橋梁耦合極值應(yīng)力的貝葉斯動態(tài)預(yù)測

戈 壁，王佐才，2，辛 宇，3，李 舒，丁雅杰，孫曉彤

（1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥 230009；2.土木工程防災(zāi)減災(zāi)安徽省工程技術(shù)研究中心，安徽合肥 230009；3.安徽省基礎(chǔ)設(shè)施安全檢測與監(jiān)測工程實驗室，安徽合肥 230009；4.清華大學(xué)合肥公共安全研究院，安徽合肥 230601）

引言

隨著橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)在實際工程中的普及，系統(tǒng)能夠?qū)崟r監(jiān)測橋梁結(jié)構(gòu)在服役期內(nèi)的響應(yīng)及變形［1-3］。其中，在環(huán)境及荷載作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生的應(yīng)力反映了結(jié)構(gòu)局部的受力狀態(tài)，同時也是結(jié)構(gòu)安全運營狀態(tài)的重要指標(biāo)之一。因此，應(yīng)力監(jiān)測在橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)中具有十分重要的地位。應(yīng)力監(jiān)測可分為監(jiān)測數(shù)據(jù)的收集和應(yīng)用兩個部分。經(jīng)過幾十年的研發(fā)，數(shù)據(jù)收集技術(shù)都已相對成熟［4-6］。目前國內(nèi)外學(xué)者的研究主要集中在基于歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)的應(yīng)用方面，并在橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別［7-9］、荷載效應(yīng)分析建模［10］、模態(tài)參數(shù)識別［11］等方面取得了一定的成果。然而，在基于橋梁極值應(yīng)力監(jiān)測數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)安全性能評估與預(yù)測方面還有待發(fā)展。橋梁極值應(yīng)力蘊(yùn)含著結(jié)構(gòu)安全性能的重要信息，對極值應(yīng)力進(jìn)行分析以及動態(tài)預(yù)估，不但能夠動態(tài)、直觀地反映在役橋梁運營狀況下的極值應(yīng)力狀態(tài)，為橋梁結(jié)構(gòu)的維護(hù)與養(yǎng)護(hù)提供重要依據(jù)，而且能夠為橋梁的動態(tài)安全性能評估提供理論依據(jù)。因此，如何合理地利用海量歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的動態(tài)預(yù)估是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測目前亟需解決的關(guān)鍵問題。

目前，基于實際監(jiān)測數(shù)據(jù)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行動態(tài)預(yù)估已經(jīng)有了一些研究。例如，馮海月等［12］基于廣義Pareto 分布提出了一種改進(jìn)的獨立風(fēng)暴法，可較好地預(yù)測車輛荷載效應(yīng)。陽霞等［13-14］改進(jìn)了廣義Pareto 分布模型的閾值選取方法，并可利用實際監(jiān)測數(shù)據(jù)建立具有一定規(guī)律的概率統(tǒng)計模型。研究表明改進(jìn)后的概率統(tǒng)計模型能夠更好地擬合出由車輛荷載引起的橋梁應(yīng)變右尾分布，結(jié)合極值統(tǒng)計理論能夠?qū)蛄菏Ｓ喾燮趦?nèi)的應(yīng)變極值進(jìn)行估計。Fan 等［15］提出可利用極值應(yīng)力監(jiān)測數(shù)據(jù)以及高斯混合粒子濾波器實現(xiàn)橋梁極值應(yīng)力的動態(tài)預(yù)測。但是，由于極值應(yīng)力是多種荷載效應(yīng)的耦合，直接對耦合監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合以及動態(tài)預(yù)估，其效果并不理想。近年來，由于貝葉斯動態(tài)模型可結(jié)合監(jiān)測數(shù)據(jù)的客觀信息和主觀信息，能夠?qū)蛄簶O值應(yīng)力進(jìn)行有效預(yù)測，使該方法得到了長足的發(fā)展［16-17］。Ni 等認(rèn)為在役橋梁由于承受了多種荷載才導(dǎo)致應(yīng)變/應(yīng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的多模態(tài)性。為了更好地預(yù)測耦合極值應(yīng)力，分別提出了一種具有較強(qiáng)非平穩(wěn)動態(tài)過程建模能力的貝葉斯動態(tài)線性模型［18］和一種參數(shù)貝葉斯混合模型［19］。通過試驗驗證，改進(jìn)后的模型對極值應(yīng)力的預(yù)測精度具有一定程度地提高。Liu等［20］考慮到監(jiān)測得到的耦合極值應(yīng)力是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)與平穩(wěn)數(shù)據(jù)的耦合，提出了一種利用局部多項式理論建立的貝葉斯動態(tài)線性趨勢模型。該模型能有效地減小監(jiān)測數(shù)據(jù)中非平穩(wěn)趨勢項對預(yù)測結(jié)果的影響，并隨著預(yù)測模型參數(shù)的更新，橋梁耦合極值應(yīng)力的預(yù)測結(jié)果越來越合理。樊學(xué)平等［21］則將橋梁耦合極值應(yīng)力簡單分為具有趨勢性的溫度荷載效應(yīng)和具有隨機(jī)性的車輛荷載效應(yīng)并提出了基于解耦極值應(yīng)力的動態(tài)耦合線性模型。模型首先使用簡單的移動平均法數(shù)據(jù)解耦，再分別建立貝葉斯動態(tài)耦合線性模型并進(jìn)行極值應(yīng)力預(yù)測分析。樊學(xué)平等［22］認(rèn)為由于監(jiān)測數(shù)據(jù)具有動態(tài)性、隨機(jī)性以及周期性等特點，因此可利用Fourier 函數(shù)對初始應(yīng)力狀態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，進(jìn)而運用Fourier 動態(tài)線性模型并對橋梁極值應(yīng)力進(jìn)行預(yù)測。從上述研究可以看出，基于貝葉斯方法的動態(tài)模型能夠?qū)蛄簶O值應(yīng)力進(jìn)行動態(tài)預(yù)測，并且利用解耦極值應(yīng)力數(shù)據(jù)，可使預(yù)測模型精度進(jìn)一步提升。

