多電機(jī)伺服系統(tǒng)特征模型的濾波算法設(shè)計

張翠艷，高 熠，吳益飛

（南京理工大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇 南京 210094）

1 引言

隨著我國現(xiàn)代化軍事能力不斷提高，各類新型武器層出不窮。在此發(fā)展特點下，諸如新動能武器電磁炮、萬發(fā)速射炮等新型的武器裝備被研制出來［1］。這些武器裝備需要根據(jù)機(jī)動目標(biāo)的不同狀態(tài)，實現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的快速以及高精度跟蹤鎖定。為了實現(xiàn)此目的，武器裝備伺服系統(tǒng)常為大功率驅(qū)動系統(tǒng)，且慣量變化較大。但是受到技術(shù)條件的限制，目前大多數(shù)高性能交流伺服電機(jī)的功率達(dá)到一定程度后很難再實現(xiàn)突破，故而單個高性能交流伺服電機(jī)要滿足大功率武器伺服系統(tǒng)快速、高精度的控制需求較為困難［2］。四電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)解決了驅(qū)動功率不足的問題，適用于大功率和高精度的場合。

四電機(jī)伺服系統(tǒng)是一個高階的、強(qiáng)耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，對其精確建模和設(shè)計高階控制器困難，不利于實際工程應(yīng)用。特征建模理論由某院士最初提出，該理論的核心是將復(fù)雜高階系統(tǒng)信息融入到特征模型的時變參數(shù)中，即用低階的時變差分方程來等價系統(tǒng)的動態(tài)特性［3］。它將復(fù)雜系統(tǒng)壓縮為一個低階時變差分方程表示的特征模型，將模型的高階信息壓縮在特征模型的參數(shù)中，并采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法進(jìn)行特征參數(shù)辨識。

測量噪聲在實際系統(tǒng)中普遍存在，在特征模型的參數(shù)辨識中，如果不對系統(tǒng)中的測量噪聲進(jìn)行處理，往往會造成特征參數(shù)收斂緩慢。目前針對系統(tǒng)特征模型含測量噪聲問題提出的濾波方法主要為擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。但是由于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對于存在模型不確定的系統(tǒng)魯棒性很差，并且缺少對系統(tǒng)狀態(tài)突變的快速跟蹤能力。這里設(shè)計了一種強(qiáng)跟蹤濾波算法，它對于模型參數(shù)失配有較強(qiáng)的魯棒性并且有極強(qiáng)的關(guān)于突變狀態(tài)的跟蹤能力［4-6］。

這里以四電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)為研究對象，建立含測量噪聲的特征模型，并采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法作為特征參數(shù)辨識算法，帶積分的黃金分割控制律作為系統(tǒng)控制律。為解決系統(tǒng)中由測量噪聲引起的特征參數(shù)收斂緩慢的問題，設(shè)計基于含測量噪聲特征模型的強(qiáng)跟蹤濾波算法，通過仿真實驗證明了所設(shè)計強(qiáng)跟蹤濾波算法濾波能力強(qiáng)于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。

2 系統(tǒng)建模控制與問題描述

2.1 四電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)動力學(xué)模型

四電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1所示。四個電機(jī)通過驅(qū)動減速帶驅(qū)動小齒輪，4個小齒輪均勻分布在大齒圈內(nèi)，小齒輪與大齒輪嚙合以驅(qū)動大齒輪轉(zhuǎn)動，每個小齒輪連接在各自的電機(jī)上，大齒輪以齒圈的形式帶動負(fù)載轉(zhuǎn)動。針對系統(tǒng)位置輸出中的噪聲與特征參數(shù)收斂緩慢的問題，這里將設(shè)計強(qiáng)跟蹤濾波算法，消除位置輸出中測量噪聲的影響，使得特征參數(shù)快速收斂。

圖1 四電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Mechanical Structure Diagram of Four Motor Drive Servo System

將文獻(xiàn)［7］中的含齒隙的雙電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)的動力學(xué)模型進(jìn)一步推廣，求得四電機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)模型。系統(tǒng)描述，如式（1）所示。

式中：j=1，2，3，4代表電機(jī)1、電機(jī)2、電機(jī)3和電機(jī)4；Ujq(t)—電機(jī)在q軸的等效電壓；Ijq(t)—電機(jī)在q軸的等效電流。

2.2 含測量噪聲的特征模型

從式（1）可以看出四電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)的動力學(xué)模型階次高，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以設(shè)計控制器，不利于工程實現(xiàn)。特征建模理論由某院士最初提出，該理論的核心是將復(fù)雜高階系統(tǒng)信息融入到特征模型的時變參數(shù)中，即用低階的時變差分方程來等價系統(tǒng)的動態(tài)特性。所謂的“等價”指的是，特征模型不僅能夠解決系統(tǒng)動力學(xué)模型結(jié)構(gòu)不確定的問題，同時也能夠解決模型參數(shù)的不確定性［3］。目前該理論已成功應(yīng)用到了航天、工業(yè)控制等多個領(lǐng)域中。特征建模理論的主要特點如下：

