果蠅算法的MPSR-MKSVR軸承剩余壽命預測綜合優化

陶沙沙，江星星

（1.成都工業職業技術學院，四川 成都 610000；2.蘇州大學城市軌道交通學院，江蘇 蘇州 215137）

1 引言

滾動軸承作為各類機械設備的核心承力部件，對系統的正常運行產生了至關重要的作用[1]。正是由于其地位的特殊性與重要性，軸承的研究在機械領域成為了的一大熱點。軸承剩余壽命預測對機械設備的使用和維護具有重大的意義，因此廣大學者提出了諸多軸承剩余壽命預測的方法[2]。

文獻[3]使用粒子群優化SVR參數對機械密封剩余壽命進行了預測，取得不錯的效果；文獻[4]利用小波變換得到的多域綜合特征作為模型輸入構造了SVR預測模型；文獻[5]利用相空間重構與SVR結合的方式實現了軸承的剩余壽命預測。這些研究成果顯示，SVR在中小樣本下的軸承剩余壽命預測中具有較強的優勢。以上研究均是直接將多個特征向量進行融合，得到性能退化指標，然后進行壽命預測，該方法可能導致在SVDD融合處理過程中使得原本有限的退化信息丟失，影響預測精度，而且單一核函數的SVR模型無法兼顧學習能力與泛化能力；另外，相空間重構與SVR預測參數的獨立選取方式也會使得預測結果存在較大的保守性。

針對上述問題，這里提出了一種基于果蠅優化算法的MPSR-MKSVR 軸承剩余壽命預測綜合優化方法，將多核函數SVR的構造問題轉換為優化問題，并且提出了MPSR-MKSVR聯合優化策略，進一步減小了預測的保守性，提升了預測精度。

2 基本原理

2.1 多變量相空間重構

單變量混沌時間序列是通過單一時間變量還原系統的動力學特性進行應用分析[6]，但是在小樣本條件下，對支持向量數據描述得到的綜合性能指標進行單變量相空間重構理論，可能在SVDD融合處理過程使得原本有限的退化信息丟失，從而相空間重構不能完整的還原軸承退化的動力學特性，從而導致有效信息丟失和預測結果不精確。

利用多變量相空間重構對各個特征信號先進行直接重構，然后再將重構的相空間作為輸入進行SVDD融合，從而能夠更完整地整合軸承各個特征信號失效的真實動力學特性，彌補了單變量相空間重構信息不完備的缺點。

設軸承振動特征向量組成的D維時間序列為：

2.2 多核支持向量回歸模型

支持向量回歸機作為一種基于統計學習理論的機器學習算法，在數據的回歸與預測領域得到了廣泛的應用[7]。

定義一個非線性映射φ(·):Rn→Rnh，該非線性映射作用是將輸入數據x={x1，x2，…，xn} 從n維空間Rn映射到另一個高維特征空間Rnh。在該高維空間中存在一個線性函數f，使得該線性函數可以表征輸入與輸出之間的非線性關系，該線性函數f就稱為支持向量回歸函數，相應的表達式為：

式中：x—在n維空間Rn中的輸入值；f(x)—SVR 預測值，W∈Rnh與b是可調參數，支持向量回歸預測的原理為優化實驗風險值，其表達式為：

其中，Θε(y，f(x))代表關于敏感系數ε的敏感損失函數，定義式為：

該函數的作用為找到高位特征空間的最優超平面，從而最大程度地分離兩類數據。所以SVR 目的在于找到最優超平面，最小化訓練數據和敏感損失函數之間的訓練誤差［8］。

因此SVR最小誤差表達式為：

相應的約束條件為：

式（5）中的第一部分主要作用為實現權重分配，保證回歸函數的平滑性；第二部分為敏感損失函數與預測值之間的訓練誤差，而參數C為平衡參數。其中，當訓練誤差大于+ε時用表示，當訓練誤差小于-ε時用ξi。參數向量W可以表示為：

式中：K(Xi，X)—核函數。

根據SVM的原理可知核函數的選取對最后的回歸預測有重大影響[9]。核函數在針對確定的特征空間和對應映射，可以大幅度的減少計算復雜性。常見的三種核函數形式主要為：

①多項式核函數：

②Sigmoid核函數：

③高斯核函數：

式中：x，y—輸入空間向量；λ，c，d，η，σ—核函數的參數。

已知核函數滿足如下性質[10]：（1）假設K1和K2均為核函數，α1和α2均為正實數，則K=α1K1+α2K2也是核函數；（2）假設K1和K2均為核函數，則K=K1·K2也是核函數；（3）假設K1為核函數，則K=exp(K1)也是核函數；

