小學數學典型錯例分析及矯正策略

數與代數

【診斷】

1.分率和數量混淆。

第一問是求具體數量，即每一小段具體的長度；第二問求每段占全長的幾分之幾，表示的是每段長度與全長的關系。

2.關系式應用錯位。

【對策】

1.在應用中加深對意義的理解。

教學分數的意義，要結合具體情境，在分數的應用中幫助學生真正分辨清楚：分數在何種情況下表示具體的數量，在何種情況下表示分率。

2.在對比中理解關系式的內涵。

學生既要熟記數量關系式，更要結合具體實例，在對比中理解各個數量之間的對應關系，不能生搬硬套。

【練習】

【對策】

1.注重分析能力的培養。

從認真審題入手，引導學生尋找條件與問題之間的內在聯系，可以借助線段圖或摘抄重要字詞來幫助理解，尋求解題的基本途徑。

2.重視數感的培養。

教師要注重結合學生的生活經驗，在課堂中創設生活化的情境，讓學生在觀察、猜測、思考、交流等活動中，捕捉生活中蘊含的數學現象，用數學思維去解決實際問題，豐富數感。

【診斷】

1.算理理解不深刻。

乘法豎式中，第二個因數的十位乘第一個因數時，積的末尾寫在十位上，表示求出了幾個十。上例中用24 十位上的2 乘35，得到的結果表示70個十。

2.算法建構不牢固。

教學中，教師沒引導學生把豎式計算與橫式乘法算式進行聯系，沒有在多樣化算法的探究中形成算法結構。以35×24 為例，可以看成35×20+35×4 的結果。通過橫式與豎式的溝通對比，學生就容易理解豎式中“70”是700 的簡略寫法。

【對策】

1.探究與分享結合。

在教學過程中，教師要主動放手，讓學生自主探究筆算乘法的算理和算法，通過小組合作歸納算法，交流分享算法的形成過程，從而真正理解算理及算法。

2.算理和算法并重。

以問題為驅動，先依托學習材料，在學生多樣化的算法展示后，通過深度比較，幫助學生理解算法。最后設計形式多樣的練習，鞏固筆算方法，使學生扎實掌握豎式計算的算理和算法。

D.1 小時能檢測的人數

2.在用豎式計算三位數乘兩位數246×ab時，列豎式為：

第2 題是一道不能運用運算律的題目，學生因為乘法分配律的“負遷移”造成了錯解。

2.對計算結果缺少驗證意識。

“怎樣簡便就怎樣算”，不是“想怎樣算就怎樣算”。首先要保證計算結果正確，應在確保不改變計算結果的情況下，對算式進行符合運算律的本質特征和內在結構的簡便處理。

【對策】

1.加強變式訓練，理解知識本質。

在運算律的應用中，要呈現各種變式，引導學生比較辨析，強化理解，逐步把握其本質。以（a+b）×c=a×c+b×c為例，我們可以進行如下變式處理：（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d；（a－b）×c=a×cb×c；（a+1）×b=a×b+b×1。還要學會反向運用，例如把56×99+56 變成56×99+56×1=56×（99+1）。

2.注重審題訓練，重視結果驗證。

所謂簡便計算，一定是在確保計算結果正確的情況下，靈活采用各種運算法則而實現的高效計算。要注重對算式結構和各數特征的審視，尋找最佳算法，最后還要用一般方法進行驗算。

【練習】

【診斷】

1.核心概念理解模糊。

無論是成正比例還是反比例關系，一定包含兩個“變量”和一個“定量”，成正比例的兩種量的比值一定，成反比例的兩種量的乘積一定。第1題中圓的直徑和圓周率都一定，那么周長必然也是一定的，沒有變量，不可能成比例關系。

2.缺乏表達式變換技巧。

【對策】

1.熟練使用數量關系式。

讓學生多記一些數量關系式，如：總價=單價×數量；工作總量=工作效率×工作時間等，還要會根據一定的量對關系式進行變換。熟記一些常用的公式、定理、數量關系式，才能熟練應用，解決實際問題。

2.注重判定方法的指導。

引導學生從一定的量入手，判斷兩種量是否成比例、成什么比例關系。如果一定的量是用除法計算得到的，那么另外兩個變量就成正比例關系；反之，如果一定的量是用乘法計算得到的，那么另外兩個變量就成反比例關系。需要注意的是，判斷的前提條件是存在兩個變量和一個定量。

