數學建模案例融入線性代數教學的探索

李燕娟 王芬琴

蘭州博文科技學院 甘肅蘭州 730101

1 概述

線性代數課程是理工類專業必修的一門專業基礎課，它在工程技術等領域有著廣泛的應用，并且在培養學生邏輯思維能力方面起著非常重要的作用。但是線性代數教學目前仍然存在以下問題：第一，著重理論教學，晦澀難懂，導致學生學習主動性不強；第二，與實際問題聯系較少，不利于學生數學應用能力的培養。因此，線性代數教學改革迫在眉睫。

數學建模是根據實際問題用數學語言轉換為數學問題，進而分析問題，建立模型，然后運用數學知識對模型求解，最后根據計算結果來解決實際問題的過程[1]。線性代數中有許多概念抽象難懂，學生聽得云里霧中，掌握不牢固，更是覺得學習相關知識沒有什么用。所以，在講解概念的過程中引入數學模型，有助于對概念的深入理解，起到事半功倍的作用[2]。將數學建模思想融入線性代數教學過程中，理論聯系實際，不僅活躍課堂氣氛，調動學生學習積極性，而且利用數學模型，變抽象為具體，有利于培養學生的數學應用能力。下面通過引入數學模型來詮釋線性代數中矩陣的定義、矩陣相乘、矩陣的逆等知識點。

2 數學建模案例研究

例1[3]：某航空公司在A、B、C、D共4個城市之間開通若干條航線，這4個城市間的航班通行情況如下圖所示。若有航班通行用“1”表示，無航班通行用“0”表示，則根據這4個城市之間的通行情況建立如下表1。問題：中轉一次可以使C城市和D城市之間通航嗎？

表1

分析：用圖表示通行情況存在一定的弊端，比如當城市無限增多時，圖形看起來很復雜。而換用表格表示，則只需增加相應行和列即可，此時恰好引入矩陣的概念，并利用表格說明矩陣的特點，矩陣是個數表，而且數表里面的元素不能隨意變換位置。例1用矩陣就可以表示為:

解：城市ABCD用數字1234表示，矩陣F中的元素fij等于1表示兩個城市之間可以通航，等于0表示兩個城市之間不能通航。則圖或者表格可以表示為矩陣F，下面求中轉一次兩個城市之間的通行情況:

矩陣G中的元素gij表示從城市i到城市j中轉一次的路線條數，b34=0表示從城市C到城市D中轉一次不能通航；b43=1表示從城市D到城市C中轉一次只有1條路線，D→A→C。

例2：線性代數課程的綜合成績是由考勤、提問、作業和末考構成的，分別占比10%、10%、20%和60%。已知甲、乙、丙、丁四名同學考勤、提問、作業、末考成績如下表2所示，問題：四名同學成績從高到低的順序是什么？

表2

分析：將甲、乙、丙、丁四名同學的每項成績乘以相應比例可得綜合成績，可以寫出兩個矩陣，第一個矩陣行表示四名同學，列表示各項成績，第二個矩陣只有一列表示各項成績占比，最后再相乘。

解：由題意可設以下兩個矩陣:

由矩陣相乘可得:

C即為四名同學的綜合成績，從結果易得：第一名是甲，第二名是乙和丙，第三名是丁。

計算過程可借助Matlab軟件，編寫程序：

A=[100 90 90 82；100 95 95 78；85 90 90 83；90 90 80 85]；

B=[0.1；0.1；0.2；0.6]；

C=A*B

按Enter鍵，就可得結果為:

C=

86.2000

85.3000

85.3000

85.0000

從這個例題可以看出，末考成績第一名其綜合成績并不是第一名，末考成績最后一名其綜合成績是第二名，此時教育學生不要只為考試而學習，要注重平時學習的重要性，學習是持續性的，不是一蹴而就的。

例3：為確保傳遞信息的保密性，往往會對傳輸信息進行加密再解密，可得知傳遞的原信息。例如，若要傳遞信息stop，我們可采取26個英文字母與數字對應的加密法。假設26個英文字母與數字之間建立一一對應關系

分析：已知C=AB，求B，首先求A-1，再求B=A-1C，根據字母與數字的對應關系，就可以知道原傳輸信息內容。

解：根據伴隨方陣法或者初等變換法求A-1，

方法一：伴隨方陣法

A11=0，A21=1，A31=-1，A41=0，A12=1，A22=-2，A32=3，A42=-2，A13=0，A23=1，A33=-2，A43=1，A14=-1，A24=0，A34=-1，A44=1，

方法二：初等變換法

所以:

根據字母與數字的對應關系，7，15，15，4對應的字母為g，o，o，d，可得原傳輸信息為good，以上為解密過程。

利用Matlab軟件可求A-1和B，程序為：

A=[1 0 -1 1；0 1 1 1；1 1 1 1；2 1 0 1]；

inv(A)

ans=

B=[0 -1 1 0；-1 2 -3 2；0 -1 2 -1；1 0 1 -1]*[-4；34；41；33]

B=

結語

在線性代數教學過程中融入數學建模案例，使知識變得直觀化、具體化，通過實際問題和數學聯系起來，使學生更容易接受新知識，將實際問題轉換為數學問題來解決，從而提高學生分析問題、解決問題的能力。在數學建模案例選取過程中，需要注意以下幾點：(1)根據學生的接受能力選取適當的案例，不易太難。(2)根據學生的專業選取合適的案例，使學生能夠將數學知識融入專業知識中，使后續的專業課學習更加得心應手。那么，如何有效地將數學建模思想融入線性代數課程的教學過程中，這是一個長期的、需要不斷探索的、潛移默化的過程。因此，應逐步將數學建模與線性代數教學有機結合，將學與用有機結合，將專業基礎知識教育與培養學生綜合素質、創新能力、應用能力有機結合[4]，這對培養應用型人才具有很大的促進作用。