考慮終端姿態(tài)約束的分段迭代制導(dǎo)方法*

郝釧釧 周曼娟 修 觀 匡東政

上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109

0 引言

隨著最優(yōu)控制理論的發(fā)展，為適應(yīng)航天發(fā)射任務(wù)需求，適應(yīng)能力更強(qiáng)、控制精度更高的自適應(yīng)制導(dǎo)方法在運(yùn)載火箭上得到廣泛應(yīng)用。迭代制導(dǎo)方法作為應(yīng)用最廣泛的自適應(yīng)制導(dǎo)方法，在美國(guó)的“土星五號(hào)”運(yùn)載火箭、歐空局的“阿里安”運(yùn)載火箭、俄羅斯的“能源號(hào)”運(yùn)載火箭上均得到成功應(yīng)用[1-2],國(guó)內(nèi)學(xué)者陳新民等[1]、茹佳欣[3]、宋征宇[4]也對(duì)迭代制導(dǎo)技術(shù)及其工程應(yīng)用進(jìn)行了一系列研究，目前，我國(guó)運(yùn)載火箭上普遍采用了迭代制導(dǎo)技術(shù)。

傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法，在發(fā)動(dòng)機(jī)推力固定的情況下，以關(guān)機(jī)點(diǎn)的三軸速度分量和兩軸位置分量為終端條件，在將姿態(tài)角近似表達(dá)成時(shí)間的線性函數(shù)的情況下，得到能使推進(jìn)劑消耗量最小的最優(yōu)姿態(tài)角。由于需要通過調(diào)整火箭飛行姿態(tài)實(shí)現(xiàn)對(duì)其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的控制，因此關(guān)機(jī)點(diǎn)的姿態(tài)散布較大。然而有效載荷往往有較為嚴(yán)格的入軌姿態(tài)要求，對(duì)于沒有配備姿控發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)載火箭，傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法會(huì)帶來較大的入軌姿態(tài)偏差；對(duì)于配備姿控發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)載火箭，傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法帶來的關(guān)機(jī)點(diǎn)姿態(tài)偏差需要額外的姿態(tài)調(diào)整時(shí)間來克服，擠占了本就比較緊張的衛(wèi)星首軌有效測(cè)控時(shí)間。

針對(duì)考慮關(guān)機(jī)點(diǎn)姿態(tài)約束的運(yùn)載火箭最優(yōu)制導(dǎo)控制問題，呂新廣等提出一種將迭代制導(dǎo)與數(shù)值積分相結(jié)合的軌跡預(yù)測(cè)制導(dǎo)方法，該方法能夠同時(shí)滿足終端軌道根數(shù)約束和姿態(tài)約束，但算法的復(fù)雜度和計(jì)算量均較大[5]。邱豐等提出一種采用聯(lián)立框架、基于直接法的在線軌跡規(guī)劃方法，該方法能同時(shí)滿足終端軌道根數(shù)約束和姿態(tài)約束，但其計(jì)算時(shí)間為秒級(jí)，難以滿足實(shí)時(shí)制導(dǎo)控制需求[6]。文獻(xiàn)[7]提出一種考慮終端姿態(tài)約束的自適應(yīng)迭代制導(dǎo)方法，該方法能同時(shí)滿足終端位置、速度、姿態(tài)約束，但也存在止導(dǎo)后開環(huán)控制時(shí)間較長(zhǎng)的缺點(diǎn)。韓雪穎等和施國(guó)興等提出一種二次曲線迭代制導(dǎo)方法，該方法將最優(yōu)姿態(tài)角近似為時(shí)間的二次函數(shù)，以關(guān)機(jī)點(diǎn)的三軸位置、兩軸速度和俯仰偏航姿態(tài)角為終端約束，可以保證較高的入軌精度和姿態(tài)精度，但該方法會(huì)引起額外的推進(jìn)劑消耗[8-9]。

受吳楠等為滿足關(guān)機(jī)點(diǎn)三軸速度和三軸位置約束而提出的分段迭代制導(dǎo)方法啟發(fā)[10]，并借鑒二次曲線迭代制導(dǎo)方法的思想[8-9]，本文提出一種考慮終端姿態(tài)約束的分段迭代制導(dǎo)方法，能同時(shí)滿足終端軌道根數(shù)約束和姿態(tài)約束，且算法的計(jì)算量及推進(jìn)劑消耗量均與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法相當(dāng)。通過某型火箭的仿真分析驗(yàn)證了方法的有效性。