3.結合實際問題設計練習。

正反比例關系來源于生活，讓學生多從生活中找素材，現實的、有意義的、具有挑戰性的問題情境，更容易激活學生已有的生活經驗和認知儲備。

【練習】

【錯例】

工廠第一車間今天出勤100人，缺勤a人（a≠0），缺勤率（D）a%。

A.等于 B.大于

C.小于 D.大于或等于

正確答案：C

【診斷】

2.對字母式的意義理解不深刻。

教學中，教師沒有通過多種活動，幫助學生了解含有字母的式子既可以表示數量關系，也可以表示數量，尤其是沒有能夠結合具體實例，理解字母式的意義，建構數學模型。

【對策】

1.創設生活情境，體會字母表示數的現實需要。

學生理解字母表示數需要一個長期的過程，需要經歷大量的數學活動，積累豐富的活動經驗，在熟悉的環境中反復體會字母表示數的現實意義。

2.分析數量關系，培養用字母表示數的意識。

引導學生有意識地用字母解決實際生活中的問題，體驗符號語言的優越性，構建從數字表示、語言概括到符號語言的轉換流程，建立初步的符號感。

3.加強新舊知識間的聯系，加深對字母式意義的理解。

教學時，教師要及時引導學生借助舉例、對比等方式，強化知識間的區別和聯系，發揮已有知識的有效作用，使新舊知識在深層次上達到統一。

【練習】

1.選擇：在有余數的整數除法算式中，除數是b，商是c，b、c均不為0。被除數最大為（ ）。

A.bc+bB.bc- 1

C.bc+b- 1 D.bc+b+ 1

2.若代數式2x2+3x+7 的值是8，則代數式4x2+6x+15 的值是（ ）。

3.服裝廠計劃每月生產服裝600 件，實際生產了10 個月就超過全年計劃m件。

（1）用含有字母的式子表示實際每月生產服裝的件數。

（2）當m=300 時，實際每月生產服裝多少件？

【錯例】

2.思維訓練層次不豐富。

在學生理解和掌握相遇應用題的結構特征和解題思路后，應該精心設計有層次的練習，循序漸進，把學生思維逐步引向深入。在基本練習鞏固新知后，要設計變式題，例如把相遇應用題的特征因素“同時、相向”變為“先行、背向”等問題，使學生思維由簡單的模仿發展為初步創新。

【對策】

1.理解題中的條件和問題。

要讓學生深刻理解速度、時間、路程的條件和問題的實質。例如有兩個運動物體的，出發地點可以是一個，也可以是兩個。如果出發的地點是一個，那么兩個物體既可以同向運行，又可以反向運行。如果有兩個物體和兩個地點，那么兩個物體的運行方向就有多種變化。弄清楚速度、時間、路程的已知條件和問題，是解題的重要環節。

2.掌握畫圖、列表等有效策略。

“行程問題”最需要關注的是運動物體。運動物體個數不同，解題的方法也不同；運動物體的方向、地點不同，解題的方法也不同。所以，讓學生嘗試畫圖或列表，體會畫線段圖容易明確解題思路。畫線段圖的過程中，教師要注意細節的指導，比如括線和問號、相遇點的位置、單位時間內行的路程等。

【練習】

2.甲、乙兩輛汽車從A、B 兩地同時相向開出，出發后2 小時，兩車相距141 千米；出發后5小時，兩車相遇。A、B 兩地相距多少千米？

3.甲、乙兩人同時從兩地相向而行，在距離中點40 米處相遇，已知甲行了全程的55%。兩地相距多少米？

【錯例】

小華讀一本書，上午讀了全書的20%。下午又讀了12 頁，這時已讀頁數與未讀頁數的比是1∶3。這本書共多少頁？

【診斷】

1.綜合分析能力薄弱。

要解決“全書多少頁”的問題，需要在分析題

2.關系表征方式單一。

【對策】

1.優化解題策略。

有效的解題策略能幫助學生以較短的時間、靈活的方法解題。分數和百分數應用題都有量率對應的特點，因此，正確尋找量率對應關系，借助線段圖審清題意，就可以順利找到關系式解答。

2.適當變式訓練。

練習設計要體現層次性、開放性，進行拓展訓練，促進思維發展。例如，利用變式來改變題目的條件或結論，或把結論與條件對調，啟發學生尋找不同解題方法間的關聯，促進知識、方法的遷移，實現解題能力的提高。

【練習】

1.小明讀一本書，上午讀了一部分，這時已讀頁數與未讀頁數的比是1∶5；下午又讀了12頁，這時已讀頁數與未讀頁數正好相等。這本書共多少頁？

（江蘇省高郵市天山小學 朱 宇）

圖形與幾何

【錯例】

小明用同樣大的正方體擺一個物體。從前面、右面、上面看到的形狀如圖所示，擺這個物體至少需要（ ）個正方體。

A.8 B. 7 C. 6 D.5

錯解：A

正確答案：C

【診斷】

1.錯誤遷移已有經驗。

因為從不同的角度“前面、右面、上面”觀察物體，都是看到“田”，學生腦海中浮現的就是8個正方體拼搭的模樣，從前面看有4 個小正方形，依次類推右面、上面也是如此。由此推導得出需要8 個小正方體，對題目中“至少”一詞沒有仔細考慮。