（1）系統(tǒng)的實際模型與特征模型在相同的控制輸入下，兩者的輸出是等價的，并且實際模型與特征模型之間的未建模誤差隨著的減小而減小。在穩(wěn)態(tài)情況下，兩者是相等的。

（2）特征模型可將高階的動力學(xué)模型簡化為形式簡單的二階模型，方便控制器的設(shè)計。

（3）系統(tǒng)被控對象的特征和其控制性能的要求決定了特征模型的具體形式。

（4）特征模型主要依據(jù)輸入輸出進(jìn)行建模，但這種方式并沒有忽略系統(tǒng)其他的信息，而是將系統(tǒng)的高階信息壓縮到了特征模型的參數(shù)中，保證了系統(tǒng)信息的完整性。

四電機(jī)伺服系統(tǒng)的特征模型可以用一個慢時變的二階差分方程表示：

當(dāng)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)時，特征模型可以簡化為：

考慮到式（3）描述的系統(tǒng)中含有測量噪聲，將多電機(jī)伺服系統(tǒng)用含測量噪聲的特征模型描述，其時變二階差分方程表示，如式（4）所示。

將式（4）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式：

式中：v(k)—測量噪聲。

這里主要對v(k)進(jìn)行抑制處理，考慮實際中的測量噪聲特征，這里中將v(k)視為高斯白噪聲處理。

2.3 參數(shù)辨識與控制律設(shè)計

特征模型將系統(tǒng)等效為一個二階差分方程，并將高階信息壓縮在二階差分方程的參數(shù)中，為了獲得準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型，就需要對二階差分方程中參數(shù)進(jìn)行在線辨識。

由于多電機(jī)伺服系統(tǒng)特征模型參數(shù)為時變參數(shù)，傳統(tǒng)的批處理辨識算法無法滿足時變參數(shù)的辨識要求。為了能夠?qū)崟r跟蹤參數(shù)隨時間的變化情況，常采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法對特征參數(shù)f1(k)、f2(k)和g0(k)進(jìn)行在線辨識：

慢時變對象的控制器一般需要在現(xiàn)場反復(fù)調(diào)試，當(dāng)不允許反復(fù)調(diào)試的時候，控制器就變得復(fù)雜，且難以得到。帶積分的黃金分割控制律很好地解決了上述困難，具有良好的自適應(yīng)能力、參數(shù)調(diào)節(jié)簡單與魯棒性極強(qiáng)的優(yōu)點。

采用帶積分的黃金分割控制律作為系統(tǒng)控制律：

通過分析上述通過采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法進(jìn)行模型辨識，以及采用黃金分割控制律進(jìn)行控制器設(shè)計的控制方法，可知其是在假定噪聲為白噪聲的情況下進(jìn)行的理想分析。考慮實際情況中存在更為復(fù)雜的噪聲干擾，帶遺忘因子的最小二乘法或產(chǎn)生辨識過程收斂緩慢，及辨識模型與真實模型相差較大的問題，對于后一步的控制器設(shè)計帶來很大難題，控制工程師很難依據(jù)失準(zhǔn)模型進(jìn)行控制系統(tǒng)的設(shè)計。

3 強(qiáng)跟蹤濾波算法設(shè)計

考慮在實際中存在的復(fù)雜噪聲對最小二乘法的不利影響，而選擇其他抗噪聲能力較強(qiáng)的參數(shù)模型辨識算法則很大程度會引入較大計算量，不利于控制系統(tǒng)設(shè)計。

目前較多使用的噪聲濾波算法有卡爾曼濾波算法、擴(kuò)展卡爾曼濾波等，但其均為由卡爾曼算法的思想推導(dǎo)而來，所以其均存在一些固有理論缺陷，比如，當(dāng)系統(tǒng)模型不確定性較大時，基于卡爾曼算法推導(dǎo)的濾波器的濾波精度較低，甚至?xí)?dǎo)致最終的發(fā)散；此外，如果系統(tǒng)狀態(tài)在濾波器達(dá)到穩(wěn)態(tài)時因為一些因素而發(fā)生突變，此時的預(yù)報殘差r(k)=y(k)-Cx(k|k-1)會隨之增大，但因為穩(wěn)態(tài)時擴(kuò)展卡爾曼濾波的增益矩陣K(k)是趨近于極小值的，就算預(yù)報殘差有所增大，其增益矩陣K(k)仍會保持為極小值，不會隨預(yù)報殘差而增大，這就導(dǎo)致了擴(kuò)展卡爾曼濾波算法成為了“開環(huán)”狀態(tài)。也就是說，擴(kuò)展卡爾曼濾波算法在穩(wěn)態(tài)時，缺少對系統(tǒng)狀態(tài)突變的快速跟蹤能力。

