指向核心素養培養的數學學科隱形教育價值的挖掘與實現

吉智深

（南通師范高等專科學校，江蘇 南通 226010）

學生數學核心素養的培養應該關注數學學科的教育價值，數學教育的價值不僅僅培養學生的理性精神，學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界［1］，它應該承載更多的必備品格的培養，如責任的擔當、品格的塑造和精神的提升，這些必備品格的生成離不開數學隱形教育價值的挖掘這一路徑。下面就以小學數學學科為例，談談如何在數學學科隱形教育價值的挖掘與實現中培養學生的數學學科核心素養。

一、問題背景與社會責任的培養

問題解決是數學學科重要的內容之一，問題的出現把“知識內容”轉化成“學習任務”，激起學生的好奇心與求知欲，吸引學生主動學習過程，學會用數學的眼光觀察、思考與表達世界。其實，問題背景的隱形教育價值也是問題解決教學有機組成部分。

偌丁斯在《學會關心：教育的另一種模式（第二版）》一書中的引言指出：“學生應該有機會在學校學會關心，關心自我，關心他人，關心自然與物質世界，關心知識。”［2］數學教育有責任教導學生學會關心，即使教材編寫不當時，教師也要指出其中存在的問題，培養學生關心植物、動物和他人的責任。蘇教版小學教材一年級下冊有這樣一幅插圖：

這樣的編寫沒有問題，但是問題背景中那么多樹都被砍了，小猴的家園都沒有了，它肯定不會像插圖中那樣高興。在特別強調保護生態、維護生物多樣性的今天，作為教師必須指出，不能破壞環境，因為那是猴子等動物的家園。

同樣在這一冊的第二幅插圖，它與第一幅插圖類似，問題的背景是讓學生過獨木橋，可插圖中學生要走的是圓木橋，這樣的背景對于一年級的小朋友來說，很顯然是不合適的，是有危險的。教師可以在教學時指出，提醒小學生遇到這種情況，首先自己不能走過去，這是對自己的關心，同時自己也要提醒其他同學不能走這樣的橋，這是對他人的關心。

當然，教材中此類不妥的問題背景不多，遇到以后這類情況也不用回避，而是通過簡單的反問，提醒小學生什么事應該做、應該怎樣做，什么事不能做，為什么不能做。當然也希望教材編寫者關注學生社會責任的培養，把“生態保護”“節約用水”“沙漠治理”和“節能減排”等作為問題的背景，充分利用問題的背景培養學生的社會責任，這是教材的社會責任。教師在課堂教學中要用好問題的背景，并且能夠根據社會發展中的熱點事件設計一些好的問題背景，通過質疑、提問和追問等形式，讓社會責任感的種子播撒在小學生幼小的心田。

二、學習過程與必備品格的塑造

學習過程不僅是解決問題、獲取知識和掌握方法的過程，也是學生全面健康發展中必備品格的塑造過程。

1.知識學習要培養學生敢于懷疑、獨立思考的思維習慣

敢于懷疑，就是不迷信課本，不迷信教師，不迷信權威，敢于懷疑一切可疑之事。事實上，數學學習過程常常讓學生對教材里的知識和方法產生一些僵化的看法，如認為教材所給的方法最好和老師說的都是正確等。學生有這種認識源于教師對教材的認識與理解，我們習慣于日常所見，往往從來不懷疑教材編寫的合理性與科學性，也不去問教材幾個為什么。事實上，教材的編寫有時也不是那樣完美，就像本文前面所指出的那兩幅插圖，教師在這方面要做好示范作用，要勇于挑戰教材的權威，引導學生對教材的編寫、對知識的產生與關聯和問題解決的策略多問幾個為什么。如小數與分數有著緊密的聯系，為什么他們的乘除法法則又不同？教材在推導梯形面積公式時，所給的梯形的上底、下底和高都是整數，如果它們都是小數行不行？在教學解決問題的策略“從條件想起”，是不是說明“問題”就可以不考慮？……

要學生敢于懷疑，就必須首先讓他們做到獨立思考，不盲從于教材與教師，對任何事情都要有主見、不人云亦云。富蘭克林曾指出“讀書可以充實，但唯有思考，才能深邃。”學生發現問題需要獨立思考，解決問題需要獨立思考，悟出數學的基本思想與思維方式更需要獨立思考。數學教學中的概念學習、技能掌握、數學思考和問題解決等為學生獨立思考提供一個很好的機會與舞臺，教師應該利用好這些機會，可事實上，我們有時在這方面做得不夠好，在遇到問題后，教師就直接讓學生小組合作交流，學生想都沒有想好，哪有什么想法可以交流啊！即使有，學生探討的深度也不高。所以建議在小組合作交流前，讓每一位學生的心都靜下來，留點時間與機會，讓學生仔細想一想，這樣才能保證小組合作交流的深度與質量。