2.缺乏空間想象能力。

有的學生缺乏空間想象力，只能分別說出從前面、右面、上面看到的正方體的個數，沒有辦法把從不同角度看到的圖形組合成一個立體圖形。

【對策】

1.把握關鍵信息的內涵。

數學是一門嚴謹的學科，在平時的教學中，要不斷加強對學生語言分析能力和理解能力的培養。特別是一些隱含的信息，如果先圈出關鍵詞，再去做題，準確率會提高很多。根據上述題意分析可知，要想用最少的小正方體擺成從前面、上面和右面看都是“田”字形的幾何體，只要下面4 個小正方體平鋪成“田”字形，上面只需要再加上2 個，而不是4 個，所以至少需要6 個正方體。

2.豐富體驗，發展空間想象能力。

在教學中讓學生多動手擺一擺，通過不斷嘗試、修正，在“做中學，做中悟”，慢慢體會實物與圖形之間的關系，豐富想象能力。要想從上面看是“田”至少需要4 個小正方體平鋪成“田”字形，如果再從前面看，只要在上面加上2 個，因為還要從右面看，所以上面的2 個前后每行各放一個，錯開放置，那么從前面和右面看就都是“田”了，據此即可判斷。

【練習】

1.冬冬用1 立方厘米的小正方體擺成一個物體，從前面、右面和上面看到的形狀如圖所示。那么，這個物體的表面積是（ ）平方厘米，體積是（ ）立方厘米。

2.如圖，這個立體圖形由10 個棱長為5 厘米的小正方體搭成，所有表面（包括底部）都涂色。

（1）這個立體圖形的體積是（ ）立方厘米。

（2）只有2 個面涂色的小正方體有（ ）個，只有4 個面涂色的小正方體有（ ）個。

（3）這個立體圖形，從上面看到的形狀如圖1（數字表示這個位置上所用的小正方體的個數），從正面看到的形狀如圖2。現在，玲玲將10 個小正方體的組合方式進行了調整，搭出了一個新的立體圖形。這個新的立體圖形，從上面看到的形狀如圖3，從正面看到的形狀是怎樣的？請畫在圖4 區域。

【錯例】

小芳參加了實驗小學運動會的開幕式表演，所有學生表演時排成長方形的方隊。趙老師在方隊的前面看，小芳的位置是（11，6）；張老師在方隊的后面看，小芳的位置是（2，4）。學生方隊共有多少人？

錯解：

11+2=13（列）6+4=10（行）13×10=130（人）

正確答案：

11+2-1=12（列）6+4-1=9（行）12×9=108（人）

【診斷】

1.認知結構不完整。

教師只關注“豎排為列，橫排為行”“先寫列，后寫行”等知識點的教學，忽略了引導學生完成數對的自然建構。題目中“小芳”的位置雖然沒有變化，但是從不同的位置觀察，卻產生了不同的數對表示方法。學生不能順利進行數對與實際情況的轉換，因而產生錯誤。同時，混淆“第幾個”與“幾個”也是導致錯解的原因。

2.平時練習缺少梯度。

用數對確定位置的基本知識點較容易，所以在練習的設計上就必須具有一定的梯度和層次，這樣能對所學知識起到鞏固的作用，更重要的是將前后知識進行鏈接，注重知識之間的相互滲透，并在此基礎上進行適當延伸。

【對策】

1.重視知識結構的建立。

關于圖形位置的教學，應該以學生的已有認識經驗為抓手，把二維建構在一維經驗基礎之上，融數對、平移、簡單路線等多種知識于一體，建構用數學方法表示圖形位置的知識體系。

2.結合具體情境理解含義。

數對是物體位置量化的一種表達，要將數對知識回歸于生活，從更廣闊的生活場景中選取豐富有效的教學資源，設計有層次的練習促進深層次理解，從淺層次的數學知識層面上升到數學思維的高度，發展數學思考。

3.多樣化活動滲透數學思想。

確定位置中包含對應、符號表示、數形結合、變中不變等思想。在數對的教學中，引導學生理解和體會這些思想，可以提高抽象思維能力，發展空間觀念。

【練習】

1.如圖，三角形ABC中，A點用數對表示為（5，3），那么B點用數對表示為（ ），C點用數對表示為（ ）。

2.如圖，B點用數對表示為（2，2），C點用數對表示為（5，2），并且長方形ABCD 的面積為6，則D 點用數對表示為（ ）。

3.已知等腰直角三角形ABC的頂點A、B、C都在方格圖的橫、豎線交點處，A點、B點用數對表示分別是（5，4）和（9，4）。請在圖中找一找、畫一畫，C點可能在哪個位置？用數對把你找到的C點的位置都寫出來。