由于橋梁耦合極值應(yīng)力主要受到溫度荷載效應(yīng)、車輛荷載效應(yīng)和風(fēng)荷載效應(yīng)等的影響，因此橋梁極值應(yīng)力監(jiān)測數(shù)據(jù)的解耦方法通常按照所受荷載類別進(jìn)行解耦并分類，這就使得解耦數(shù)據(jù)仍可能是多階模態(tài)響應(yīng)的耦合。這樣，利用解耦數(shù)據(jù)建立的貝葉斯動態(tài)模型依然存在著模型相對復(fù)雜，不能很好地體現(xiàn)橋梁極值應(yīng)力周期性、隨機(jī)性等數(shù)據(jù)特點的問題。為了解決上述問題，本文引入了Hilbert 信號分解以及解調(diào)技術(shù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行解耦。該方法不但能夠?qū)哂忻芗B(tài)與頻率疊混的非平穩(wěn)結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號進(jìn)行有效分解，而且能夠很好地保存信號幅度、頻率和相位的信息［23-25］。同時，在得到單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)后，即可利用Hilbert 信號解調(diào)技術(shù)，回歸得到狀態(tài)變量函數(shù)的參數(shù)，建立單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的Hilbert 動態(tài)線性模型（Hilbert Dynamic Linear Model，HDLM）。隨后，利用貝葉斯方法對模型進(jìn)行概率遞推，實現(xiàn)單分量極值應(yīng)力的動態(tài)預(yù)測。將各階單分量極值應(yīng)力預(yù)測值進(jìn)行相加即可得到橋梁耦合極值應(yīng)力的動態(tài)預(yù)測值。最后，利用在役橋梁一年的監(jiān)測數(shù)據(jù)對本文所提方法的有效性進(jìn)行了驗證。

1 橋梁耦合極值應(yīng)力的動態(tài)預(yù)測

橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)在長期運營期間可以監(jiān)測大量的應(yīng)力信息，而結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)則反映了諸多荷載（如溫度荷載，車輛荷載，風(fēng)荷載等）作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)部特征。因此，橋梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)具有復(fù)雜的耦合性。為了更好地動態(tài)預(yù)測橋梁耦合極值應(yīng)力，本文首先建立了單分量極值應(yīng)力的HDLM，進(jìn)而提出了BHDLM。其中，HDLM 由監(jiān)測方程與狀態(tài)方程組成，狀態(tài)變量表示了監(jiān)測數(shù)據(jù)的變化趨勢，而狀態(tài)方程則描述了狀態(tài)變量如何隨時間變化，監(jiān)測方程描述了監(jiān)測變量與狀態(tài)變量之間的關(guān)系。其中，預(yù)測模型的主要流程如圖1所示。