教師要從學生長遠發展和社會需求這一高度看待敢于懷疑，獨立思考的這一思維習慣，當今社會飛速發展，社會需要學校培養創造性人才，而敢于質疑與獨立思考是培養創造性人才的基本條件。教師要把培養學生質疑能力與獨立思考的習慣貫穿于教育教學的始終，多留時間和空間給學生，不要過早給問題下結論，而是鼓勵學生提出問題、發表自己不同的見解；對學生那些稀奇古怪的想法不要一棍子打死，而是認真聽取想法后，再下結論；對那些自己一時都解決不了的問題，教師不要搪塞、不要不懂裝懂，以質疑與研究的精神與學生一起探討，以身作則，做好表率。

2.問題解決能培養學生堅持不懈、解決問題的意志品格

“一直以來，學生認知能力的培養都是教育界關注的重點，而隨著實踐和研究的逐漸深入，人們開始認識到非認知因素，特別是意志力，將會對教育的成敗起到至關重要的作用。”［3］鑒于此，我國的數學課程標準在“問題解決”目標提出“……，鍛煉克服苦難的意志，建立自信心”［4］。美國州際數學課程標準則把“理解問題并能堅持不懈地解決問題”［5］作為數學實踐標準的第一位。為什么中美兩國的數學課程標準都把鍛煉與培養意志力作為課程目標之一，而且都提出通過問題解決來培養學生的意志力呢？這是因為問題解決不僅要求學生學會分析問題的已知條件、隱藏條件、數量關系和目標等，而且可能不能一下子找到問題解決的途徑，要不斷評估與調整，問題有了解答后，還要使用不同的方法對結果進行檢驗，并不斷追問自己“這一解答合理嗎？有沒有更好的、一般性的方法解決此類問題……”。在解決問題的過程中，學生會面對不少困難與挑戰，如果能夠克服這些困難解決了問題，那么就會促進學生意志力的發展。如何在問題解決過程中培養與鍛煉學生的意志力：一方面，教師應該讓每一位學生感受到較強的歸屬感，看到自己受到集體每一位成員公平對待與尊重；另一方面，教師提出挑戰性的問題，鼓勵學生在堅持不懈地解決問題中促進意志力的發展。

如有這樣一個問題（如圖1 所示）：一個正方形ABCD 的邊長為100 米，甲從A 點出發，以每分鐘55 米的速度逆時針行走，乙從A 點出發，以每分鐘45 米的速度順時針行走，問多長時間后，他們在A點相遇？

圖1

我們如何找到問題的突破口呢？甲乙相遇點有沒有什么規律？我們不妨畫出示意圖，把第一次相遇點、第二次相遇點、第三次相遇點……在正方形的邊上標出（如圖2），這樣的方法比較煩，要鼓勵學生不怕麻煩，找到相遇點的變換規律就能解決該問題。

圖2

能不能有簡單的方法呢？在找相遇點的過程中，我們可以發現第一次相遇，需要4 分鐘，乙走了180米，相遇點在CD 邊上；第二次相遇，還需要4分鐘，乙走了180×2 米，相遇點在AB 邊上，由此推斷出，相遇點在A，乙走的路程應該是400的倍數，180的幾倍是400 的倍數呢？嘗試得到180 的20 倍是3600，是400的倍數，就是第20次相遇在A 點，這個結果合理嗎？再檢驗一下甲的情況，甲20 次相遇，花了80分鐘，甲80分鐘走了4400米，也是400的倍數，也就是說此時甲也在A 點，合理。

當然，學生在解決問題過程中可能面臨的困難，教師在必要時給予適當的幫助與指點，鼓勵他們樹立克服困難的決心和信心，進而促進學生意志力的發展

3.合作交流可促進學生學會共處，培養良好的社會情緒

1996年《德洛爾報告》提出了具有影響力的學習的四大支柱，即學會求知、學會做事、學會做人和學會共處，“由于當前的社會挑戰，學習的四大支柱正面臨嚴重的威脅，特別是‘學會做人’和‘學會共處’這兩大支柱”［6］。著名教育學家顧明遠也指出：“人類學習是一種集體的社會活動，兒童學習也需要在集體中進行。”［7］在學習共同體中，學生可以通過合作交流等活動，培養自己積極的心態，對自己有一個清醒的認識，能正確認識自己的價值；同時尊重他人，學會共處，在交流中學習他人的優點，提高學習的效能，也意識到在集體中學習能夠互相啟發，促進思考，共同受益。世界各國都非常重視培養學生的社會情緒，聯合國教科文組織把它作為學生應有的核心素養，良好的社會情緒能力要從小培養。

