粒子群算法對軋輥磨床靜壓軸承的多目標優化

石豆豆，吳懷超，令狐克均，張曉斐

（1.貴州大學機械工程學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州裝備制造職業學院機械工程學院，貴州 貴陽 551400）

1 引言

液體靜壓滑動軸承由于其誤差均化較好逐漸被人們廣泛關注，并且相對于動壓軸承來說，其具有更好的承載性能和更高的回轉精度，磨損小且轉速范圍更大，所以在精密軋輥磨床中應用十分廣泛[1-3]。

砂輪主軸作為無心磨床的關鍵部件對機床的加工精度、加工效率起著非常重要的作用，而軸承性能又對主軸的回轉精度、剛度起著決定作用，為了提高無心磨床的磨削精度穩定性及綜合性能，需對砂輪主軸靜壓軸承進行優化設計。軸承的基本設計參數對軸承的使用性能影響很大[5]，以往對于靜壓軸承的直徑、寬度等都是依據經驗選擇，雖然傳統的設計尺寸能保證設計的軸承結構合理，但性能并不一定是最優[4]。

為了提高靜壓軸承的整體性能，需要對靜壓軸承進行優化以得到更優的設計參數。現在軋輥磨床靜壓軸承性能的優化主要集中在磨床零部件的結構的優化上[6-7]，而對于軋輥磨床靜壓軸承的優化還很少。文獻[8-9]利用Ansys對靜壓軸承關鍵參數進行優化設計，但僅僅針對單個目標函數油膜壓力進行優化，對軸承工作性能的改變不能得到最優解。文獻[10]利用遺傳算法對靜壓軸承的承載能力和工作狀態進行多目標優化設計，獲得最優的承載能力和最佳的工作狀態。文獻[11]采用約束隨機方法，使用雙目標優化方法，以降低軸承功耗與提高剛度為目標函數，大大降低靜壓軸承的功耗損失，提高軸承的工作性能。

而軸承的油膜剛度、功率損失以及溫升都很大程度地影響著軸承的工作性能，但現有研究中鮮有同時顧及三個方面的優化方案。同時由于靜壓軸承的設計需要根據機械設計手冊的要求進行設計，參數的選擇是非線性的，粒子群算法更適用于參數為非線性情況[12]。基于以上討論，這里采用粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization），以提高軸承的油膜剛度、降低功率損失和降低溫升為目標對靜壓軸承進行多目標優化。

2 理論模型建立

2.1 靜壓軸承的結構和工作原理

軋輥磨床靜壓軸承的簡化圖，如圖1所示。軋輥磨床的靜壓軸承由傳統的四個油腔和四個進油孔還有四個過油槽組成。靜壓軸承是由外部的潤滑油泵提供壓力來形成潤滑油膜以承受載荷。軸承和軸是同心的，各部分的油腔中壓力、流量等都是相等的。軸承的補償元件對軸承的承載能力和油膜剛度有很大的影響，當軸承受到外力作用時，由于補償元件調節與補償，使軸承所受的力與軸承油腔形成的油膜而產生的力平衡，使軸始終在軸承的中心位置，相對于動壓軸承來說，靜壓軸承所受到的摩擦更小。

圖1 靜壓軸承結構Fig.1 Hydrostatic Bearing Structure

2.2 靜壓軸承的設計參數

圖2 四油腔靜壓軸承結構示意圖Fig.2 Schematic Diagram of Hydrostatic Bearing with Four Oil Chamber

液體靜壓軸承的潤滑原理：潤滑油通過各小孔節流器進入軸承內各油腔。空載時，各油腔形狀面積相同且對稱分布，每個節流器的節流能力相同，節流阻力相等，各油腔壓力也相等，此時軸承間隙相同，主軸受到各油腔的承載力作用后平衡，油腔承載力使主軸浮起。軸承封油邊和主軸之間的間隙具有一定的阻尼作用，能使油腔內保持一定的壓力始終能將主軸浮起，潤滑油也會從封油邊流出進入主軸油箱，形成油路參與到主主軸的潤滑系統[13]。

