起重機平面度測定方法研究

李和平，趙成立，魯恩順，趙章焰

（武漢理工大學物流工程學院，湖北 武漢 430063）

1 引言

港口起重機作為港口物流的主要工具，為國際貿易帶來極大便利。但在工作環境復雜、工作強度大，頻率高的情況下。港口起重機的承力結構會發生不同程度的形變。這種情況不僅會縮短港口起重機的使用壽命，還會造成一定的安全問題。因此有必要通過有效的測量來評估安全性[1]。

現在用于測量大型機械平面度的方法主要有：三坐標測量機方法、CCD測量方法和百分表方法[2]，三坐標測量機方法將受到使用環境及自身的限制：CCD測量法操作復雜、成本高；百分表方法的準確度存在不足。并且這些方式對于港口起重機有非常大的局限性，甚至完全不可行，實際的工程領域并不適用。

伴隨計算機水平的發展以及學科之間的交叉越來越深入，對于起重機或與其代表的傳統行業，應該尋找新的結合點。

近景攝影測量[3]經歷過多個發展階段之后，已逐漸成熟，近景攝影測量能夠獲得大量的點云數據，操作簡單，成本低廉。攝影測量在當今工程領域當中愈來愈廣泛，包括道路，橋梁，隧道[4]等方面。

另外得益于計算機視覺以及圖像處理領域的技術發展，后期數據的處理也有了更高效的計算方式。因此在計算機的幫助下，數據的后期處理也變得十分快速，精準。利用近景攝影測量對二維像片進行處理即可完成對港口起重機待測平面點云數據的采集，獲得相關點的空間位置。對于港口起重機平面度的測量，則可以利用攝影測量獲得的平面的點云空間坐標，然后通過最小二乘法擬合得到相應的空間平面，計算出點到擬合平面的距離，完成平面度的測量。

2 建立近景攝影測量系統

2.1 構建攝影測量坐標系系統

在攝影測量中，為了得到待測物體的位置，形狀，大小，首先要構建物體與像片之間的解析關系，這對于計算機后期處理步驟是十分重要的。坐標系系統為笛卡爾空間直角坐標系，如圖1所示。圖1（a）～圖1（d）分別為像平面坐標系o′-xy，像空間坐標系S-xyz，像空間輔助坐標系S-XYZ，物方空間坐標系O-XPYPZP。各個坐標系之間的相對位置關系，如圖2所示。各待測點的像平面坐標為觀測值，通過計算機相關軟件處理得到。依據各個坐標系間的相對位置關系，可以獲得待測物方坐標系坐標。

圖1 坐標系Fig.1 Coordinate System

圖2 各坐標系相對位置Fig.2 Relative Positions of Each Coordinate System

2.2 后方交會

在攝影測量中，共線方程[5]是后方交會[6]的核心，物方點和像方點要一一對應，點的共線性是解算的基礎。如圖3 所示，S為投影中心，其物方空間坐標是（XS，YS，ZS），M是地面上任意一點，物方空間坐標（X，Y，Z），像空間輔助坐標為（Xm，Ym，Zm），像空間坐標為（x，y，-f），則可以得到像空間輔助坐標與物方坐標之間的關系式：

圖3 后方交會示意圖Fig.3 Schematic Diagram of the Resection

由圖2可以看出，像空間坐標系繞投影中心S旋轉，以得到像空間輔助坐標系，其關系式如下：

將式（1）代入式（2），得到了共線方程公式：

式中：x，y，-f—像點的像空間坐標；

f—像片焦距；

XS，YS，ZS—投影中心的物方空間坐標；

ai，bi，ci—由像片的旋轉角組成的方向余弦值。

因為共線方程是非線性方程，所以需要使用泰勒公式展開成線性表達式，即線性化。

線性化后可以得到誤差方程的一般形式為：

式（5）、式（6）中（x）（y）是用各待求值的近似值代入到式（3）與式（4）中求出的像點坐標近似值。

x，y為觀測值，相應的改正數為vx，vy；X，Y，Z為控制點物方坐標，是已知的值；外方位元素XS，YS，ZS，φ，ω，κ為待定的參數，其相應的改正數分別是ΔXS，ΔYS，ΔZS，Δφ，Δω，Δκ。

由式（3）、式（4）可知，至少需要3個物方控制點才能解共線方程，求得待定參數，超過3個控制點可以進行平差處理。

2.3 前方交會

攝影測量的前方交會[7]過程需要用到后方交會所求得的6個外方位元素，是由立體像對的內，外方位元素和觀測的像平面坐標共同來確定同名像點的物方坐標。由左，右像片的外方位元素φ1，ω1，κ1和φ2，ω2，κ2計算得到相應的正交矩陣R1，R2，求得任何一像點的像空間輔助坐標。如圖4所示，左像片像點m1，右像片同名像點m2，和模型點M的像空間輔助坐標分別為（X1，Y1，Z1），（X2，Y2，Z2），（NX1，NY1，NZ1）或（N′X2，N′Y2，N′Z2），N，N′分別為左右片同名像點的投影系數。它們之間的關系式為：