根據上述三條性質，可以得到無數個不同的核函數，其組合關系，如圖1所示。

圖1 核函數組合示意圖Fig.1 Kernel Function Combination Diagram

式中：Ki—利用上述三條性質的單個核函數任意排列組合得到的新核函數；ωi—各個組合核函數的權重系數。

該多核函數綜合了各種核函數的特點，且通過權值系數大小調整不同核函數對預測精度的影響大小，從而將核函數的選擇問題轉換為核函數權值的求解問題，從而綜合各個核函數的特征，提升支持向量機的精度。

2.3 多子種群混沌自適應果蠅算法

果蠅優化算法的思想來自于對果蠅群體覓食行為的推演模擬。果蠅群體尋找食物是從味道濃度小的區域逐漸向味道濃度大的區域聚集，果蠅會利用敏銳的視覺器官逐漸飛向食物源，直到找到最終目標。果蠅優化算法相比其他群智能算法在調整參數數目、收斂速度和優化性能等方面存在優勢，但基本果蠅優化算法仍存在以下2種不足[11]。

（1）作為一種進化算法，果蠅優化算法存在種群多樣性下降的弊端，易陷入局部最優解；

（2）在算法迭代尋優的過程中，所有果蠅個體只向上一代中最優果蠅個體學習，并在該個體的附近隨機尋優，若上一代最優個體不是當代全局最優，容易使算法收斂速度變慢和優化性能變差。

為提升算法的搜索能力，引入協同子種群策略來減少算法運行過程中損失的種群多樣性。協同子種群策略為：

（1）果蠅種群中同時存在多個子種群，每個子種群獨立移動且同步對可行域空間進行感知搜索；

（2）多子種群具有相同子種群規模；

（3）每一代多子種群個體同時參與全局最優解的判定。

另外，在基本FOA中，果蠅飛行中每代最優位置的更新是基于隨機步長，這很難使果蠅種群按照先在大范圍搜索最優區域，再在最優區域小范圍內尋優的思路飛行，即易導致果蠅種群飛越全局最優位置。為平衡全局搜索與局部搜索，引入自適應調整系數μ及自適應步長lx、ly：

式中：gmax、g—最大和當前迭代次數，為協同子種群初始位置。

通過引入μ、lx和ly，可使果蠅種群在可行域內先用大步長尋找全局最優位置所在的大范圍；隨著果蠅的迭代進化，果蠅種群逐漸向全局最優解所在的小范圍聚集；此時，果蠅種群開始運用小步長在小范圍尋找全局最優解。這樣可提高果蠅種群尋找到全局最優解的概率。

為進一步提高算法搜索過程中的全局種群混沌特性，結合混沌映射的遍歷性，引入基于Cat映射的兩階混沌攝動機制的參數α和β[18]。其定義一般描述為：

式中：mod—取模運算；0 ＜αk，βk＜1且為實數；a，b，N—正整數，這里常取N=1。

改進的改進FOA具體實現步驟可歸納如下：

（1）初始化參數，包括種群規模sizepop，最大迭代次數gmax，協同子種群數目m，混沌參數α0和β0，混沌協同子種群初始位置

（2）嗅覺搜索，給出子種群i中所有果蠅個體搜索的方向和距離。其中，1 ≤j≤sizepop，0 ≤g≤gmax。

（4）輸入需要被優化的模型，計算混沌協同子種群中果蠅個體的味道濃度值（即適應度值），所有混沌協同子種群的果蠅均參與全局最優濃度值的判定，找出所有子種群全局最優的果蠅個體。

（5）記錄當前一代混沌協同子種群中的全局最優味道濃度bestSmellg及全局最優果蠅個體的位置坐標。其中，（ig，jg）為當前一代混沌協同子種群中全局最優果蠅的個體位置坐標。

（6）視覺飛行，混沌協同子種群果蠅飛向當前一代全局最優濃度的坐標；同時，經過新一輪的混沌映射更新的果蠅混沌協同群體，根據適應度值將重新獲得群體與原群體混合，用適應度值排在前面的新個體替換原個體，此時位置坐標更新為

（7）判斷算法是否滿足算法結束條件（精度要求和最大迭代次數）。若滿足，結束優化過程，即得到全局最優解及相應的優化參數；反之，轉到（7）。

（8）迭代尋優，令g=g+1，重復執行（2）～（5），直到滿足算法結束條件；得到的最終結果即全局最優果蠅個體(Xbest,Ybest)含有的元素將是優化矩陣中被優化參數的全局最優解

3 軸承剩余壽命預測綜合優化策略

定義單個果蠅為F=(τi，mi，C，δ，λ，c，d，η，δ，w1，w2，…，wn)，該軸承剩余壽命預測綜合優化可以轉換為尋找最優人工魚Fopt，使得適應度函數Fitness接近0，適應度函數的表達式為：

