研究對象，未考慮埋置式波紋鋼的實(shí)際波形，并不完全適用于埋置式波紋鋼結(jié)構(gòu)。李百建等基于材料力學(xué)基本理論提出了埋置式波紋鋼板的抗彎剛度計(jì)算方法，并進(jìn)一步提出了考慮軸向壓力作用的剛度等效方法，但忽略了泊松比的影響，不夠完善。該文在前人對波紋鋼平板剛度等效方法研究的基礎(chǔ)上，研究埋置式波紋鋼板的剛度等效方法及截面應(yīng)力換算方法，并通過數(shù)值分析進(jìn)行驗(yàn)證。

1 波紋鋼板剛度等效方法

1.1 主向剛度

如圖1所示，波紋鋼平板波形參數(shù)包括波紋鋼板半波長l、正弦曲線高度(1/2波高)f和板厚δ，正弦半波曲線弧長s=l[1+π2f2/(4l2)]，其形狀方程為z=fsin(πx/l)。

圖1 波紋鋼平板波形參數(shù)

鑒于Seydel的第二主向剛度近似公式存在缺陷，采用積分方法對其進(jìn)行修正，經(jīng)常福清等修正后的Seydel主向剛度表達(dá)式為：

(1)

式中：D1為波紋鋼板非波紋邊(x方向)的主向剛度；E為鋼材彈性模量；μ為鋼材泊松比；s為波紋曲線弧長；D2為波紋鋼板波紋邊(y方向)的主向剛度；D3為波紋鋼板抗扭剛度。

式(1)為正弦波形波紋鋼平板的主向剛度，適用于波紋鋼屋面板、夾芯板等小波紋維護(hù)構(gòu)件。而埋置式波紋鋼是大波形、板厚較大的承載板，其波形參數(shù)與正弦波稍有不同，包括波長2l、波高2f、波峰/波谷的曲率半徑R和半圓心角θ、波紋直線段長度TL、波峰/波谷圓心至截面中性軸(x軸)的距離d、板厚δ等(見圖2)，基于正弦波形積分得到的第二主向剛度表達(dá)式不適用于埋置式波紋鋼板。

圖2 埋置式波紋鋼波形參數(shù)

事實(shí)上，若已知波紋鋼的抗彎慣性矩，即可參照平板的抗彎剛度公式獲得埋置式波紋鋼板的第二主向剛度，其y方向抗彎慣性矩Ix為：

Ix={(R3δsin2θ+2R3δθ-8R2δdsinθ+

(2)

考慮泊松比效應(yīng)，得到修正后埋置式波紋鋼板第二主向剛度公式：

(3)

埋置式波紋鋼板的第一、第二主向剛度和抗扭剛度表達(dá)式可統(tǒng)一改寫為：

(4)

1.2 材料常數(shù)換算

數(shù)值分析中，為減少建模復(fù)雜度、增加建模成功率，將構(gòu)造正交異性的埋置式波紋鋼板等效為材料正交異性的平鋼板，將式(4)中的主向剛度換算成材料常數(shù)輸入模型材料參數(shù)中。通常用到的5個(gè)基本參數(shù)為E1、E2、G、μ1和μ2，換算公式如下：

(5)

式中：E1、E2分別為等效后波紋鋼板非波紋邊(x方向)、波紋邊(y方向)的彈性模量；μ1、μ2分別為等效后波紋鋼板非波紋邊(x方向)、波紋邊(y方向)的泊松比；t為等效后平鋼板厚度；G為等效后波紋鋼板的剪切模量；Dk為等效后平鋼板的抗扭剛度。

其中Dk、μ1和μ2滿足如下關(guān)系：

(6)

(7)

具體應(yīng)用時(shí)，通常按照第二主向剛度相等的原則將埋置式波紋鋼板等效為板厚t=(12Ix)1/3的平板，并假設(shè)μ2=μ，然后根據(jù)式(5)～(7)計(jì)算其他材料常數(shù)。

1.3 應(yīng)力換算

埋置式波紋鋼板為壓彎構(gòu)件，截面應(yīng)力不僅包含軸向應(yīng)力，還包含彎曲應(yīng)力。而等效為平板后的截面面積A、截面高度t均與原波紋鋼板的截面面積A0、波高2f不相等，需對等效平板的截面應(yīng)力進(jìn)行換算獲得原波紋鋼板的截面應(yīng)力。換算公式為：

(8)

式中：σt為波紋板波峰應(yīng)力；σ、σ1、σ2分別為等效平板的軸向應(yīng)力、頂部應(yīng)力和底部應(yīng)力；t為等效平板厚度；σb為波紋板波谷應(yīng)力；σ0為波紋鋼板的軸向應(yīng)力。

波紋鋼板第二主向(y方向)上的軸力N與彎矩M可表示為：

(9)