【錯例】

有一個花壇，高0.5 米，底面是邊長1.3 米的正方形，四周用磚砌成，磚墻的厚度是0.3 米，中間填滿泥土。花壇里大約有泥土多少立方米？

錯解：1.3-0.3=1（米）1×1×0.5=0.5（立方米）

正確答案：1.3-0.3-0.3=0.7（米）0.7×0.7×0.5=0.245（立方米）

【診斷】

1.數學學習與生活經驗不能對接。

平時我們接觸的題目大都是求物體的體積，學生的第一印象就是長×寬×高，即使求容積的題目也是直接告訴需要的長、寬、高。每個學生都看過花壇，在做這道題時，很多學生都能求出花壇的體積，對于花壇容積的定義也知道，但是如何求得計算花壇容積所需的長、寬、高卻很困難。已知條件無法與生活中的花壇相聯系，形象思維與抽象思維脫節。

2.對“厚度”一詞缺乏理解。

大部分學生在思考這一題時，都知道在花壇里裝滿泥土的情況下，泥土的體積就是花壇的容積。求容積要從花壇的里面來量長、寬、高，1.3 米和0.5 米是從外面量的結果，需要減去厚度，哪些條件需要減去厚度，哪些條件不用減去厚度，如果要減厚度需要減去多少，學生不能準確界定。

【對策】

1.通過類比遷移算法。

學生的空間知識來自豐富的現實原型，但課堂上我們不可能去觀察并測量花壇的長、寬、高，有局限性。我們可以利用身邊的容器，如：有明顯厚度的長方體盒子，從外面測量它的長、寬、高，和從里面測量它的長、寬、高進行對比，在探究過程中把做與思結合起來，回憶體積和容積的定義，通過對比發現它的厚度的存在，感受從外面量和從里面量長、寬、高和厚度的聯系，比較體積和容積的異同。

2.適時發展空間想象能力。

從平面圖形的認識到立體圖形的認識，這對于學生來說，是對空間觀念認識的一次飛躍。平時作業中，學生的思維已經習慣于“厚度忽略不計”的情況下計算物體體積。這道題我們可以先從計算體積入手，花壇的體積是它的容積嗎？為什么？把問題拋給學生，引導學生想象生活中的花壇，發現從外面量的長要減去兩邊的厚度，寬也要減去兩邊的厚度，而高不用減去厚度，得到1.3-0.3-0.3=0.7（米），0.7×0.7×0.5=0.245（立方米）。

【練習】

1.一種圓柱形的飲料罐，高13 厘米，底面直徑6 厘米。

（1）生產一個飲料罐至少需要多少平方厘米的鋁合金材料？（接頭忽略不計。）

（2）飲料罐外面注明“凈含量：365毫升”。請計算、分析該項說明是否存在虛假。（厚度忽略不計。）

3.倉庫里有以下四種規格的長方形、正方形的塑料片：（數量足夠多。）

①長0.5 米，寬0.2 米；

②長0.4 米，寬0.2 米；

③長0.5 米，寬0.4 米；

④邊長0.2 米。

從中選5 塊塑料片，拼接成一個無蓋的長方體（或正方體）塑料盒。

規格①__規格②__規格③__規格④______塑料盒的容積/m3?

（1）一共可以拼接成（ ）種不同的塑料盒。

（2）這些盒子中容積最大的是多少立方米？

4.有一個花壇,高0.5 米,底面是一個長3.4米、寬2 米的長方形，四周用磚砌成，磚墻的厚度是0.2 米，中間填滿泥土。

（1）如果花壇的側面貼瓷磚，瓷磚的面積是多少平方米？

（2）花壇里大約有泥土多少立方米？

【錯例】

把兩個邊長是2 厘米的正方形拼成一個長方形，拼成的長方形面積是一個正方形面積的（ ）%，拼成的長方形周長是一個正方形周長的（ ）%。

錯解：200 200

正確答案：200 150

【診斷】

1.周長與面積的概念混淆。

課堂上忽視在動手操作中強化體驗，學生對周長概念的理解浮于表面。教師一般比較注重周長公式的運用，解題過程簡化成了直接應用公式求值，而淡化了“先找一周邊線→累加求和”的求周長過程。當兩個正方形拼在一起時，受到“面積之和就等于長方形的面積”干擾，錯誤推理出長方形周長等于兩個正方形的周長和。