式中：yi—軸承的真實剩余壽命；—壽命預測值。適應度函數越接近0，說明該預測精度越高。根據Takens嵌入定理［12］，嵌入維數必須滿足?=≥2·D+1，所以約束條件為：

基于改進FOA的MPSR-MKSVR 電力負荷預測的綜合優化步驟如下：

（1）參數初始化。生成初始果蠅F即：

給定(τi，mi，C，δ，λ，c，d，η，δ，w1，w2，…，wn)代表初始果蠅的狀態，并確定其他固定參數。

（2）判斷是否符合約束條件（21），若滿足，則利用延遲時間τi與嵌入維數mi對選擇的多個特征向量進行多變量相空間重構。若不滿足，則直接跳至（5）。

（3）將重構后的向量作為支持向量數據描述的輸入得到相應的退化評估結果以及綜合性能退化指標。

（4）將該綜合性能退化指標作為多核支持向量回歸的輸入，根據給定的多核支持向量回歸機的各個參數以及核函數權值對訓練樣本進行訓練預測，求出適應度函數Fitness。

（5）果蠅執行一次飛行，根據果蠅優化算法的步驟移動到新的位置，并且返回（2）。

（6）判斷是否達到最大迭代次數，若滿足，則停止算法并輸出最優值以及對應的果蠅個體，即可得到最優的模型參數；否則返回（5），再進行下一次迭代尋優。

4 試驗與結果分析

4.1 軸承疲勞失效試驗

本實驗采用的軸承疲勞試驗機，如圖2所示。

圖2 軸承疲勞試驗機Fig.2 Bearing Fatigue Testing Machine

該試驗機主要由轉動部分、加載部分和測量部分組成。振動的采樣頻率為25600Hz，溫度的采樣頻率為10Hz，轉速為1500r/min，徑向加載力為5000N和8000N。

軸承疲勞試驗機工作到軸承故障時停止。另外為了避免整個實驗臺發生故障（同時出于安全考慮），在振動的加速度超過了20g時測試停止。

4.2 預測結果分析

為簡化優化參數，根據文獻［4］令不敏感系數ε=0.01，多項式核函數參數d=3，其它參數滿足λ∈[0，3]，c∈[0，3]，σ∈[0，1]，已知經過預處理得到的軸承特征向量，如表1所示。

表1 特征向量表達式Tab.1 Eigenvector Expressions

為減少計算量，取其中的 為多變量相空間重構的特征向量，所以變量維數D=4，為減少計算量，相應的子核函數個數n=6，其組成，如表2所示。

表2 核函數組成Tab.2 Composition of Kernel Functions

在求解過程中，設置尋優解空間為[-10,10]6，采樣步長為τ=20ms，最大迭代次數gmax=1000，種群規模sizepop=100，協同子種群m=5,α0=β0=0.7。

取徑向加載力為5000N的退化軸承數據進行驗證，為了驗證本文方法的有效性，利用四種不同的預測模型進行對比：

（1）PSR-SVR：選取同樣的四個特征向量，利用SVDD得到退化評估指標，對該指標進行相空間重構，然后利用高斯核函數SVR 進行預測。其中相空間重構的參數選擇利用CAO 方法確定，SVR參數通過改進FOA優化。

（2）MPSR-SVR：選取同樣的四個特征向量，通過多變量相空間重構和SVDD得到退化評估指標，然后利用高斯核函數SVR進行預測。其中相空間重構的參數選擇利用CAO 方法確定，SVR參數通過改進FOA優化。

（3）MPSR-MKSVR 參數獨立選擇：選取同樣的四個特征向量，通過多變量相空間重構和SVDD得到退化評估指標，然后利用MKSVR進行預測。其中相空間重構的參數選擇利用CAO方法確定，核函數權值通過改進FOA確定。

（4）MPSR-MKSVR綜合優化：選取同樣的四個特征向量，通過多變量相空間重構和SVDD 得到退化評估指標，然后利用MKSVR進行預測。其中相空間重構與核函數權值通過改進FOA進行聯合優化。

首先利用改進FOA進行預測模型參數優化，優化適應度函數，如圖3所示。

圖3 優化對比結果Fig.3 Optimized Comparison Results

從表3中可以看出混沌果蠅算法優化的適應度函數Fitness相對于其他兩種優化方法最接近0，說明該種算法的收斂精度更高。

表3 優化對比結果Tab.3 Optimized Comparison Results

另外，其收斂迭代次數為26，較基本果蠅與自適應果蠅分別減少了58次和8次，證明了該種混沌自適應果蠅算法在多參數尋優問題中依舊能夠在保證較快的收斂速度以及較高的收斂精度。