2 數(shù)值分析

2.1 算例

為驗(yàn)證剛度等效方法與應(yīng)力換算方法的正確性，選擇一座跨徑為6 m、填土高為1 m、總高為4 m、橋?qū)挒? m的波紋鋼半圓形拱橋作為數(shù)值分析算例，波紋尺寸為200 mm×55 mm×5 mm，拱頂上部距離端墻1 m、3 m處分別作用集中荷載F=3 000 kN(見圖3)。

圖3 數(shù)值算例模型尺寸(單位：m)

2.2 數(shù)值模型

建立以下4種數(shù)值分析模型(見圖4)來驗(yàn)證剛度等效方法并探索建模方法：1) 考慮實(shí)際波紋的波紋鋼殼模型(CSP)；2) 采用剛度等效方法建立的等效平板殼模型(Shell)；3) 采用剛度等效方法建立的等效平板實(shí)體單元模型(Solid)；4) 采用剛度等效方法建立的等效平板梁單元二維平面模型(Beam)。

圖4 數(shù)值分析模型

數(shù)值分析模型僅用來驗(yàn)證剛度等效方法和應(yīng)力換算方法的分析精度及一般規(guī)律，不考慮材料層間接觸及土體非線性本構(gòu)關(guān)系，按彈性體進(jìn)行分析。模型長×寬×高為18 m×9 m×4 m。模型左右兩側(cè)約束水平方向位移，端面約束前后方向位移，底面約束所有線位移。波紋鋼板的容重為78.5 kN/m3，彈性模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3，按彈性材料分析，不設(shè)強(qiáng)度上限；土體容重為20 kN/m3，彈性模量為100 MPa，泊松比為0.2。

200 mm×55 mm×5 mm波形的直線段長度TL為36.95 mm，波峰/波谷的曲率半徑R為53 mm，半圓心角θ為44°，按式(2)計(jì)算，得y方向抗彎慣性矩Ix=2 288.8 mm4/mm。按式(5)～(7)換算等效正交異性平板的材料參數(shù)，結(jié)果如下：E1=0.955 5×109Pa；E2=209.95×109Pa；G=0.293×109Pa；μ1=0.001 35；μ2=0.3。

殼單元和實(shí)體單元需輸入的參數(shù)共9個(gè)，分別為3個(gè)主向的彈性模量、泊松比和剪切模量，而前文換算得到的只有5個(gè)參數(shù)，需根據(jù)實(shí)際建模方式、單元坐標(biāo)系與建模采用坐標(biāo)系的關(guān)系來輸入其他參數(shù)。例如：實(shí)體單元的單元坐標(biāo)系總是和整體坐標(biāo)系一致，在該算例拱頂位置xoy平面承受拉壓應(yīng)力，在拱腳位置xoz平面承受拉壓應(yīng)力，故應(yīng)將Ey=Ez=E2、Ex=E1、PRXY=μ1、PRYZ=μ2、PRXZ=μ1、GXY=G、GYZ=0.5Ey/(1+μ2)、GXZ=G輸入材料屬性中，并滿足材料參數(shù)關(guān)系方程[見式(10)]。事實(shí)上，其等效平板后的泊松比對結(jié)果的影響可忽略不計(jì)，可按照鋼材的泊松比進(jìn)行輸入，但要滿足關(guān)系方程。

(10)

采用三維模型時(shí)，可按實(shí)際情況對模型施加荷載。二維平面模型所加荷載應(yīng)根據(jù)波紋鋼橋梁計(jì)算位置進(jìn)行換算，因?yàn)檐囕v荷載的擴(kuò)散存在空間效應(yīng)，為使平面模型產(chǎn)生的荷載效應(yīng)與三維模型最大荷載效應(yīng)相當(dāng)，對荷載進(jìn)行折減。如圖5所示，三維模型頂部作用的荷載會沿著橋梁橫向擴(kuò)散，任意埋深h處的荷載擴(kuò)散長度為2htanθ，求解任意埋深處波紋鋼截面應(yīng)力時(shí)，將荷載除以擴(kuò)散長度后施加于模型上。該算例分析中假設(shè)荷載擴(kuò)散角為45°(彈性體)，計(jì)算截面為波紋鋼拱頂(ht=1 m)，輸入荷載為1 500 kN。

圖5 荷載等效示意圖

2.3 結(jié)果分析

數(shù)值分析模型變形計(jì)算結(jié)果見圖6。剛度相等、約束條件相同、荷載相同的結(jié)構(gòu)應(yīng)具有相同的變形。從圖6可看出：4種模型的總位移相近，說明采用剛度等效方法建立的模型能很好地相互表達(dá)，并能精確分析埋置式波紋鋼板的變形情況。

圖6 數(shù)值分析模型變形云圖(單位：m)

應(yīng)力分析則不能直接通過應(yīng)力云圖來對比，因?yàn)?種模型的截面參數(shù)不相同，即使具有相同的剛度，其截面應(yīng)力分布也不相同，需將應(yīng)力根據(jù)式(8)、式(9)進(jìn)行換算，實(shí)現(xiàn)不同模型之間的相互表達(dá)。不同模型計(jì)算結(jié)果對比見表1～3。