2.解決組合圖形題的策略不多。

學生沒有策略意識，沒有運用畫圖的策略輔助解題的習慣。學生幾何直觀感不強，想象不出兩個正方形拼成的圖形樣子，完全沒有考慮到兩個正方形拼在一起，兩個正方形各有一條邊重合在一起，并且這部分被包含在長方形內，拼成的邊不再屬于長方形的周長。

【對策】

1.借助直觀，把握概念內涵。

根據年齡特征，小學階段的數學概念多為描述性定義，要借助教材、生活中豐富的素材更直觀地提煉出周長概念的核心，更清晰地把握概念的內涵。當學生經歷生動的直觀、具體的感知后，就可以借助表象在頭腦中展開動態的形象思維，在進一步展開的抽象概括中讓“周長”概念穩固又深刻地建構。

2.體驗過程，提煉解題方法。

對于任意一個組合圖形的周長，都可以經歷以下三個步驟。

（1）找“周長”，引導學生經歷“找到一周邊線→度量長度→累加求和”的過程。不論是實物操作還是表象操作，都不能省略“指一指或想一想一周邊線”這樣的過程。

（2）畫“周長”。借助幾何直觀，畫一畫示意圖。根據周長的定義，學生不難發現拼成的長方形周長是原來小正方形的邊長乘6。

（3）說“周長”。針對組合圖形周長的錯例，讓學生說一說：所求周長需要把哪些長度進行累加？這些長度又應該怎樣得到？

【練習】

1.用12 個邊長3 厘米的正方形拼成一個長方形，有（ ）種拼法。

A. 2 B. 3 C. 4

2.如圖所示，用4 個大小相等的長方形，正好拼成一個回字形圖形。外面大正方形的周長是20厘米，每個長方形的周長是多少？

3.如圖,一個正方形被分成4 個相同的長方形，每個長方形的周長都是20 厘米, 則這個正方形的面積是多少？

4.（1）計算圖形①中涂色部分的面積。

（2）如圖②，圓的周長是20 厘米，如果圓的面積和長方形的面積相等，計算涂色部分的周長。

【錯例】

一個塑料瓶容積為600 毫升，瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸）。現在往容器里注入一些水（如圖）。當瓶子正放時，瓶內水面高為20 厘米；瓶子倒放時，空余部分高為5 厘米。注入的水的體積是多少立方厘米？

【診斷】

1.對應關系錯誤。

因為容器的形狀是不規則的，600 毫升與20厘米高的圓柱體積不對應，不能直接套用圓柱體積公式，需要對兩幅圖中的信息進行整合，把塑料瓶的容積與高（20+5）厘米的圓柱體積建立對應關系，才能求得問題的解。

2.不會應用轉化策略。

錯例中，學生沒有讀懂題目中文字和圖示的信息，沒有把600毫升轉化成兩個高分別為20厘米和5厘米的圓柱體積的和。正確的解法是應該把不規則的容器轉化為高是（20+5）厘米的圓柱體，600÷（20+5）=24（平方厘米），求出容器的底面積，再把水的體積轉化為高是20厘米的圓柱體積。

【對策】

1.關注生活，體現價值。

學習中要呈現知識的現實背景，激活學生已有的生活經驗。例如，實際生活中有很多問題涉及不規則形體的體積計算，所以，錯例中的題目有較強的現實性，也有一定的挑戰性。解決類似的問題，能增強學生用數學知識解決實際問題的意識。

2.適度拓展，發展思維。

我們要對課本習題進行適度拓展，增強思維的挑戰性。上例中把同一個物體置于兩種不同的情境，鍛煉了學生的信息加工能力，拓展了解題思路，對圓柱體積、底面積和高之間的相互關系也愈加清晰。在解題過程中抓住“容器的容積”這個不變量，先逆向運用體積公式求出容器底面積，再順向運用公式求出水的體積。

3.滲透方法，培育素養。

【練習】

1.一個擰緊瓶蓋的瓶子高17厘米。里面裝有一些水，正放時水的高度是10厘米；把瓶子倒放，水的高度是13厘米。水的體積占瓶子容積的（ ）。

2. 課堂上，學生對一種瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸）的消毒液瓶進行測量，得出以下幾個數據：

①小A 量出它的底面直徑是4 厘米。

②小B量得瓶子倒放時，空余部分高為2厘米。

③小C 量得當瓶子正放時，它的消毒液面高為8 厘米。

④小D 稱出消毒液連瓶重180 克。

請你根據測量結果，算出這個瓶的容積是多少立方厘米。（瓶壁厚度忽略不計。）

3.有兩個長方體水缸，甲缸的底面積是15 平厘米、高8 厘米，沒有裝水；乙缸的底面積是12 平方厘米，裝有9 厘米深的水。現將乙缸的水裝一部分到甲缸，使得兩缸水的高度相等。這時水的高度是多少厘米？