相應的各個核函數的權值優化曲線，如圖4所示。同理可以得到其他參數的大小。

圖4 核函數權值優化結果Fig.4 Weight Optimization Results of Kernel Functions

利用上述優化得到的參數首先對四個特征向量進行相空間重構，進一步將得到的多變量相空間作為支持向量數據描述的輸入參數，從而得到相應的性能退化評估指標。性能退化評估結果如圖5所示。

圖5 軸承退化曲線Fig.5 Bearing Degradation Curve

從圖中可以看出當時間達到14.89ks時，此時監測系數IN已經到達設定的閾值，則判定14.89ks為軸承的初始失效時刻。根據軸承的退化曲線可得到軸承的失效點，即軸承的運行壽命，進一步利用SVR預測軸承的剩余壽命。

分別利用四種預測方法對軸承的剩余壽命進行預測，預測結果圖以及絕對誤差圖，如圖6、圖7所示。從中可以看出MPSRMKSVR聯合優化最靠近真實負荷曲線，且絕對誤差曲線最接近理想誤差線。

圖6 壽命預測結果圖Fig.6 Life Prediction Result Cchart

圖7 壽命預測誤差圖Fig.7 Life Prediction Error Diagram

為更直觀的比較各個方法之間的優劣，表4顯示了四種方法在不同時間點的預測值與實際值MAE 和MAPE，從表中可以看出，PSR-SVR 參數獨立優化方法的MAPE 為2.38%，而MPSRSVR 獨立優化方法與MPSR-MKSVR 獨立優化的MAPE 分別減小了0.22%和1.32%，證明了多變量相空間重構能夠提升預測精度，多核函數相對于單一核函數來說對預測精度也有較大的提升作用，而且對比MPSR-SVR獨立優化方法與MPSR-MKSVR獨立優化方法可知，多核函數在提升預測精度的影響上明顯強于多變量重構。另外，MPSR-MKSVR 聯合優化相比于MPSR-MKSVR獨立優化的MAPE減少了0.51%，進一步說明了聯合優化相對于獨立選擇優化，其預測精度更高。

表4 壽命預測誤差表Tab.4 Error Table for Life Prediction

為進行進一步的驗證，利用實驗中徑向力為8000N的軸承退化數據作為研究對象，再利用上述四種方法對軸承的剩余壽命預測，相應的退化性能評估曲線，從退化結果可以得到軸承的初始失效時刻以及最終失效點，進一步利用SVR進行剩余壽命預測，如圖8所示。

圖8 軸承退化曲線Fig.8 Bearing Degradation Curve

軸承剩余壽命預測結果圖以及誤差圖，如圖9、圖10 所示。從中可以看出預測結果前一個驗證軸承結果類似，MPSR-MKSVR聯合優化相對于其他優化方法來說最靠近真實負荷曲線，且絕對誤差曲線最接近理想誤差線。

圖9 壽命預測結果圖Fig.9 Life Prediction Result Diagram

圖10 壽命預測誤差圖Fig.10 Life Prediction Error Diagram

同理，表5顯示了四種方法在不同時間點的預測值與實際值平均絕對誤差與平均相對誤差，從表中可以看出，PSR-SVR參數獨立優化方法的平均相對誤差為1.91%，而MPSR-SVR獨立優化方法與MPSR-MKSVR 獨立優化的平均誤差分別減小了0.45%和0.83%，同樣說明了多變量相空間重構與多核函數對預測精度均有提升作用，而且多核函數在提升預測精度的影響上明顯強于多變量重構。另外，MPSR-MKSVR 聯合優化相MPSR-MKSVR獨立優化的平均相對誤差減少了1.43%，同樣說明了聯合優化相對于獨立選擇優化的預測精度更高。

5 結論

這里針對小樣本條件下的軸承剩余壽命預測提出了一種基于多子種群混沌自適應果蠅算法的MPSR-MKSVR 綜合預測優化方法，最后利用實驗測量數據進行驗證得到如下結論：

（1）多變量相空間重構相比于單變量相空間重構能夠更完整的整合各個特征向量中蘊含的故障信息，能夠有效提升預測精度。

（2）相空間重構與支持向量回歸的參數綜合優化相較于參數獨立選擇能夠提升預測模型的預測精度。

（3）將多核支持向量回歸的組合核函數構造問題轉換為系數優化問題，為多核函數的構造提供了一種普遍方法。

（4）所提出的MPSR-MKSVR綜合優化的對軸承剩余壽命預測精度明顯較高，說明該方法能夠較為有效的提升軸承剩余壽命預測精度，且對不同實驗條件下的軸承剩余壽命預測均能保證較大精度，進一步證明了該綜合優化方法的應用具備一定的魯棒性。