從表1～3可看出：3種等效模型的最大位移與波紋鋼殼模型最大位移的誤差均不超過±10%，其中等效平板殼單元模型最接近波紋鋼模型，其次為肩位置，等效平板實(shí)體單元模型、等效平板殼單元模型、平面梁模型計(jì)算的軸力和彎矩與波紋鋼殼模型軸力、彎矩之比分別為2.61和1.49、2.06和0.95、1.26和1.82；在拱腳位置，等效平板實(shí)體單元模型、等效平板殼單元模型、平面梁模型計(jì)算的軸力和彎矩與波紋鋼殼模型軸力、彎矩之比分別為1.89和0.73、1.34和1.92、1.03和1.78。說明采用剛度等效方法能很好地分析外荷載作用下波紋鋼拱頂位移與內(nèi)力，而拱肩與拱腳處的等效結(jié)果相差較大，最大相差2.61倍。這是因?yàn)閯偠鹊刃е会槍τ诓y鋼平面外抗彎剛度而言(即彎曲剛度等效，荷載作用下產(chǎn)生的豎向變形和彎曲應(yīng)力計(jì)算結(jié)果較精確)，并未考慮柔性的波紋鋼結(jié)構(gòu)與土體相互作用產(chǎn)生的軸力，該軸力與波紋鋼與土體的拉壓剛度有關(guān)，剛度等效中未考慮波紋鋼截面的拉壓剛度等效，因此不能獲得足夠精確的軸力計(jì)算結(jié)果。

表1 不同模型各截面計(jì)算結(jié)果

等效平板實(shí)體單元模型，再次為平面梁模型。在拱頂位置，等效平板實(shí)體單元模型計(jì)算的軸力和彎矩與波紋鋼殼模型軸力、彎矩的誤差不超過±10%，其次為等效平板殼單元模型，再次為平面梁模型；在拱梁單元對拱頂?shù)哪M精度較差，主要是因?yàn)楹奢d等效換算較復(fù)雜，即計(jì)算波紋鋼不同截面的內(nèi)力需根據(jù)不同埋深將荷載按線性關(guān)系進(jìn)行折減，一個(gè)截面對應(yīng)一個(gè)等效荷載。例如：計(jì)算拱頂內(nèi)力時(shí)的等效荷載采用頂面埋深ht，計(jì)算拱腳內(nèi)力時(shí)則采用底面埋深hb，但當(dāng)計(jì)算截面埋深超過3 m時(shí)，可不考慮荷載等效，因?yàn)榇藭r(shí)活載對波紋鋼產(chǎn)生的荷載作用可忽略，即僅考慮拱頂位置的荷載等效而無需考慮其他位置。此外，荷載擴(kuò)散角度因填筑材料的特性而改變，如鋼筋混凝土的擴(kuò)散角為45°、素混凝土的擴(kuò)散角為30°等，需根據(jù)填筑的實(shí)際材料特性來確定荷載擴(kuò)散角，這在活載影響深度范圍內(nèi)的波紋鋼截面內(nèi)力計(jì)算中至關(guān)重要。

表2 不同模型各截面內(nèi)力換算結(jié)果

表3 等效模型計(jì)算結(jié)果與波紋鋼殼模型計(jì)算結(jié)果對比

3 結(jié)論

基于剛度等效原理提出埋置式波紋鋼板的剛度等效方法，并建立4種數(shù)值分析模型對剛度等效方法進(jìn)行驗(yàn)證，得到以下主要結(jié)論：

(1) 式(2)～(7)所示埋置式波紋鋼板抗彎剛度計(jì)算方法及正交異性材料參數(shù)換算方法可行。

(2) 采用剛度等效方法建立殼單元和實(shí)體的三維數(shù)值模型均可很好地模擬波紋鋼拱頂位置在外荷載作用下產(chǎn)生的變形與內(nèi)力，與波紋鋼殼模型計(jì)算結(jié)果的誤差不超過±10%，不同模型的分析結(jié)果可根據(jù)式(8)、式(9)相互換算。

(3) 采用剛度等效方法分析波紋鋼拱腳和拱肩位置的軸力與彎矩精度稍差，與波紋鋼殼模型計(jì)算結(jié)果的比值為0.73～2.61。

由于剛度等效僅考慮了波紋鋼板抗彎剛度的等效，采用剛度等效方法能較準(zhǔn)確地獲得埋置式波紋鋼板拱頂?shù)奈灰婆c彎曲應(yīng)力。但埋置式波紋鋼結(jié)構(gòu)會與土體發(fā)生相互作用產(chǎn)生軸力，還應(yīng)進(jìn)一步研究與土體-波紋鋼相互作用有關(guān)的其他剛度等效。