【錯例】

有一個長方體紙箱，從里面量長8 分米，寬6分米，高5 分米。如果在紙箱中裝入棱長為2 分米的正方體禮品盒，最多能裝這樣的禮品盒多少個？

【診斷】

1.沒有抓住知識本質。

本題看似除法的應用，實質上考查了對體積計算公式以及體積單位意義的理解。“長方體的體積=長×寬×高”這一公式背后的數學道理是：長方體的體積等于其包含的體積單位的個數，其意義是學生在動手操作、驗證之后得到的，只要認真回憶體積公式推導過程，就可以避免類似的錯誤。

2.忽略現實問題情境。

解決本題雖然可以根據除法的意義求得結果，但是不能忽略存在邊角料的問題，即小正方體不能正好填滿長方體紙箱的空間。因此，不能簡單套用“長方體紙箱容積÷小正方體的體積”進行計算。

3.缺乏空間想象能力。

解答此題關鍵是先分別求出長方體箱子的長、寬、高處最多能放幾個小正方體，再利用長方體體積公式求出小正方體的總個數。長方體的長決定了一行可以放幾個小正方體，寬度決定了可以放幾排，高度決定了可以放幾層，需要較強的空間想象能力。

【對策】

1.優化公式推導過程。

引導學生發現長方體的體積與長、寬、高的關系，歸納長方體體積的計算方法，悟出“長方體的體積=長×寬×高”這一公式背后的數學道理。還可以將長方體體積公式的教學提升到計量的高度，與線、面的度量統一起來，順利實現知識的遷移，讓學生體會到線、面、體的測量實質都是用相應計量單位去度量，有幾個計量單位，其數量就是幾。

2.開展數學實踐活動。

為了給學生解決數學問題提供經驗支撐，需要結合教學內容組織一些實踐活動。注意活動中的“數學味”，教會學生用數學的方法去探究。活動中設計有挑戰性的問題，激發學生的探索意識。活動形式可以多樣化，如小游戲、小設計、小制作、小調查、小研究等，要有利于學生進行觀察、操作、推理與交流。

3.提升練習設計質量。

在設計上述練習時，要注意數據的設置，避開“正好平均分”的特例，不能讓這種“巧合”干擾學生的認知，形成用“大體積÷小體積（大面積÷小面積）的方法也能解答”的錯誤認識。

【練習】

1.在一張長7 分米、寬2 分米的長方形紙上，要剪出面積是4 平方分米的正方形，最多能剪出多少個這樣的正方形？

2.某工廠要生產一種半徑為1.5 厘米的圓形瓶蓋，用一張長4 米、寬3 米的長方形鐵板來剪。這張鐵板最多能剪多少個瓶蓋？

3.用一塊長6 米、寬1.5 米的長方形紅布，做直角邊為2 分米的等腰直角三角形小旗，最多可以做多少面？

4.有一個長方體木塊，長11 厘米、寬9 厘米、高7 厘米，能否切割成77 塊長和寬都是3 厘米、高是1 厘米的長方體木塊？請說明理由。

（江蘇省高郵市天山小學 李 玲）

統計與概率

【錯例】

小剛拋一枚硬幣5 次，有4 次正面朝上，1 次反面朝上，那么他拋第5 次時正面朝上的可能性是( )。

錯解：A

正確答案：C【診斷】

1.對“可能性”理解不透。

學生認為正面朝上的可能性就是看正面朝上的次數占拋硬幣總次數的幾分之幾，但“5 次的拋擲情況”跟“第5 次拋時正面朝上的可能性”是兩個不同的概念，“第5 次拋時正面朝上的可能性”強調的是“第5 次”這一次。

2.條件解讀不夠準確。

題目中不是所有條件都指向問題解決，“5次”“第5次”“4次正面朝上”“1次反面朝上”這些都是干擾條件，學生缺乏辨別能力，導致干擾條件先入為主，對問題作出了錯誤的判斷。

【對策】

1.聯系生活實際，準確理解“可能性”。

可能性的概念比較抽象，學生不易理解和掌握。教師要從學生熟悉的事件入手，用淺顯易懂的語言描述，便于學生正確地理解概念，在豐富的現實背景中學習用分數表示可能性的大小。

