PRR偽剛體模型及其在柔性機構運動分析中的應用

任曉智，薄瑞峰，路建鵬

（1.廣西大學機械工程學院，廣西 南寧 530004；2.中北大學機械工程學院，山西 太原 030051）

1 引言

柔性機構是一種利用自身柔性桿件或柔性鉸鏈的彈性變形來完成運動、力和能量傳遞和轉換的新型免裝配機構。與剛性機構相比，柔性構件間沒有剛性副連接，結構更加緊湊，構件數目和機構重量大為減少，因而也簡化了制造過程，減少了裝配時間和成本。同時，剛性機構中運動副間隙導致的傳動精度差、振動噪音高、摩擦磨損問題嚴重也得到改善，故而在提高性能和降低成本方面比剛性機構具有更大的優勢[1-2]。

但是，在柔性機構研究領域，由于需采用非線性方程來描述柔性桿大變形造成的幾何非線性特征，因而帶來了很多不便，盡管橢圓積分法和有限元法廣泛應用于大變形分析[1]，但是仍存在著計算復雜、求解困難的問題，因而需要一種更加簡單有效的方法對非線性大變形系統進行分析。由文獻[3-8]提出的偽剛體模型法將柔性桿（或鉸鏈）等效為剛體桿模型，用剛體桿之間附加的彈簧來描述等效的力/變形關系，然后利用剛體機構的基本理論，對柔性機構進行分析和綜合，從而大大簡化了柔性桿變形分析過程，而且精度也可以得到保證，因而成為柔性機構研究領域中一種十分有效的方法。

針對圖1所示的大變形柔性懸臂梁，由文獻[1]提出了著名的1R偽剛體模型，如圖2所示。柔性梁末端的變形用兩個鉸接的剛體桿來描述，鉸接點處采用扭簧連接，該模型用扭簧表征柔性桿橫向大變形，但并沒有考慮軸向變形作用。文獻[9-10]提出了具有移動副的二自由度PR模型，如圖3所示。在橫向變形的基礎上，盡管考慮了軸向變形的作用，但是由于其自由度較低，模擬柔性梁大變形的精確度依然較低。

圖1 大變形柔性梁Fig.1 Large Deformation Flexible Beam

圖2 1R偽剛體模型Fig.2 1R Pseudo Rigid Body Model

圖3 PR偽剛體模型Fig.3 PR Pseudo Rigid Body Model

因此，這里在1R和PR模型的基礎上，兼顧柔性懸臂梁的橫向變形和軸向變形，建立了一種具有三自由度的PRR偽剛體模型，柔性梁的橫向變形用兩個轉動副表征，軸向變形用一個移動副表征，由于自由度的增加，其模擬精度更加精確。為了驗證該模型的有效性和簡便性，這里選用大變形柔性曲柄滑塊機構和四桿機構兩種機構，進行了應用研究。

2 PRR偽剛體模型的描述

針對圖1所示末端受力載荷初始長度為l的大變形柔性梁，圖4中建立了其對應的PRR偽剛體模型[11]，柔性梁自由端的軌跡用3個偽剛體桿來描述，其長度用γil表示，(i=0，1，2)，γi—各剛體桿的特征半徑系數，且γ0+γ1+γ2=1；3桿之間兩兩鉸接，轉動副用兩個具有不同扭簧系數K1和K2的扭簧表示，與固定端剛性桿之間用移動副連接，移動副用一個彈簧系數為K的拉壓彈簧表示，Δγ0l為移動副的位移，Δγ0是變特征半徑系數；兩個轉動副的轉角用Θ1，Θ2表示，Θ—末端斜角。作用于柔性梁末端的力F0可以看作是垂直方向分力P與水平方向分力nP的合力：

圖4 PRR偽剛體模型Fig.4 Pseudo Rigid Body Model

圖中：載荷角?—末端力F0與x軸正向的夾角。

PRR偽剛體模型中的特征參數包括剛體桿的特征半徑系數和彈簧常數，分別通過參數化近似和線性回歸的方法獲得[11]，并且隨載荷角的變化而變化，但是在很大角度范圍內，其變化并不大。簡化計算，取其平均值[11-12]，如表1所示。

表1 偽剛體模型中各特征參數的數值Tab.1 Numerical Values of Each Characteristic Parameter in the Pseudo Rigid Body Model

3 柔性曲柄滑塊機構的應用研究

對于帶柔性桿的柔性機構，由于變形桿件的幾何非線性，利用傳統解析法分析非常復雜。而利用本文提出的PRR偽剛體模型可以很大程度上使分析過程簡化，在模擬精度上也滿足要求。下面首先以大變形的柔性曲柄滑塊機構為例進行分析。