軋輥磨床靜壓軸承初始設計參數具體，如表1所示。

表1 軸承結構尺寸及工作參數Tab.1 Bearing Structure Size and Working Parameters

3 設計變量對目標函數的影響

在有多個變量對同一目標函數具有不同影響的分析中，為了能夠更加清楚直觀的看到各個設計變量對目標函數的影響，我們采用控制變量的方法對多個變量逐一分析，將其余變量確定為常數，賦予一定值，僅將所研究設計變量作為自變量，排除其余變量影響，以得出該設計變量對目標函數變量的具體影響。

對軸承性能的研究中影響目標函數油膜剛度、總功耗、溫升的設計變量分別為：D—軸承直徑；B—軸承寬度；b—軸向封油面寬度和h0—軸承間隙。在確定其中某一參數對目標函數的影響時，將其余參數作為初始設計參數值不變，以確保僅該變量是影響目標函數的唯一影響量，這樣才能正確看出某一參數對目標函數的具體影響情況。

當在研究變量D，也就是軸承直徑對油膜剛度的影響時，我們將其余三個設計變量作為常數，即賦予其余三個變量表1中的初始設計變量值，即B為10cm、b為1.5cm、h0為0.0025cm，將上述值代入目標函數，以變量D為橫坐標，油膜剛度為縱坐標，經Matlab計算得出結果，如圖3（a）所示。以此類推，分別得出余下三個變量對油膜剛度影響的變化曲線圖，如圖3所示。

圖3 各變量對目標函數J的影響Fig.3 Influence of Each Variable on the Objective Function J

同樣的，我們以相同的方法可以得出，四個變量對N（軸承總功耗）的影響，得出的以不同設計變量為橫坐標、N（軸承總功耗）為縱坐標的曲線圖，如圖4所示。

圖4 各變量對目標函數N的影響Fig.4 Influence of Each Variable on the Objective Function N

由于可以通過控制功率損耗間接控制溫升，變量對軸承溫升的變化曲線與功率損耗變化曲線大致相同，所以此處不再繪制。由圖3、圖4可知，當一個目標優化時另一個目標會導致惡化，例如當油膜間隙h0減小時，軸承功率損耗和溫升會減小，但同時油膜剛度減小，剛度不能達到要求，所以應當綜合提高軸承的油膜剛度、降低功率損失和降低溫升三點要素對靜壓軸承進行多目標優化，使靜壓軸承能夠得到較好的工作性能，尋找最優的設計參數。

4 靜壓軸承的優化設計

受到動物行為的啟發，文獻[14]在1995年提出了一種優化方法，稱為粒子群優化（PSO）。在這種方法中，一群粒子同時探索一個問題的搜索空間，目標是找到全局最優配置。PSO最初是用來模擬一群鳥類在玉米地里覓食的行為。粒子群模型的早期版本只是為了模擬而開發的。后來發現，該算法在優化連續非線性無約束函數時非常有效，所以對于靜壓軸承的優化設計很有效。

4.1 邊界條件

影響靜壓軸承的參數很多，主要需要從軸承的幾何參數和性能參數幾個方面來進行選擇，所有的主要邊界條件[15-16]為：軸承內徑D：X1（cm）、軸承寬度B：X（2cm）、軸承軸向封油面寬度b：X（3cm）、軸承間隙h0：X（4cm），由于軸承的周向封油面寬度c不是獨立結構參數，C=D(θ1-θ2)，故其不為設計變量。根據文獻[17-18]可得設計變量的邊界條件：

軸向封油面寬度與軸承寬度比b/B：

小孔節流器孔徑約束：

式中：Cd—油墊流量系數；ρ—潤滑油密度，kgf·s2/cm4；ps—供油壓力，kgf·s2/cm2，ps=20kgf·s2/cm2；η—潤滑油的粘度，kgf·s2/cm2，η=8.6×10-8kgf·s2/cm2，ρ=8.27×10-7kgf·s2/cm4。