2.結合動手操作，提高審題能力。

審題困難時可以讓學生親身經歷操作的全過程，注重與統計知識相聯系，在大量數據和實驗中體會不確定事件發生的可能性大小。

【練習】

1.口袋里有7 個紅球、5 個黃球，球的大小相同。從中任意摸出一個球，摸到（ ）球的可能性大；如果想使兩種顏色的球摸到的可能性相等，需要再往袋中放入（ ）個（ ）球；如果想使摸到黃球的可能性大，至少要往袋中放入（ ）個（ ）球。

2.有0～9十張數字卡片，從中任意抽取一張，抽到大于6 的數的可能性是（ ），抽到比10 小的數的可能性是（ ）。

【錯例】

一艘輪船往返于甲、乙兩港之間，從甲港開往乙港每小時行駛30 千米，返回時逆水而行，每小時行駛20 千米，求這艘輪船往返的平均速度。

錯解：（30+20）÷2=25（千米/時）

正確答案：2÷（1÷30+1÷20）=24（千米/時）

【診斷】

1.把“速度的平均數”與“平均速度”混為一談。

去時速度與返回時速度的和除以2 得到的是往返速度的平均數，而不是往返的平均速度。“平均數”是一個統計量，它代表一組數據的整體水平，但平均速度是有具體情境和具體數量關系的，往返的平均速度應該用往返的總路程除以往返的總時間，即2÷（1÷30+1÷20）=24（千米/時）。

2.只關注個別數量，忽略題目整體。

學生列式解答時過多傾向題中所給數字，忽略了整體的數量關系：往返總路程÷往返總時間=往返平均速度。題中雖然沒有給出甲、乙兩地的距離，但可以將甲、乙兩地的距離看作“1”，或將其假設成一個具體的量。

【對策】

1.建構平均數的統計意義。

教學中，教師往往對平均數的計算技能訓練大于對平均數統計意義的建構，這種做法不可取。我們要將平均數意義的理解置于統計活動中，并聯系生活實際，讓學生感受平均數的統計價值。

2.辨析平均數與平均分。

平均數與平均分在計算方法上雖存在重合的情況，但兩者本質不同。平均分是把總數平均分成幾份，每份一樣多，而平均數是一個虛擬值，并不代表每份就是這么多，教學時要引導學生進行辨析。

【練習】

1.下面的說法合理嗎？

（1）華美服裝公司員工的月平均工資是3600元。張華是這個公司的員工，她的月工資不可能低于3600 元。

（2）小浩身高145 厘米，他到一個平均水深110 厘米的游泳池里游泳，還是會有危險。

2.爸爸開車去某地出差，去時路線不熟，平均每小時行40 千米，開了6 小時到達目的地；返回時，爸爸加快了速度，平均每小時行60 千米，他往返的平均速度是多少？

【錯例】

下圖是小強家旅行期間行車情況統計圖。

從3 時到6 時，車一共行駛了多少千米？

錯解：240+240+300+360=1140（千米）

正確答案：360-240=120（千米）

【診斷】

1.數據分析缺少策略。

這里的每一個數據都是站在前一個數據的“肩膀”上，1 時行駛到50 千米，2 時行駛到150 千米，3 時行駛到240 千米，表示前3 個小時一共行駛了240 千米。以此類推，6 個小時共行了360 千米，減去前3 個小時的240 千米，得到從3 時到6時一共行駛了120 千米。錯例中，學生將經過時間看成了一個時刻，從而作出了錯誤的解答。

2.未能將生活經驗上升為學習體驗。

從3 時到6 時共經過了3 個小時，3 個小時怎么可能行駛1140 千米？學生缺乏將數學問題和生活實際聯系的意識，僅憑計算經驗解決問題，而沒有聯系生活經驗進行估算檢查。

【對策】

1.注重數據的收集和整理。

統計是包括數據的收集、整理、描述和分析的完整過程。教學中要引導學生去理解每個數據表示的意義，去判斷折線圖中的連續數據是相互獨立的關系還是相互包含的關系。

2.將數據分析與生活實際相結合。

創設貼近學生生活實際、符合認知規律的統計情境，讓學生自己收集、處理和描述數據，最終解決問題。通過情境獲得數據，再通過數據分析情境，從而使學生體會統計和生活的聯系，將統計與生活交融。