1 迭代制導(dǎo)基本原理

為了便于算法推導(dǎo)，迭代制導(dǎo)方法以終端坐標(biāo)系OE-XTYTZT為基本參考系，以地心OE為原點(diǎn)，OEYT軸指向預(yù)估實(shí)際關(guān)機(jī)點(diǎn)，OEZT軸垂直于軌道面并指向軌道動(dòng)量矩方向，OEXT根據(jù)右手定則確定。

運(yùn)載火箭真空飛行段、忽略滾動(dòng)姿態(tài)角的情況下，其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程如式(1)所示。

(1)

式(1)中，[xTyTzT]T和[gTxgTygTz]T分別為終端坐標(biāo)系下的位置矢量和引力加速度矢量，φT和ψT為終端坐標(biāo)系下的俯仰角和偏航角，P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，m為瞬時(shí)質(zhì)量。

(2)

為了能夠考慮終端姿態(tài)約束，需引入新的優(yōu)化變量。二次曲線迭代制導(dǎo)方法將控制姿態(tài)角φT和ψT近似為時(shí)間的二次函數(shù)，形式如式(3)所示。

(3)

為了確定新引入的2個(gè)優(yōu)化參數(shù)，自然地引入了終端姿態(tài)約束，即主動(dòng)段終端時(shí)刻式(4)應(yīng)滿足。

(4)

式(4)中，tc為預(yù)估剩余飛行時(shí)間，φTc和ψTc為主動(dòng)段終端時(shí)刻終端坐標(biāo)系下的期望姿態(tài)角。文獻(xiàn)[8-9]給出了該二次曲線迭代制導(dǎo)問題的求解方法。由于該方法將程序角近似為二次曲線，存在計(jì)算獲得的最優(yōu)姿態(tài)角首尾兩端變化速度快、整體姿態(tài)角變化規(guī)律與用數(shù)值方法得到的以運(yùn)載能力最大為目標(biāo)的最優(yōu)姿態(tài)角差異較大等問題，因此會(huì)引起一定的額外推進(jìn)劑消耗。

2 考慮終端姿態(tài)約束的分段迭代制導(dǎo)方法

2.1 分段迭代制導(dǎo)方法的思想及算法流程

運(yùn)載火箭制導(dǎo)控制系統(tǒng)的需求是滿足多終端約束的同時(shí)保證推進(jìn)劑消耗量最少。考慮到火箭的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)相對(duì)于其速度位置運(yùn)動(dòng)為短周期、快動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)，因此在主動(dòng)段末段的較短時(shí)間內(nèi)考慮終端姿態(tài)約束，既能很好地控制終端姿態(tài)，又不會(huì)對(duì)終端速度特別是終端位置造成明顯影響。為了盡可能減少因考慮終端姿態(tài)約束引起的額外推進(jìn)劑消耗，在將最優(yōu)姿態(tài)角φT和ψT表達(dá)為時(shí)間的線性函數(shù)的情形下，設(shè)計(jì)如下的分段迭代制導(dǎo)策略：

1)在運(yùn)載火箭主動(dòng)飛行段的絕大部分時(shí)間內(nèi)，采用以關(guān)機(jī)點(diǎn)的期望位置和期望速度為終端條件的傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法進(jìn)行制導(dǎo)控制，以確保運(yùn)載火箭以接近運(yùn)載能力最優(yōu)的彈道飛行，并為最終高精度入軌提供良好條件。

2)在主動(dòng)段末段的較短時(shí)間內(nèi)，采用以關(guān)機(jī)點(diǎn)的期望速度和期望姿態(tài)為終端條件的迭代制導(dǎo)方法進(jìn)行制導(dǎo)控制，在確保火箭高精度入軌的同時(shí)滿足終端姿態(tài)約束。

2.2 考慮終端速度、姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)算法

(5)

與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法引入終端位置約束及二次曲線迭代制導(dǎo)方法引入終端位置、姿態(tài)約束時(shí)采用的假設(shè)條件和推導(dǎo)思路類似，假設(shè)引入終端姿態(tài)約束幾乎不會(huì)影響剩余飛行時(shí)間，對(duì)照只考慮終端速度約束時(shí)的相關(guān)結(jié)果，則應(yīng)有：

(6)

再考慮主動(dòng)段終端姿態(tài)約束，顯然應(yīng)有：

(7)