代入式（5）中可得小孔節流器孔徑約束的最終表達式：

式中：θ1—軸承周向封油面內側半徑角，且θ1=30°；θ2—周向封油面外側半角，且θ2=45°。

4.2 目標函數的計算

隨著高速軋輥磨床的應用，主軸轉速不斷提高，導致軸承的溫升成為一個不可忽視的方面，同時靜壓軸承溫度太高會導致潤滑失效，使軸承發生膠合破壞；并且降低靜壓軸承的總功耗可以提高靜壓軸承的工作效率；同時提高軸承的油膜剛度會提高軸承的工作精度，所以目標函數分別為靜壓軸承的油膜剛度、靜壓軸承的總功耗以及靜壓軸承的溫升，以期望獲得較高的軸承油膜剛度、較低的功率損耗和較低的溫升。

選取最小功率損耗N（X）、最大油膜剛度J（X）、最小溫升T（X）作為目標函數，表達式分別為：

式中：Nf0—軸承摩擦功耗，kW；Np0—軸承泵功耗，kW；η—平均工作油溫潤滑油的動力粘度，kgf/cm2，η=8.6×10-8kgf/cm2；V—軸承圓周速度，cm/s；Af—軸承摩擦面積，cm2；Cd—油墊流量系數；q0—軸承油墊流量，cm3/s；p0—油腔設計壓力。

軸承摩擦功耗表達式為：

軸承泵功耗表達式為：

軸承圓周速度表達式為：

軸承摩擦面積的表達式為：

軸承的油墊流量表達式為：

軸承油墊流量系數表達式為：

油腔設計壓力表達式為：

將式（8）～式（14）帶入式（7）可得目標函數總的功率損耗的最終表達式：

本次論壇上，專家們對清華附小主題教學的新發展給予了充分肯定。北京教科院基礎教育課程教材發展研究中心王凱副主任認為主題教學試圖讓學生實現從“在場”到“入場”的轉變，在真實體驗中實際獲得，提出了工具作為腳手架和通道的重要意義。北京師范大學胡定榮教授認為語文學科無邊界，主題教學用課程觀引領了學科教學和教師專業發展。北京教育學院劉加霞院長認為主題教學更加關注學生的體驗與獲得，采用了“分學科、綜合用”這一最有效的學習方式來真正實現學習方式的變革。

目標函數靜壓軸承油膜剛度表達式為：

而式（16）中小孔節流的最佳節流比為β=1.71，Ae—軸承油墊有效面積（cm2）。

將式（17）帶入式（16）可得目標函數油膜剛度的最終表達式：

目標函數靜壓軸承溫升的最終表達式為：

5 優化設計結果及分析

對上文已知人工設計參數[18]的靜壓軸承進行多目標優化設計。

5.1 求解步驟

（1）將三個目標函數都轉化為求最小，即-J（X）、N（X）、T（X）。

（2）對三個目標函數進行歸一化處理。

（3）在約束范圍內初始化種群和給予初速度，令為約束范圍的2%。

（4）給三個目標函數以系數求整體最優，F(X)=α1J(X)+α2T(X)+α3N(X)，三個系數變化范圍在（0～1），以罰函數的方式使得三個系數加和為1。為了達到整體最優，在某范圍內優化更快的目標函數將被賦予更大的系數，加上MATLAB 的解算精度問題，導致結果具有不穩定性，為了解決這一不穩定，將程序運行10000次，取其中結果最優對應的參數、系數、以及對應各個目標函數的優化結果。