合作交流中如何培養學生的社會情緒能力？第一在合作交流要學會傾聽。傾聽是尊重他人表現之一，傾聽不僅包括教師要學會傾聽，傾聽學生的思想、認識以及一個探究過程，而且包括學生的傾聽，傾聽老師的意見與指導，傾聽其他同學的想法，發展自己解決問題的能力，由此，教師和同學們組成一個“學習共同體”，傾聽讓這個學習共同體的每一位成員都成為如饑似渴的學習者，并且彼此欣賞、彼此促進、彼此成就。第二在合作交流要學會自重。自重，就是一種自知之明，對自己有正確的認識，遇人遇事不卑不亢，在合作交流過程中坦誠發表自己的想法，不自負，不高估自己，也不低估自己。第三在合作交流要學會自畏。自畏，就是對自己的言行要有敬畏之心，在合作交流過程中，逐漸培養學生評估自己的行為和決定之后果的能力。第四在合作交流要學會謙虛。虛心的人，心胸開闊，待人和藹，不僅自己善于聽取他人的意見，也知道尊重別人，這樣的人不僅知道何時該向他人求助，而且總會得到他人的全力幫助。

三、學科文化與數學精神的熏陶

數學教育隱形價值的挖掘不是對知識本身的深度挖掘，把數學講得很難，而是要挖掘學科文化蘊含的育人要素或思想，用數學學科文化中的數學精神滋養學生、熏陶學生。那么，數學精神是如何浸潤著人的思想和心靈，影響著人的言行、思維方式、處事方式和價值觀念呢？

1.引導學生確立對真理的信仰

數學學科以“求真”作為指導思想，數學從來都沒有停止過對真理的追求。《幾何原本》是數學追求真理的開端，歐幾里得從大量現實中提煉出了若干個被稱為公理、公設的真理，由這些真理出發演繹出約500個定理。一些看似不言而喻的結論，《幾何原本》都從公理出發給予嚴格的證明，如命題15“對頂角相等”的證明。從幾何公理系統到自然數公理系統，再到集合論公理系統，我們看到了數學對真理的追求，看到了這些真理及其延拓培育了人類的科學精神。

數學猜想在沒有被證明之前只能稱作“猜想”，被證明正確以后才能稱為“定理”，數學這種求真精神將引導學生公正而客觀評價與看待一切人與事，不迷信經驗，不輕信他人，堅持“實踐是檢驗真理的標準”的行動準則，在數學中實踐就是數學證明。

小學數學中的結論或規律大多數是由不完全歸納推理得到的，但是我們知道有不完全歸納法得到的結論不一定正確，只能稱為“猜想”，教材和教師在教學中強調用驗證的方法與檢驗結論的正確性，從“求真”的角度看，這是不夠的，還要引導學生通過不同方式來說明或驗證規律的正確性，也就是強調“說理”，就像乘法分配律的教學，得到猜想以后，應該引導學生從面積以及乘法的意義的角度來檢驗乘法分配律的正確性。

課程改革強調要充分發揮歸納推理在數學教學中的作用，這無可厚非，但有時過分強調歸納推理而忽視邏輯推理，也會讓學生對真理的評判標準產生誤解。“在未來的數學課程中增加代數邏輯和增加幾何直觀的內容是非常必要的。”［8］史寧中教授《小學數學中的度量》一文中強調在代數部分增加兩個基本事實。（1）關系的傳遞性：a ≥b,b ≥c ?a ≥c。（2）運算的傳遞性：a ≥b ?a+c ≥b+c。在幾何直觀增加一個基本事實：兩點之間，線段最短。基本事實的存在為代數推理和幾何證明打開了一扇窗，透過這扇窗，學生看到數學為追求真理所做的努力與貢獻。有了這些基本事實，我們不要再用不同長度的小棒去驗證三角形兩邊之和大于第三邊這一規律，也可以證明兩個整數相除等于一個整數乘以另一個整數的倒數，分數除法如此，小數除法也如此。

2.引導學生養成良好規則意識

規則意識是指發自內心的，以規則作為自己行動準繩的意識。無論何時、何地，規則都是人類社會可持續發展的重要保障。有時候，矛盾、誤會乃至風險的發生常常因為良好的規則意識的缺失，數學的學習可以幫助學生養成良好規則意識，這是因為數學的公式、法則和規定是規則，包括數學推理也要遵循一定的規則。