因此，這里將強(qiáng)跟蹤濾波器引入到多電機(jī)伺服系統(tǒng)含測量噪聲的特征模型中［8］，設(shè)計一種強(qiáng)跟蹤濾波算法，用以抑制測量噪聲，在每次進(jìn)行參數(shù)模型辨識前，利用強(qiáng)跟蹤濾波器在一定程度上抑制噪聲，以此來解決測量噪聲帶來的特征參數(shù)收斂緩慢問題。其正交性原理為：

其中，r(k)=y(k)-(k|k-1)。

強(qiáng)濾波跟蹤算法的具體執(zhí)行步驟如下：

（1）令k=0，初始化狀態(tài)變量x，協(xié)方差矩陣P、Q和R，并設(shè)置采樣周期T；

（2）預(yù)測k時刻狀態(tài)變量的先驗估計值(k|k-1)：

（3）計算輸出殘差r(k)，基于此計算出其協(xié)方差矩陣V(k)：

式中：ρ—遺忘因子，一般取ρ=0.95。

（4）計算漸消因子λ(k)：

式中：β—弱化因子，β≥1，合理地選擇β可以使得到的測量噪聲狀態(tài)估計更加平滑，有效避免過調(diào)節(jié)；ai—預(yù)先確定的常數(shù)項，ai較大時，對易發(fā)生突變的狀態(tài)xi有較強(qiáng)的跟蹤能力。在沒有任何先驗知識，或模型不確定因素較小時，可以選擇a1=a2=···=an=1。由于這里所研究的電機(jī)模型為四階模型，故此處令n=4。

（5）計算先驗估計的協(xié)方差矩陣P(k|k-1)：

（6）更新強(qiáng)跟蹤濾波算法的增益矩陣K(k)：

（7）更新后驗估計的協(xié)方差矩陣P(k)：

（8）對先驗狀態(tài)估計值(k|k-1)進(jìn)行反饋校正，更新后驗狀態(tài)估計值(k)：

4 仿真分析

為了驗證算法的有效性，這里對四電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)的特征模型的強(qiáng)跟蹤濾波算法進(jìn)行仿真。

四個電機(jī)具體參數(shù)為：

式中：j=1，2，3，4—電機(jī)1、電機(jī)2、電機(jī)3和電機(jī)4。

含測量噪聲特征模型系統(tǒng)框圖，如圖3所示。由于系統(tǒng)輸出中存在較為復(fù)雜的噪聲干擾，其對于下一步的特征參數(shù)辨識會帶來較大影響，故在反饋回路中引入強(qiáng)跟蹤濾波算法，抑制噪聲傳遞，提高特征參數(shù)辨識的收斂速度與準(zhǔn)確率，同時也為控制器輸入抑制噪聲，達(dá)到更好地控制效果。在完成特征參數(shù)辨識后，得到的特征參數(shù)結(jié)果可以進(jìn)一步影響控制器的參數(shù)，達(dá)到更好的控制性能。

圖3 階躍輸入時擴(kuò)展卡爾曼濾波仿真結(jié)果圖Fig.3 Simulation Results of Extended Kalman Filter with Step Input

同時，由圖2可知，由于強(qiáng)跟蹤濾波后的系統(tǒng)輸出信號的噪聲得到抑制，特征參數(shù)辨識過程的收斂速度也得到了大幅提升，即同時增強(qiáng)了整個控制系統(tǒng)的實時性。

圖2 含測量噪聲特征模型系統(tǒng)框圖Fig.2 System Block Diagram of Characteristic Model with Measurement Noise

為了驗證該算法的有效性，以及較傳統(tǒng)卡爾曼算法的優(yōu)越性，這里在120°階躍信號輸入下驗證算法的有效性，并將文獻(xiàn)［9］中所設(shè)計的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法與這里設(shè)計的強(qiáng)跟蹤濾波算法效果進(jìn)行比較。強(qiáng)跟蹤濾波算法比擴(kuò)展卡爾曼濾波算法具有更好的濾波效果，可以有效解決由測量噪聲引起的特征參數(shù)收斂緩慢的問題，如圖3～圖4所示。

圖4 階躍輸入時強(qiáng)跟蹤濾波仿真結(jié)果圖Fig.4 Simulation Results of Strong Tracking Filter with Step Input

5 總結(jié)

這里針對四電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)，結(jié)合特征建模理論，建立了含測量噪聲的四電機(jī)特征模型。并采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法作為特征參數(shù)辨識算法，帶積分的黃金分割控制律作為系統(tǒng)控制律。針對特征模型中的測量噪聲引起的特征參數(shù)收斂緩慢問題，設(shè)計了強(qiáng)跟蹤濾波算法，從而有效濾除了系統(tǒng)中的測量噪聲。仿真結(jié)果表明，這里所設(shè)計的算法很好的解決了由測量噪聲引起的特征參數(shù)收斂緩慢的問題，相比于傳統(tǒng)的擴(kuò)展卡爾曼濾波能提供更強(qiáng)的抑制測量噪聲能力。