式(6)和(7)聯(lián)立求解，即可確定最優(yōu)姿態(tài)角函數(shù)中系數(shù)k1,k2,e1和e2的值。

2.3 終端坐標(biāo)系下的期望終端姿態(tài)角估計(jì)

運(yùn)載火箭姿態(tài)控制的常用坐標(biāo)系為發(fā)射慣性系。發(fā)射慣性系以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，OXa軸在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)并指向發(fā)射方向，OYa軸沿發(fā)射點(diǎn)重力的反方向，OZa軸滿足右手定則，并在火箭起飛瞬間在慣性空間中固定。

(8)

其中，βc為預(yù)估關(guān)機(jī)點(diǎn)與理論關(guān)機(jī)點(diǎn)之間的地心夾角，計(jì)算方法見文獻(xiàn)[11]。

2.4 迭代制導(dǎo)止導(dǎo)后的姿態(tài)變化規(guī)律設(shè)計(jì)

在迭代制導(dǎo)方法的工程應(yīng)用中，往往采用提前止導(dǎo)方案，即在預(yù)估剩余飛行時(shí)間小于一定數(shù)值時(shí)，停止迭代制導(dǎo)計(jì)算，并保持最后一次迭代制導(dǎo)計(jì)算的姿態(tài)角直至飛行結(jié)束。

本文也采用提前止導(dǎo)方案，但由于本文將姿態(tài)角表達(dá)為時(shí)間的線性函數(shù)，且將預(yù)估關(guān)機(jī)點(diǎn)的姿態(tài)角約束為期望終端姿態(tài)角，如果采用止導(dǎo)后姿態(tài)角保持的處理方法，并不能保證干擾情況下主動(dòng)段終端姿態(tài)角嚴(yán)格為期望姿態(tài)角。

理論上，對(duì)于本文的方法，在止導(dǎo)后采用最后一次計(jì)算的線性姿態(tài)角變化規(guī)律即可保證主動(dòng)段終端姿態(tài)角等于期望姿態(tài)角。但考慮到迭代制導(dǎo)計(jì)算的預(yù)估剩余飛行時(shí)間是根據(jù)簡(jiǎn)化模型計(jì)算，并且飛行中可能存在各種干擾，因此到達(dá)關(guān)機(jī)條件所需飛行時(shí)間與預(yù)估剩余飛行時(shí)間之間可能存在偏差，為確保主動(dòng)段終端姿態(tài)穩(wěn)定在期望姿態(tài)，將迭代制導(dǎo)止導(dǎo)后的姿態(tài)變化規(guī)律設(shè)計(jì)成如下形式：

(9)

其中：tc0為設(shè)計(jì)的關(guān)機(jī)前等程序時(shí)間，tc為迭代制導(dǎo)止導(dǎo)時(shí)刻的預(yù)估剩余飛行時(shí)間。

3 仿真校驗(yàn)

以某型二級(jí)液體運(yùn)載火箭為例進(jìn)行仿真。該型火箭的二級(jí)飛行段分為大推力段和小推力段，仿真時(shí)選擇迭代制導(dǎo)在小推力段開始10s后加入。對(duì)于傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法，在剩余飛行時(shí)間小于45s時(shí)去掉終端位置約束，在剩余飛行時(shí)間小于10s時(shí)止導(dǎo)。對(duì)于二次曲線迭代制導(dǎo)方法，在剩余飛行時(shí)間小于10s時(shí)止導(dǎo)，止導(dǎo)后的姿態(tài)變化規(guī)律采用本文的處理方法。對(duì)于本文提出的分段迭代制導(dǎo)方法，在剩余飛行時(shí)間小于45s時(shí)進(jìn)行終端約束切換，在剩余飛行時(shí)間小于10s時(shí)止導(dǎo)。

以標(biāo)準(zhǔn)彈道主動(dòng)段終端時(shí)刻發(fā)射慣性系下姿態(tài)角作為終端姿態(tài)約束，3種迭代制導(dǎo)方法計(jì)算的零干擾彈道姿態(tài)角和標(biāo)準(zhǔn)彈道姿態(tài)角對(duì)比曲線見圖1～2、特征參數(shù)對(duì)比見表1。考慮運(yùn)載火箭各項(xiàng)方法誤差，包括火箭質(zhì)量偏差、發(fā)動(dòng)機(jī)性能偏差、質(zhì)心位置偏差等，得到3種迭代制導(dǎo)方法計(jì)算的特征參數(shù)的方法誤差綜合值對(duì)比情況見表2。