（1）為什么要有規則？第一是由數學的確定性決定的，1就是1，2就是2，2×4 就應該等于8，無可爭議，人在計算2×4 就應該按照規則算出結果8。第二為了簡單與統一，為什么數的運算常常用豎式，這是因為豎式計算簡單與統一，算理清晰明了。第三是為了沒有異議，0 作為除數是，商有時有無數個，有時沒有，怎么辦？那就規定除數不能為0。第四是因為實踐需要，兩個數相加以后乘以第三個數，為了確保先算加法，再算乘法，就必須引入小括號，并規定有小括號時，先算小括號，以后遇到中括號，大括號呢，運算順序如何確定？數學再制定一套與原有規則不矛盾的新規則。總之，規則讓數學成為一個無限豐富，而又層次分明、井然有序的世界，人類社會亦是如此。

（2）如何遵守規則？數學規則一旦確定下來，在沒有特殊情況下，我們都要一直敬畏這些規則，遵守這些規則。分數的基本性質中一定強調所乘以（除以）的數不能為0，a0中也一定要強調a ≠0等，這些都是“除數不能為0”這一規則的遵守；分數、小數的四則混合運算也遵循整數的四則運算的順序。當然，要遵守規則必須要理解規則，不能盲目套用規則，必要時還要打破已有規則，創造適應新條件、新環境的新規則。

（3）不遵守規則的后果？不遵守數學規則的后果，大家可想而知，作業被打錯，考試被扣分，不及格要補考，當然，學生在運用規則時出現錯誤，教師也不要生氣，因為數學直覺可能對數學學習起促進作用，有時可能對學習起著阻礙作用，我們要分析與反思學生沒有遵守規則的原因，是因為沒有認真觀察而忽視了規則的存在，還是因為對規則的不理解從而忽視了規則的約束條件等。數學中不守規則發生的錯誤可以糾正，也可以重新證明自己守規則，但人類社會中，有些不守規則帶來的后果是非常嚴重的且不可逆轉，所以說，要讓學生對規則有敬畏之心，這也將促進學生良好規則意識的養成。

3.引導學生摒棄急功近利心態

雖然許多數學及其分支產生于現實生活，為人類社會服務，如幾何在測量土地中產生，但隨著數學的研究與發展，基礎數學研究的目的往往不再為了功利，而是致力于自然界真理的演繹。從數學本身內部產生的最抽象的數學體系，甚至也有極高的價值，如虛數在很長時間因為沒有實在意義而不被理解，從它的名稱就看出人們對它的不理解，但是以后，虛數有幾何解釋，建立了復變函數理論，虛數不但不“虛”了，而且成為解決許多技術問題的有力工具。數學中有些結論對大多數人來說是不可想象和荒誕的，如羅巴切夫斯基的非歐幾何，但這些荒誕的思想卻成為廣義相對論的基礎之一。

像歐幾里得幾何、非歐幾何和虛數一樣，這些純數學成果與理論一開始沒有被人認可或理解，但隨著時間的推移最后卻意外獲得重要的應用。這樣的例子在近代還有很多，從這些例子中我們不難看出數學不急功近利，而是在追求真理的過程中發展自己，突破自己，從數學內部不斷生長出新的理論，而這些新理論不經意間將對人類社會發展發揮巨大作用。

當前的小學數學教材在每一章、每一節都強調數學有用，數學問題來源于生活實際，數學規律服務社會生活，而忽視了學習數學知識之間的邏輯性，忽視揭示數學發展的內在規律。現在的數學教學提倡學有用的數學，講究立竿見影，喜歡拋棄本質，而在非本質的形式上做文章，而不去思考知識的價值以及知識產生的數學思想與發展路線，在這種急功近利的思想指導下，即使是學生學得再好，也容易被“實利”所累。

急功近利的做法會嚴重影響教學質量，損害學生的長遠利益，所以我們必須做出改變，從數學教育的長遠目標考慮，挖掘小學數學知識的思想價值，讓數學思想成為一種追求、一種精神。如數學知識形成過程中對精確性的追求，精準性是數學學科的主要特征之一，而這種特征也是未來社會中學生發展所必須具備的素養之一。圓面積公式的推導，不能只要求學生記住公式、使用公式解決問題，更要體現數學對精確性的追求，從圓和它的內接正方形與外切正方形的比較中，確定半徑為r 的圓的面積大約等于幾個邊長為r 的正方形的面積，再到引導學生用數方格的方法來估計圓的面積，最后用分割的方法推導出公式計算圓的面積，而推導過程中極限思想的滲透也體現數學對精確性的追求。

總之，數學學科核心素養的培養不能僅僅停留在比較與描述層面，更要在實踐中不斷探索，找到數學學科素養的生成路徑與培養策略，數學學科素養與數學學科隱形價值的研究給了我們很好的啟示，那就是，數學學科核心素養的載體與路徑討論得越明晰、越具體，那么它的培養就越容易操作與落實，立德樹人的根本任務才能完成。▲