對數螺旋錐齒輪嚙入沖擊理論研究及仿真驗證

李 強，渠艷娟，王鑫龍，汝 渴

（內蒙古科技大學機械工程學院，內蒙古 包頭 014010）

1 引言

弧齒錐齒輪因其重疊性大、傳動比高、承載能力強等優點，廣泛應用于大型機械、船舶等行業。然而，傳統弧齒錐齒輪由于螺旋角不相等，導致其在傳動過程中存在不平穩以及噪聲的問題，這些問題的存在嚴重影響了設備的壽命以及使用效率。

針對上述問題，本課題組提出一種對數螺旋錐齒輪，該類齒輪以對數螺旋線為齒向線，利用該曲線的螺旋角處處相等的工程特性，實現了弧齒錐齒輪的等螺旋角嚙合[1]。

為研究該齒輪動態特性，這里對其運動過程中噪聲的影響因素進行了分析。

針對齒輪傳動過程產生噪聲這一問題，國內外學者主要從以下兩個方面進行研究：一是由于加工中產生誤差以及加載后發生變形引起的嚙合沖擊產生的噪聲；另一方面是由于齒側間隙引起的噪聲。齒側間隙引起的噪聲可以通過齒輪修形來改善[2]，本文主要分析嚙合沖擊引起的噪聲。

目前，國內外專家學者主要研究直齒輪和弧齒錐齒輪的嚙合沖擊。文獻[3]通過建立漸開線無阻尼的振動方程、分析沖擊響應得出有效改善嚙合沖擊的措施。文獻[4]通過FORTRAN語言設計計算程序確定齒輪變形后嚙入點的位置并分析了雙圓弧齒輪嚙入沖擊力與齒輪變形、端面柔度、轉速之間的關系。文獻[5]通過建立齒廓曲線數學模型，推導出嚙入沖擊點的位置，研究了齒輪基節誤差對齒輪嚙合沖擊的影響。文獻[6]通過LTCA、TCA 分析得出嚙入沖擊的位置，并分析了弧齒錐齒輪的沖擊力和轉速、負載之間的關系。文獻[7]提出齒輪把每個嚙合周期的幾何誤差和傳動誤差的交點作為嚙入沖擊點，并分析了考慮基節誤差的修形齒輪嚙入沖擊力的計算。

這里基于對數螺旋錐齒輪的特點，通過分析對數螺旋錐齒輪的齒廓方程，確定嚙入沖擊點的位置；基于所求位置利用ABAQUS后處理功能擬合出嚙合剛度、根據齒輪嚙合理論求出沖擊速度的方程；然后依據沖擊力學理論求得嚙合沖擊力表達式，最后計算了一對典型的對數螺旋錐齒輪的嚙入沖擊力。

2 嚙合沖擊理論

在理想條件下，齒輪嚙合是在理論嚙合線上進行嚙合，兩齒輪的基節（Pbi，i=1，2）相等，即Pb1=Pb2。但在實際情況下，由于加工誤差以及載荷的作用，使得齒輪在理論嚙合線以外的地方嚙合，即Pb1≠Pb2。此時兩齒輪在嚙合點的速度不等，出現速度差，從而產生了嚙合沖擊。主動輪提前開始嚙合，從動輪滯后開始嚙合，Pb1＜Pb2。由于嚙入沖擊要遠遠高于嚙出沖擊，所以主要研究嚙入沖擊。

3 嚙入沖擊計算

3.1 數學模型

對數螺旋錐齒輪的齒廓方程為：

式中：rb—齒輪的基圓半徑；β—螺旋角；θ—圓心角；γ—節錐角；α—基錐角；φ—齒輪的位置參數。

由式（1）可知，第Ⅰ對嚙合齒的齒廓1、2的矩陣形式為：

其中，當i=3，4時有：

式中：β—螺旋角；γ—節錐角，以上均由設計給定。α—基錐角，可由（1）式求得；θ—圓心角；ψ—嚙入點的位置參數。

3.2 嚙入位置的確定

設第I 對齒在理論嚙合線上嚙合，則齒廓方程滿足嚙合條件，且對應坐標相等，得如下方程：

式中：φ—壓力角；rb1—齒輪1的基圓半徑。

在式（2）中，未知數有θ1、θ2、φ1、φ2，給定齒廓1位置參數，即可解出方程。設第Ⅱ對齒齒廓上任意兩點的距離為d：

圓心角θ3=θ1、θ4=θ2，式（3）中的未知數只有φ3、φ4。總有一對φ3*、φ4*使得d最小。當d＞0時，第Ⅱ對齒未進入嚙合；當d=0時，第Ⅱ對齒開始進入嚙合。

先給定第I對齒較大的一個位置參數，然后逐漸減小，使得d逐漸減小，直到等于0，此位置即為第Ⅱ對齒嚙入位置。位置參數的確定為嚙合剛度以及沖擊速度的分析提供了必要條件。