圖1 零干擾彈道俯仰角對(duì)比

圖2 零干擾彈道偏航角對(duì)比

表1 零干擾彈道下的仿真結(jié)果

表2 方法誤差綜合結(jié)果

由圖1～2可知，采用二次曲線迭代制導(dǎo)方法時(shí)，姿態(tài)角變化曲線具有較強(qiáng)烈的二次曲線特性，與標(biāo)準(zhǔn)彈道姿態(tài)角及傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)姿態(tài)角之間的偏差較大，且啟導(dǎo)點(diǎn)附近的姿態(tài)變化劇烈。采用本文的分段迭代制導(dǎo)方法時(shí)，姿態(tài)角變化曲線與標(biāo)準(zhǔn)彈道姿態(tài)角基本一致，與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法相比，僅是主動(dòng)段末段的姿態(tài)角有一定差別。

由表1可知，對(duì)于零干擾彈道，3種迭代制導(dǎo)方法的入軌精度相當(dāng)。與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法相比，采用二次曲線迭代制導(dǎo)方法時(shí)，關(guān)機(jī)點(diǎn)的姿態(tài)角偏差為0，但關(guān)機(jī)時(shí)間推后1.028s，需額外消耗約20kg推進(jìn)劑。與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法相比，采用本文的分段迭代制導(dǎo)方法時(shí)，不僅關(guān)機(jī)點(diǎn)姿態(tài)角偏差為0，而且關(guān)機(jī)時(shí)間基本一致，無需額外消耗推進(jìn)劑。

由表2可知，3種迭代制導(dǎo)方法計(jì)算的入軌偏差以及相對(duì)于零干擾彈道的關(guān)機(jī)時(shí)間偏差的方法誤差綜合值基本一致，并且本文方法和常規(guī)迭代制導(dǎo)方法的計(jì)算結(jié)果基本沒有差別，這在一定程度上表明了本文引入假設(shè)“引入終端姿態(tài)約束幾乎不會(huì)影響剩余飛行時(shí)間”的合理性；分段迭代制導(dǎo)方法和二次曲線迭代制導(dǎo)方法的關(guān)機(jī)點(diǎn)姿態(tài)角偏差均為0，但傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法的關(guān)機(jī)點(diǎn)姿態(tài)偏差較大。

在對(duì)傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)終端姿態(tài)角偏差影響較大的發(fā)動(dòng)機(jī)正秒耗量偏差工況下，3種迭代制導(dǎo)方法計(jì)算的姿態(tài)角和標(biāo)準(zhǔn)彈道姿態(tài)角對(duì)比曲線見圖3～4，特征參數(shù)對(duì)比見表3。

圖3 發(fā)動(dòng)機(jī)正秒耗量偏差彈道俯仰角對(duì)比

圖4 發(fā)動(dòng)機(jī)正秒耗量偏差彈道偏航角對(duì)比

表3 發(fā)動(dòng)機(jī)正秒耗量偏差彈道下的仿真結(jié)果

由圖3～4和表3可知，對(duì)于正秒耗量偏差彈道，3種迭代制導(dǎo)方法的入軌精度相當(dāng)。與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法相比：采用二次曲線迭代制導(dǎo)方法時(shí)，關(guān)機(jī)點(diǎn)的姿態(tài)角偏差為0，但關(guān)機(jī)時(shí)間推后2.013s，且啟導(dǎo)點(diǎn)附近俯仰角變化劇烈；采用本文的分段迭代制導(dǎo)方法時(shí)，關(guān)機(jī)點(diǎn)姿態(tài)角偏差為0，關(guān)機(jī)時(shí)間基本一致，姿態(tài)角變化比較平緩，具有更好的性能。

4 結(jié)論

針對(duì)有主動(dòng)段終端姿態(tài)約束的運(yùn)載火箭制導(dǎo)控制問題，提出一種考慮終端姿態(tài)約束的分段迭代制導(dǎo)方法。考慮姿態(tài)為短周期運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，將末級(jí)主動(dòng)段的迭代制導(dǎo)分為考慮終端位置、速度約束的迭代制導(dǎo)段和考慮終端速度、姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)段，使火箭在高精度入軌的同時(shí)滿足終端姿態(tài)約束。與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法和二次曲線迭代制導(dǎo)方法相比，本文的分段迭代制導(dǎo)方法在同時(shí)滿足終端姿態(tài)約束和終端軌道參數(shù)約束的同時(shí)幾乎無需額外的推進(jìn)劑消耗，具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。