【練習】

1.根據圖中信息回答問題：

（1）售出圖書最多的一天比最少的一天多售出（ ）冊；

（2）星期五售出的圖書冊數是星期四的（ ）。（填分數）

2.下圖是一輛汽車與一列火車的行程統計圖，根據圖示回答問題。

（1）汽車的速度是每分鐘（ ）千米；

（2）火車進站時間是（ ）；

（3）火車進站后再次行駛的速度比汽車每分鐘快（ ）千米；

（4）汽車比火車早到（ ）分鐘。

3.科學課上配置4 杯鹽水做實驗，并根據每杯中鹽與水的克數制成下圖。

（1）觀察圖像，4 杯鹽水中（ ）杯鹽水最咸。

（2）要使這杯鹽水與其他三杯濃度相同，需要加水多少克？

【錯例】

要反映六年級一班（ ）的情況，用扇形統計圖比較合適。

A.第一小組5 名同學的跳遠成績

B.王小燦同學近5 年每年生日時測得的身高

C.近5 年全班近視率的變化

D.某次數學測試各類等第人數與全班人數的百分比

錯解：C

正確答案：D

【診斷】

1.對扇形統計圖的作用體會不夠深刻。

扇形統計圖反映的是各部分量與總量之間的關系，這個關系通常用百分比展示，學生可能只記住了扇形統計圖跟百分比（百分率）有關，看到“近視率”時作出了錯誤的選擇。

2.沒有形成統計圖的知識體系。

從各類量的多少到數量的增減變化，再到各部分量與總量之間的百分比關系，統計圖涉及的數據分析越來越精細化，學生頭腦里沒有形成相關的知識體系，不能根據數據內容合理選擇統計圖。

【對策】

1.經歷扇形統計圖的產生過程。

教學時讓學生在完成扇形統計圖后思考三個問題：“上圖中的整個圓表示什么？”“用這樣的統計圖有什么好處？”“各個扇形的大小與什么有關系？”進一步引導學生在觀察的基礎上得出扇形統計圖的特點：可以清楚地表示出各部分量與總量之間的關系。

2.加強對比，建構知識體系。

教學中注重引導學生體會描述數據方式的多樣性，從整體上把握三種統計圖各自的特點，理解這三種統計圖在使用上各有什么優越性和局限性，進一步培養學生的數據分析觀念。

【練習】

1.李星星一月各項消費情況如圖所示，下面說法正確的是（ ）。

A.從圖中可以看出各項消費數額

B.從圖中可以看出總消費數額

C.從圖中可以看出餐費是40%元

D.從圖中可以看出餐費在各項消費中最多

2.小紅調查雙休日全班同學參加體育運動的情況，將收集的數據制作成下面的統計圖，她想要解決的問題是（ ）。

A.雙休日哪天運動的人數較多

B.雙休日全班同學參加哪類運動的人數最多

C.班上哪名同學運動時間最長

D.男生喜歡哪類運動

【錯例】

體育課上50 名同學參加各項活動人數情況統計如下：

1.打乒乓球比打籃球的多幾人？

2.踢毽子的人數比跳繩的人數少百分之幾？

第2 題錯解：20%-10%=10%

正確答案：50×10%=5（人）

50×20%=10（人） （10-5）÷10=50%

【診斷】

1.混淆了“具體數量”與“抽象分率”。

問題2 表面上是根據扇形統計圖進行簡單計算，實際上涉及不同類型百分數應用題的計算，應按照百分數應用題的解題思路和方法進行計算。

2.忽略了對各種統計圖表本質特征的理解。

課堂教學時教師只注重扇形統計圖的形式展示，而淡化了對扇形統計圖實質的理解。學生從圖中只看到了簡單的百分數，而不是兩個量之間的比率，缺乏進一步對數據進行分析從而解決問題的能力。

【對策】

1.注重數據分析能力的培養。

出示統計圖后，教師應給予學生足夠的時間了解圖中的信息，并充分地交流，注重啟發學生說出各扇形中百分數的含義，弄明白整個圓表示什么。得出百分數數據后，引導學生先分析后計算，培養學生正確處理數據的意識。

2.統計圖與解決問題適當綜合。

教學中，不能滿足于讀懂統計圖，還要與解決問題結合，引發學生的思考。例如，求某兩部分數量的和或差、某兩部分數量間的百分比等實際問題，讓學生感受統計圖的作用，鞏固百分數的相關知識。

【練習】

1.某校將六年級一班上學期體育成績結果繪制成了圖①和圖②兩種統計圖。

（1）六年級一班一共有（ ）人。

（2）成績得優的同學占全班人數的（ ）%。

（3）請把圖①的條形統計圖補充完整。

（4）得良的同學比得優的同學多（ ）%。

2.甲、乙、丙三名工人共同加工600 個零件，他們所分配到的任務比例如圖①，他們每小時加工的零件個數如圖②。

（1）丙每小時加工的零件個數比乙每小時加工的零件個數少百分之幾？

（2）甲、乙完成任務分別要用多長時間？

（3）如果重新分配任務，使三人完成任務所用的時間一樣長，那么甲應該加工多少個零件？

（江蘇省高郵市高新區實驗學校小學部 吳興坤）