3.3 嚙入點嚙合剛度的確定

剛度的確定除位置參數外，還需利用ABAQUS 對模型進行分析。具體步驟可概括為：在軟件中導入已建立的齒輪模型[8]、給模型賦予材料特性、定義接觸對以及設定邊界條件、給大輪施加載荷小輪施加轉速，最后求解，通過軟件后處理功能得出上述所求得的嚙合點位置的法向接觸力以及綜合變形。在剛度確定的過程中，需要注意的是：由于第Ⅱ對齒剛開始嚙合時，加載的扭矩主要由第I對齒承受，第Ⅱ對齒不會產生變形或者變形較小，這里采用對齒輪等步長進行加載的方法，得出法向接觸力Fs和綜合變形δ。最后由公式Ks=Fs／δ擬合求得嚙入點的嚙合剛度Ks。

3.4 嚙入沖擊速度的確定

由該型齒輪的嚙合理論分析可得：

式中：ωI、ωⅡ—主從動輪的轉速；j、k—坐標軸的單位矢量；Σ—軸交角。設嚙入點為M，因此有：

式中：VI、VⅡ—主動輪和從動輪的轉速。

兩輪在嚙入點M的相對運動速度Vs為：

3.5 嚙入沖擊力的計算

在實際工況中，由于齒輪承受載荷以及安裝誤差的影響，在嚙合點產生嚙合沖擊。齒輪的轉動慣量：

式中：J1、J2—主、從動齒輪的轉動慣量；ρ—齒輪材料的密度；b—齒寬；rh1、rh2—兩齒輪輪轂半徑；rb1、rb2—兩齒輪的基圓半徑。把兩齒輪轉動慣量轉化為嚙合線上的誘導質量：

式中：mrde1、mrde2—齒輪I齒輪Ⅱ的誘導質量。

沖擊點上的沖擊動能Ek為：

根據沖擊力學理論得沖擊動能Ek和齒輪嚙合剛度ks、齒輪綜合變形δ的關系為：

由式（5）～式（9）可推導出齒輪的嚙入沖擊力Fs為：

下面將通過一個算例來驗證嚙入沖擊力推導方法的正確性和可行性，進一步分析該型齒輪的動態特性，研究影響齒輪嚙入沖擊力的因素，最終達到齒輪減振降噪的目的。

4 計算實例

現計算一對對數螺旋錐齒輪的嚙入沖擊力，并分析影響其具體因素。齒輪的具體參數，如表1所示。

表1 對數螺旋錐齒輪參數表Tab.1 Logarithmic Spiral Bevel Gear Parameter Table

由給定齒輪的參數，根據式（3）可以求得嚙入點主動輪的位置參數。給定主動輪的轉速ω1=800r/min，由式（4）求得Vs=84m/min。由abaques求出Ks=81432N/mm，最后由式（10）求得Fs=12.7kN，如圖1所示。目前齒輪的發展方向為低噪、傳動平穩，嚙入沖擊是產生噪聲的重要來源之一，因此有必要分析影響嚙入沖擊的因素。由式（10）可知兩齒輪的沖擊速度、齒寬都會對嚙入沖擊力產生影響。

圖1 嚙入沖擊力Fig.1 Impact Force

現對主動輪施加負載1000N，轉速從400r/min 逐步增加到1200r/min，沖擊力的變化情況，如圖2所示。由圖可以看出，隨著轉速的增加，嚙入沖擊力增加，這種增加方式近似為線性增長。這是因為隨著轉速的增加，嚙入沖擊速度增加，進而使得嚙入沖擊力增加。圖示結果與式（10）得出的沖擊速度與嚙入沖擊力呈線性關系一致。

圖2 嚙入沖擊隨轉速的變化Fig.2 Variation of Indentation Impact with Speed

給主動輪施加負載1000N，轉速800r/min，傳動比從0.5逐步增加到6，沖擊力的變化情況，如圖3所示。由圖3可以看出當傳動比等于1時，齒輪的嚙入沖擊力最大。

圖3 嚙入沖擊力隨傳動比的變化Fig.3 Variation of the Impact Force with the Transmission Ratio

改變齒輪的寬度，嚙合沖擊力的變化情況，如圖4所示。從圖4 中可以看出，隨著齒輪寬度的增加，嚙合沖擊力逐漸增加。這是因為，給定齒輪的轉速、負載，增加齒輪寬度，必定會導致轉動慣量增加，嚙合沖擊力必定也增加。

圖4 嚙入沖擊力隨齒寬的變化Fig.4 Variation of the Impact Force with the Tooth Width

5 仿真驗證

運用ABAQUS 對對數螺旋錐齒輪的嚙入沖擊進行仿真驗證。ABAQUS是一款功能強大的非線性顯示動力學有限元分析軟件。

5.1 分析前處理

運用文獻[1]已建立的三維模型，導入到Hypermesh中進行網格劃分，因對數螺旋錐齒輪自身的特點—齒面較復雜，ABAQUS自帶的網格劃分功能不能滿足此次分析的要求，而Hypermesh是一款功能強大的有限元分析前處理軟件。