5.2 求解結果

經過程序1000次迭代，得到最優結果可得X1=7.7829cm，X2=11.3249cm，X3=1.1477，X4=0.0022cm，且系數分別為α1=0.2161，α2=0.3509，α3=0.4330，同時可得油膜剛度最優解Jbest(X)=7.8722×105kgf/cm，而由人工設計的油膜剛度J(X)=(7.434×105)kgf/cm，增加了（4.382×104）kgf/cm，且軸承油膜間隙由0.0025cm 降低為0.0022cm，油膜厚度的設計對整個軸承的性能有很大的影響，油膜厚度對軸承承載能力影響較大，理論上講油膜厚度越小越好，但是油膜厚度太小后容易造成油膜支撐效應失效，在高速加工中容易發生抱軸現象。

因此，根據靜壓軸承設計手冊進行設計計算，采用優化算法進行優化，隨著膜厚的減小，油膜壓力增大，油膜的承載能力隨之增強［19-21］。同時溫升的最優解Tbest(X)=16.2157°C，而人工設計變量求得的溫升的解T（X）=25.442℃，降低了36.26%。靜壓軸承的溫升大大減小，溫度的升高會改變軸承的各項指標，導致工作狀態惡化，而溫升的降低能使得靜壓軸承的工作狀況更加穩定和良性化。功率損耗最優解Nbest(X)=0.0643kW，而人工設計變量的功率損耗N（X）=0.1144kW，功率損耗降低了42.28%，軸承的損耗大大降低，間接地控制了溫升，對提高軸承的性能有很大的幫助。

5.3 流固耦合

利用CFD軟件中Fluent進行油膜的壓力場分析，接著采用流固耦合分析方法，在Workbench中將Fluent中的油膜壓力數據映射到軸瓦內表面，對靜壓軸承裝配體進行了結構靜力學分析[22]，結果表明該軸承能滿足工作要求且變形和應力均減小。進一步表明優化結果的可靠性。

首先在gambit中對軸承進行網格劃分，將靜壓軸承分塊進行網格劃分，網格如下圖速所示。啟動Ansys Workbench中的Fluent模塊，在進行參數的調節，潤滑油密度為874kg/m3。邊界條件為：油膜壓力入口2MPa，壓力出口0MPa。油膜轉速為2000rpm，油膜外壁設為靜止壁面。因為這里中滑動軸承流場粘性力遠遠大于慣性力，所以使用層流（Laminar模型），同時還要考慮靜壓軸承油膜的空穴問題，在Ansys 中使用Singhal-ET-AL Cavitation Model空穴模型。

由上圖5（a）、圖5（b）可知，優化前油膜最大壓力為2.28×106Pa，優化后油膜最大壓力為2.35×106Pa，由于軸承沒有偏心，所以進油口處的壓力最大。

圖5 優化前后油膜壓力分布Fig.5 Oil Film Pressure Distribution Before and After Optimization

由圖6、圖7 可知，優化前軸瓦最大應力為14.098MPa，優化后的軸瓦最大應力為12.543MPa，最大應力有所減小，且均小于45號鋼應力極限120MPa。優化前軸瓦變形為0.0030972mm，優化后變形為0.0029201mm，優化后變形減小，且均小于45號鋼許用變形0.06mm，所以優化后的軸承應力和變形均滿足條件，且均有一定的優化，證明此多目標優化方法可行。

圖6 優化前軸瓦的應力和變形圖Fig.6 Stress and Deformation Diagram of Bearing Bush Before Optimization

圖7 優化后軸瓦的應力和變形Fig.7 Stress and Deformation of Bearing Bush After Optimization

6 結論

以往軸承采用的優化方法均為單目標優化或者雙目標優化，對靜壓軸承的研究采用三目標優化，以增大油膜剛度，減小功率損耗和溫升，可大大優化軸承的性能。通過一定次數的粒子群優化算法的迭代，使得軸承的油膜剛度增加了4.382×104kgf/cm，同時溫升和功率損耗均分別降低了36.26%和42.28%，溫升的降低較為突出。在通過流固耦合分析發現優化后軸承的應力和變形也有所減小，且均滿足軸承45號鋼的許用應力和許用變形，證明此多目標優化是可行且有效的，為往后軋輥磨床靜壓軸承的設計提供一定的指導。