圖4 前方交會示意圖Fig.4 Schematic Diagram of Forward Intersection

投影系數由式（7）、式（9）求得：

BX，BY，BZ用左，右像片的外方位元素來計算，則：

聯立式（10）～式（14）可得投影系數N，N′。

任意一點的物方坐標初值可通過以下公式獲得：

對于空間前方交會的情況，內外方位元素已知，地面點坐標初值已經求得，因此每張像片列出誤差方程為：

3 平面度測定的最小二乘法分析

3.1 確定平面度測定方法

平面度誤差[8]是指測量的實際表面相對其參考平面的變動量。通過將待測實際表面與參考表面進行比較來評估平面度，而通過數據處理擬合出的參考平面和實際表面的相對位置關系，將決定平面度的最后評定結果。

平面度誤差的評定主要方法有：最小包容區域法、最小二乘法、對角線平面法以及三遠點平面法。其中最小二乘法[9]是利用所有的點云坐標數據擬合出一個理想的參考平面，因此該方法能夠在數學理論的支撐下比較客觀，準確地反映待測表面平面度的大小。

參考平面上下兩側的數據點與該參考平面之間的最大偏離值之和，即為待測表面平面度的大小。平面D是由最小二乘法擬合出的參考面，Δd為擬合的參考面D兩側偏離值的最大值之和，如圖5所示。

圖5 平面度測定示意圖Fig.5 Flatness Measurement Diagram

3.2 建立最小二乘法數學分析模型

在建立的空間直角坐標系中，平面方程的數學表達式為：

如圖6所示，平面內有n個離散點，坐標為（Xi，Yi，Z）i，i=1……n，用矩陣表示為：

圖6 擬合平面示意圖Fig.6 Schematic Diagram of Fitting Plane

對矩陣F′進行奇異值分解：

由矩陣V可以得到擬合平面的法向量，又由該擬合面必定經過眾離散點的平均值坐標。

所以可以得到該擬合平面的方程表達式：

點到平面的公式為：

式（27）所表示的平面方程代表的是一個擬合平面，反映的是點云的平面趨勢，點云分布在擬合平面的兩側。

上下兩側都有一點到該擬合平面的距離是最大的，該擬合平面上下兩側最大距離之和即為所求的平面度。

4 實驗

4.1 實驗流程

試驗采用佳能5DS單反數碼相機，分辨率（8688×5792），搭配的鏡頭型號為EF 50mm f/1.8 STM。

其內方位元素及畸變參數[10-11]，如表1所示。

在起重機機下方的合適位置找到特征明顯的控制點4個，調整好焦距，拍下清晰的像片，移動相機到另一個攝站點，進行同樣的操作。

拍攝過程中要保證左右兩張像片上都有4個控制點及待測平面。通過計算機攝影測量程序處理照片，獲得點云的物方坐標，然后利用最小二乘法處理點云得到平面度計算結果。

對一臺門機可進行多次拍攝，取得多張像片，增加實驗的穩定性。

實驗流程，如圖7所示。

圖7 實驗流程圖Fig.7 Experimental Flow Chart

4.2 實驗結果與分析

實驗對3臺門座起重機拍攝，如圖8所示。分別為3臺門座起重機的選點圖，為了避免實驗的偶然性，每個待測面取20個點。

圖8 門座起重機選點圖Fig.8 Site Selection Diagram of Portal Crane

對每臺門座起重機取5個不同攝站點進行拍攝，每個攝站點取1張像片，5張像片記為1組，對每臺門座起重機取5組計算。

實驗結果，如表2～表4所示。

表2 門座起重機1號實驗結果Tab.2 Experimental Results of Portal Crane No.1

表3 門座起重機2號實驗結果Tab.3 Experimental Results of Portal Crane No.2

表4 門座起重機3號實驗結果Tab.4 Experimental Results of Portal Crane No.3

，，,是式（27）中的待定參數，代表擬合平面方程。

門座起重機1 號的平面度均值為:13.75476mm，最大值為：13.92134mm，最小值為：13.28481mm；

門座起重機2 號的平面度均值為：16.69741mm，最大值為：16.73409 mm，最小值為：16.59285mm；門座起重機3 號的平面度均值為：9.251904mm，最大值為：9.32624mm，最小值為：9.14021mm；

多臺門座起重機的多組實驗數據波動較小，每組值均在平均值附近較小范圍內波動，所求得的平面度數值也比較穩定，滿足工程領域的需要。

表1～表3的第一組點的平面擬合圖，如圖9所示。

圖9 門座起重機平面擬合圖Fig.9 Plane Fitting Diagram of Portal Crane

5 結語

針對起重機的特點，通過近景攝影測量方法獲得點云的位置信息，從數理統計的角度運用最小二乘法擬合平面，能夠穩定，準確的計算平面度數值。

算法有明確的數學理論支撐，方便在計算機上大量處理像片及相關數據，所用時間短。

計算機及相關程序的應用，能夠快速地計算，尤其在測量較大平面時，點云數量足夠龐大，該算法的優勢將進一步體現。

平面度與起重機安全性評估有十分密切的關系，為其提供了有力支撐，利用其它學科領域的技術來解決傳統大型機械的安全性評估問題目前顯得十分必要，同時也對起重機之外的其它大型機械的安全性評估也有一定程度的參考價值。