由于是分析齒輪嚙入沖擊力，為了減少計算機運算時間，所以在Hypermesh中進行網格劃分后并且取一對嚙合齒進行分析，事實上齒輪剛進入嚙合時，嚙合點位于單齒區，所以選取一對齒進行分析不會對結果產生很大的影響。

5.2 齒輪相關參數

這里所分析的齒輪的齒數是15、28，具體參數，如表1所示。

5.3 定義材料屬性

在ABAQUS 中定義齒輪的材料屬性時，需要先進行截面屬性的定義，然后對已定義的截面屬性進行材料特性的指定，再把截面屬性賦予到齒輪上，同時也把材料特性賦予給了齒輪上。本文所用齒輪的材料選取為20CrMnTi，硬度是58-63HRC，彈性模量、泊松比和密度具體參數，如表2所示。

表2 材料屬性Tab.2 Material Properties

5.4 定義接觸

定義齒輪的接觸屬性包括兩個方面，切向力和法向力。切向作用主要需要考慮相對滑動關系和摩擦類型；法向作用主要需要考慮兩表面之間的間隙。本課題選取摩擦類型為罰函數模型，相對滑動系數為0.1；兩表面為硬接觸。接觸類型選取面—面接觸類型，以及選取有限滑移公式，允許有限滑移。

由于兩輪的材料一致，所以選取網格劃分更細的小輪作為主接觸面，大輪為從接觸面。定義切向接觸的摩擦公式為罰函數，摩擦系數為0.1；定義法向接觸為硬接觸。

5.5 齒輪初始條件確定

要想確定嚙入點的沖擊力，首先要確定嚙入點的位置以及嚙入速度。第一個問題前一節已得到解決。嚙入速度是主從動輪在嚙入點沿齒廓法線方向的相對速度，即主從動輪在嚙入點的速度差。

在有限元仿真中可以使從動輪靜止，給主動輪一定的初始速度，從動輪在嚙入點沿齒廓法線方向的速度便是齒輪的嚙入沖擊速度。由于對數螺旋錐齒輪單元的旋轉自由度在ABAQUS中是不存在的，而對齒輪的加載是施加在其旋轉自由度上。因此本次分析是在齒輪的軸線上創建參考點，把所創建的參考點和齒輪進行耦合約束，這樣參考點和齒輪形成剛體連接，施加在參考點上的轉速可以被施加到耦合節點上進而作用到齒輪上，通過耦合約束來模擬齒輪加載以及邊界條件施加的工況條件。

5.6 計算結果后處理

執行求解SOLVE命令完成計算后，將會得到二進制文件，將文件導入到結果處理器中，將會輸出齒輪受力、變形云圖，以及繪制速度曲線。

5.7 數值仿真結果分析

5.7.1 速度與沖擊力的關系

給主動輪ω=200rad/s、ω=400rad/s、ω=600rad/s、ω=800rad/s四種初始角速度，齒輪的嚙入沖擊力，如圖5所示。

圖5 四種轉速下嚙入沖擊隨時間的變化Fig.5 Variation of the Impact of Ingression with Time at our Speeds

5.7.2 最大嚙入沖擊力的仿真

給定主動輪轉速ω1=800r/min，求得最大嚙入沖擊力Fs=13.0kN，如圖6所示。

圖6 嚙入沖擊力Fig.6 Impact Force

5.7.3 齒寬和嚙入沖擊力的關系

給定主動輪的轉速ω=800rad/s，可以得到不同齒寬下的嚙入沖擊力，如圖7所示。

圖7 不同齒寬齒輪的嚙入沖擊力Fig.7 Impact Force of Gears with Different Tooth Widths

通過對比仿真計算與解析計算得出的結果（表3、表4、表5）可知，誤差率都在可控范圍內。進而驗證了解析計算的正確性，以及說明了ABAQUS對分析齒輪動態特性的可行性。

表3 沖擊力（不同轉速）的解析解與數值解的對比Tab.3 Comparison of Analytical and Numerical Solutions of Impact Force（Different Speeds）

表4 最大沖擊力的解析解與數值解的對比Tab.4 Comparison of Analytical and Numerical Solutions of Maximum Impact Force

表5 沖擊力（不同齒寬）的解析解與數值解的對比Tab.5 Comparison of Analytical Solutions and Numerical Solutions of Impact Forces（Different Tooth Widths）

6 結論

（1）詳細闡述了對數螺旋錐齒輪嚙合機理，以及產生嚙入沖擊的原因；分析確定了齒輪嚙入點的位置；給出了嚙入沖力的計算方法，并通過對一對典型的對數螺旋錐齒輪的計算，驗證了該方法的正確性和可行性。（2）分析表明齒輪寬度和嚙入沖擊力成正比關系；另外得出齒輪傳動比為1時，嚙入沖擊力最大。（3）分析得出了相對沖擊速度對嚙入沖擊力影響較大，可以通過降低相對沖擊速度來實現減振降噪的目的。（4）通過ABAQUS仿真驗證了上述解析分析結果的正確性，并證明了ABAQUS 是分析對數螺旋錐齒輪動態特性的一種非常有效的工具。