基于ARIMA 模型的美元匯率預測

蔣 奇，劉永文

（貴州大學經濟學院，貴陽 550025）

匯率的預測準確度對外匯的持有者、依賴進出口貿易的企業、個人和企業的外匯交易行為等都有很大的影響。在科技不斷發展、統計分析技術不斷提高的背景下，時間序列模型被廣泛應用于經濟領域中。基于時間序列模型，在短期內可以很好擬合真實值，因此時間序列模型經常被用來預測短期的數據走勢。

一、模型的理論

（一）AR（p）模型

如果一個時間序列{X}的當前值與過去p 個時刻的序列值之間的關系是線性的，即可以用過去p個時刻的序列值來表示，則稱這個線性過程為{X}的p 階自回歸方程用AR（p）表示。AR（p）模型的一般形式為：

其中，φ 為自回歸系數，p 為階數，ε為白噪聲序列，滿足零期望E（ε）=0，同方差Var（ε）=σε，且無自相關Cov（ε，ε）=0，t≠s。

與自回歸模型常聯系在一起的是平穩性問題，自回歸的特征方程為：

如果特征方程的所有根的絕對值都大于1，則AR（p）是一個平穩的隨機過程。由此，p 階自回歸序列的平穩性條件為：

（二）MA（q）模型

如果序列{X}的當前值可以用現在干擾值和過去q階干擾值線性表示，則稱為q 階移動平均過程MA（q）模型。MA（q）模型的一般形式為：

其中，θ 為回歸系數，{ε}為白噪聲序列。

MA（q）的特征方程為：

如果這個特征方程的全部根絕對值都大于1，即|z|＞1，這個條件成為移動平均過程的可逆性條件。

（三）ARIMA 模型

ARIMA 模型又稱自回歸積分移動平均模型，當時間序列本身不是平穩的時，考慮其差分ΔX=X-X=（1-L）X，可以將{X}看成是平穩的序列。

ARIMA（p，d，q）模型表示為：

以上模型就是最簡單的ARIMA 模型，可視為經過d 階差分后再把AR（p）和MA（q）兩個模型綜合而成。

二、實證分析

本文數據均選自于國家外匯管理局2020 年8 月20 日至2020 年12 月31 日的91 個日數據。

（一）平穩性檢驗

首先，我們對原序列進行ADF 檢驗，結果如表1。可以看出，原時間序列的t 統計量均大于1%、5%、10%水平下的臨界值，因此，原時間序列為不平穩序列。

表1 原時間序列ADF檢驗結果

ARIMA 模型要求時間序列必須為平穩的時間序列，我們要運用差分的方法對原始數據進行處理。依然對差分后的序列進行ADF 檢驗，結果如表2。可以看出，差分后的時間序列的t 統計量均小于1%、5%、10%水平下的臨界值，因此，差分后的時間序列為平穩序列。

表2 差分后時間序列的ADF結果

（二）模型識別

原數列經過一階差分后，變成了平穩的時間序列，我們運用python 畫出一階差分序列的自相關圖和偏自相關圖（見圖1）。

圖1 自相關圖（上）和偏自相關圖（下）

具體的階數我們要運用AIC 準則。我們必須知道，自由參數的種類越多，模型擬合的質量就會越優；AIC既要充分考慮到數據擬合的質量優劣性，又必須要有效地避免過分擬合。因而首先選擇的模型必須是AIC值最小的。

本文使用python 中的pmdarima 庫中auto_arima函數，由函數自動為我們推薦最優的預測模型。我們可以從表3 得出，AIC 值最低的是模型ARIMA（2，1，2），因此最好的模型為ARIMA（2，1，2）。

表3 模型階數和對應的AIC值

運用ARIMA（2，1，2）模型進行參數估計，分別得出了自回歸系數和移動平均系數（見表4）。

表4 參數估計結果

由表3 可以看出，常數項的p 值為0.018，在5%的水平下顯著；AR（1）、AR（2）、MA（1）、MA（2）對應的p值均為0，均為顯著性變量。因此我們建立的模型為：

（三）殘差檢驗

模型建立好后，需要進行殘差相關性和擬合性檢驗，結果如圖2。

由圖2 可知，殘差分布接近于正態分布，Q 檢驗接近于對角線，說明我們選取的模型擬合的較好，可以進行預測。

圖2 殘差直方密度分布（上）和殘差Q檢驗（下）

如圖3 所示，對時間序列的LB 檢驗可知，p 值均在0.05 以上，因此時間序列為白噪聲序列。

（四）結果預測

使用ARIMA（2，1，2）模型對2020 年12 月18 日至12 月31 日的匯率進行預測，結果如表5。

表5 模型預測結果

由表5 可以看出，模型預測值與實際值的誤差均在1%以內，說明我們的模型擬合比較準確；再者，我們從表4 中可以看出，盡管誤差均在1%以內，但是前五個工作日的誤差均值為0.569%，后五個工作日的誤差均值為0.758%，說明ARIMA 模型短期內預測誤差偏小、長期預測誤差偏大。

圖3 LB檢驗

結語

時間序列模型是根據歷史數據的波動特征來預測未來趨勢的一種方法，這種方法要求數據必須是平穩的，對不平穩的數據可以采用差分或者對數差分來使數據平穩化。時間序列模型在金融領域上的應用十分廣泛，這得益于它更加簡便快捷，不需要太多的變量來刻畫原始數據的特征。建模過程中，p 和q 的階數是至關重要的，它們直接決定著最后預測的準確性。利用python中的pmdarima 庫中auto_arima 函數就可以避免產生這個問題。auto_arima 函數可以直接給你提供最適合的階數，本文的結論也驗證了auto_arima 函數推薦的模型預測很準確。用時間序列模型對匯率進行短期預測，有利于進出口企業的貿易開展，也能為國際投資者提供投資依據。