從圖1 流程圖中可以看出，在數(shù)據(jù)解耦過程中，定義時間區(qū)間（t-1，t］內(nèi)，監(jiān)測的最大應(yīng)力為橋梁耦合極值應(yīng)力Yt，并將監(jiān)測得到的極值應(yīng)力數(shù)據(jù)視為一個時間序列。在得到Y(jié)t后，首先利用了Hilbert信號分解技術(shù)對數(shù)據(jù)進(jìn)行解耦［23-26］，得到有限多個具有單一頻率成分的單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)yi，t。隨后，基于Hilbert 平方解調(diào)算法（Hilbert Square Demodulation，HSD）回歸得到各階單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)yi，t的HDLM。一旦建立了單分量極值應(yīng)力的HDLM，即可通過貝葉斯方法對模型中的參數(shù)實現(xiàn)概率遞推，實現(xiàn)對極值應(yīng)力的動態(tài)預(yù)測，進(jìn)而可得到橋梁耦合極值應(yīng)力的動態(tài)預(yù)測結(jié)果。

圖1 橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測模型流程圖Fig.1 The flowchart of the prediction model for bridge coupled extreme stress

2 單分量極值應(yīng)力的HDLM 及參數(shù)確定

2.1 橋梁極值應(yīng)力解耦

直接利用耦合極值應(yīng)力進(jìn)行建模與預(yù)測，不但增加了極值應(yīng)力以及預(yù)測模型的復(fù)雜性，而且不利于應(yīng)力預(yù)測的精度［20-21］。因此，為了減小監(jiān)測數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，滿足建立預(yù)測模型的需要，對極值應(yīng)力進(jìn)行解耦應(yīng)是HDLM 建模過程中的必要步驟。

在以往的研究中，橋梁耦合極值應(yīng)力被認(rèn)為是多種荷載效應(yīng)的耦合，因此解耦過程中通常按荷載效應(yīng)類型進(jìn)行分類。一般利用簡單移動平均、二次移動平均等擬合算法，即可得到結(jié)構(gòu)監(jiān)測應(yīng)力的趨勢項。趨勢項的均值可看作結(jié)構(gòu)自重荷載效應(yīng)，而除去均值的趨勢項因其具有較為明顯的周期性，可認(rèn)為是環(huán)境溫度作用下的荷載效應(yīng)。監(jiān)測數(shù)據(jù)與趨勢項的差值則被認(rèn)為與車輛荷載效應(yīng)和風(fēng)荷載效應(yīng)相關(guān)。可以看出上述解耦過程雖然步驟簡單、便于實現(xiàn)，但過程中存在著經(jīng)驗成分，因此解耦過程并不十分充分。

根據(jù)模態(tài)疊加理論，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)可表示為各階模態(tài)貢獻(xiàn)之和。如果只考慮結(jié)構(gòu)某一方向的正應(yīng)變，則應(yīng)變與位移之間存在如下關(guān)系式：

式中ε為正應(yīng)變；φi為第i階的位移模態(tài)振型；qi為模態(tài)坐標(biāo)。而應(yīng)力與應(yīng)變在一定的比例極限范圍內(nèi)可視為線性關(guān)系。則Yt同樣可以表示為具有n個有效頻率ωi（i=1，2，…，n）成分耦合的實數(shù)時間序列。為了能夠充分解耦，得到具有單一頻率成分的單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)。本文提出利用Hilbert 信號分解算法對橋梁耦合極值應(yīng)力進(jìn)行分解［23-26］。一旦確定了Yt中的頻率，即可利用Hilbert 變換的信號分解算法對Yt進(jìn)行解耦，分解成n個具有單一頻率的單分量成分yi，t（i=1，2，…，n）。則極值應(yīng)力Yt可進(jìn)一步表示為：

2.2 單分量極值應(yīng)力解調(diào)

在利用Hilbert 信號分解算法將橋梁耦合極值應(yīng)力Yt分解為有限多個單分量極值應(yīng)力yi，t后，可進(jìn)一步利用HSD 算法對yi，t進(jìn)行解調(diào)，回歸得到狀態(tài)變量θi，t的函數(shù)。HSD 算法是一種針對具有單一頻率成分?jǐn)?shù)據(jù)的解調(diào)算法，其原理可簡單概述如下［27］：