3.1 基于橢圓積分法的變形分析

一個帶柔性桿的曲柄滑塊機構，如圖5所示。

圖5 帶柔性桿的曲柄滑塊機構Fig.5 Crank Slider Mechanism with Flexible Rod

與剛性曲柄AC相連的柔性桿在A端受力載荷作用，假定初始柔性桿為直桿，長度l1=50mm，變形后其水平變形為a，垂直變形為b，曲柄長度為l2=30mm，轉角為α，驅動力矩為T，滑塊的偏距為e=5mm，xk—滑塊的水平位移。

假定滑塊在運動中與地面無摩擦，通過位置分析，滑塊位移xk與曲柄轉角α之間的關系為：

其中，柔性桿件的末端位置方程用橢圓積分法[1，12]得出：

由以上公式很難獲得滑塊位移xk與曲柄轉角α之間運動學關系的顯式表達式，且推導計算過程較復雜，得到的是滑塊位移的近似數值解，關系曲線，如圖8所示。

3.2 基于偽剛體模型法的變形分析

采用偽剛體模型法可以將柔性曲柄滑塊機構中的柔性桿用剛性桿和彈簧的組合模型模擬，將柔性機構等效為偽剛體模型，利用剛體機構的基本理論，同時考慮柔性元件變形的限制，從而方便地求出二者之間的關系。

首先建立柔性曲柄滑塊機構的偽剛體模型，如圖6所示。等效拉簧和兩個等效扭簧分別安裝在B、E和D處。

圖6 對應的偽剛體模型Fig.6 Corresponding Pseudo Rigid Body Model

由上圖，滑塊位移xk與曲柄轉角α與之間的關系式如下：

式中：偽剛體角：

至此，滑塊位移xk的表達式可寫成：

3.3 剛性曲柄滑塊機構的運動分析

剛性曲柄滑塊機構，如圖7所示。l3=50mm，曲柄的長度為l2=30mm，e=5mm。

圖7 剛性曲柄滑塊機構Fig.7 Rigid Crank Slider Mechanism

通過運動學分析得出滑塊位移xk與曲柄轉角α之間的關系式：

綜合以上三種情況，由式（3）、式（5）、式（6）可得到滑塊位移xk與曲柄轉角α的關系曲線圖，如圖8所示。

圖8 滑塊距離xk與曲柄轉角α之間的關系Fig.8 Relationship Between Slider Distance and Crank Angle

從圖中可見，在機構運動學尺寸和受載相同的條件下，由剛性和柔性兩種曲柄滑塊機構得到的滑塊位移相差較大，而對于柔性曲柄滑塊機構來說，采用偽剛體模型法得到的滑塊位移與采用橢圓積分法得到取值比較接近，誤差較小，充分證明了PRR偽剛體模型法在柔性機構運動分析中的方便性和科學性。

4 柔性四桿機構的應用研究

一帶柔性桿的平面四桿機構，如圖9所示。曲柄AB和連桿AQ為剛性構件，在Q點處與初始直柔性桿OQ固連，長度為l。機構相應的偽剛體模型，如圖10所示。在C、D、E處分別安裝兩個等效扭簧和一個等效彈簧。

圖9 帶柔性桿的四連桿機構Fig.9 Four-Bar Linkage with Flexible Rod

圖10 對應的偽剛體模型Fig.10 Corresponding Pseudo Rigid Body Model

首先，通過偽剛體模型法進行運動分析，得出該柔性四桿機構的位姿變化圖。

假定Oxy為機構的固定坐標系，Quv為運動坐標系，與連桿AQ固連，由運動學分析可得[13]：

圖11中的一條線為柔性四桿機構在原動曲柄四個不同位置時的位姿。

可以對上述柔性四桿機構的變形用有限元分析的方法來驗證，用平面梁單元來表征柔性桿OQ的大變形，對其進行單元劃分，利用有限元分析軟件ANSYS Workbench 中結構靜力分析模塊來計算柔性機構的四個運動位姿，如圖11所示。

由圖11 可見，利用PRR 偽剛體模型計算得到的柔性桿OQ的變形位姿和剛性桿AQ的運動位姿與有限元分析得到的結果盡管存在一定的誤差（θ=135°時稍大），其他各個位置誤差并不大，說明PRR偽剛體模型可以滿足柔性機構位姿分析的精度要求，再次證明了該模型在柔性機構變形分析中的有效性。

圖11 柔性四桿機構位姿比較圖Fig.11 Comparison of Poses of Flexible Four-Bar Mechanism

5 結論

這里首先對具有兩個轉動副和一個移動副的PRR偽剛體模型的構型進行了描述，然后將其應用于柔性機構的運動分析中。分別以柔性曲柄滑塊機構和四桿機構為應用對象，利用PRR偽剛體模型對其機構進行建模。利用偽剛體模型法得出滑塊位移和曲柄轉角的關系圖，并與橢圓積分得到的結果進行對比分析。利用偽剛體模型法得出柔性四桿機構的位姿變化圖，并與有限元法的結果對比分析。研究表明，基于PRR的偽剛體模型法不僅可以簡化柔性機構的分析過程，而且可以滿足精度要求，因而可以作為柔性機構研究領域中一種有效方法。