假設(shè)單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)yi，t的回歸函數(shù)θi，t可簡化為：

式中Ai，Bi，Di，ωγ，i以及ωi均為回歸系數(shù)。首先，構(gòu)建yi，t的解析信號Zi，t：

式中 H［·］為Hilbert 變換算子。則回歸函數(shù)θi，t中的li，t可表示為：

聯(lián)立公式（3）和（5），可進(jìn)一步得到hi，t：

其中，為了減小單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)中噪聲以及解調(diào)誤差對回歸函數(shù)θi，t的影響，可對公式（5）和（6）作進(jìn)一步優(yōu)化［27］。則回歸系數(shù)Ai可認(rèn)為是解調(diào)結(jié)果li，t的均值。li，t中的相位函數(shù)ωγ，it+Di可通過下式得到：

其中，系數(shù)ωγ，i可通過對相位函數(shù)求導(dǎo)得到，進(jìn)而可回歸得到Di。結(jié)合公式（5）和（7），回歸系數(shù)Bi可表示為：

而hi，t中的相位函數(shù)ωit可表示為：

再對相位函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得到回歸系數(shù)ωi。

2.3 單分量極值應(yīng)力的HDLM

根據(jù)公式（3）～（9），可得到各階yi，t的單分量極值應(yīng)力回歸函數(shù)θi，t。則θi，t+1的表達(dá)式可由下式得到：

式中g(shù)（·）表示非線性函數(shù)。可以看出，狀態(tài)變量隨時間呈非線性關(guān)系。利用公式（10）可得到的歷史監(jiān)測應(yīng)力數(shù)據(jù)的動態(tài)非線性模型。然而，由于貝葉斯方法更適用于線性模型，因此在得到動態(tài)非線性模型后往往需要進(jìn)行線性化處理［28］。本文利用Taylor 級數(shù)展開技術(shù)，將g（θi，t）在初始狀態(tài)數(shù)據(jù)的期望值M1，t附近處展開，即可得到公式（10）對應(yīng)的線性函數(shù)：

其中，初始狀態(tài)數(shù)據(jù)可利用Hilbert 信號分解算法得到，則初始狀態(tài)數(shù)據(jù)期望值M1，t可由數(shù)據(jù)的均值近似得到；為已知項，且與θi，t無關(guān)；о（θi，t-M1，t）為g（θt）在M1，t處展開的高階項。公式（11）可進(jìn)一步改寫為：

式中θi，t+1-θi，t為狀態(tài)數(shù)據(jù)的一階差分；βi，t=g（M1，t）-G1·M1，t+（G1-1）θi，t。通過公式（11）和（12）可以看出，狀態(tài)t+1 時刻的狀態(tài)變量θi，t+1不僅和前一時刻的θi，t有關(guān)，也可能與狀態(tài)數(shù)據(jù)的一階差分變量βi，t有關(guān)。考慮βi，t只與前一時刻的一階差分變量βi，t-1有關(guān)，并忽略公式（11）和（12）中的高階項，橋梁單分量極值應(yīng)力的Hilbert 動態(tài)線性狀態(tài)方程可表示為：

模型誤差方差Wt+1無法直接從狀態(tài)數(shù)據(jù)中得到，可根據(jù)初始狀態(tài)數(shù)據(jù)的方差Ct近似計算得到［21］：

式中δ為折扣因子，取值范圍為0.95～0.98。折扣因子δ對預(yù)測精度影響很大，選擇合適的δ能夠使貝葉斯動態(tài)線性模型的預(yù)測精度快速收斂［15］。狀態(tài)變量以及狀態(tài)一階差分量的方差矩陣Ct可表示為：

其中，方差矩陣中對角元素C1，t，C2，t可分別通過計算初始狀態(tài)數(shù)據(jù)以及初始狀態(tài)一階差分?jǐn)?shù)據(jù)的方差獲得。θi，t與βi，t的協(xié)方差C3，t可由下式近似得到：

式中M2，t為初始狀態(tài)數(shù)據(jù)一階差分結(jié)果的期望值，可由數(shù)據(jù)的均值近似得到。

利用監(jiān)測數(shù)據(jù)以及狀態(tài)變量θi，t+1，可得到單分量極值應(yīng)力的Hilbert 動態(tài)線性模型中的監(jiān)測方程。假設(shè)監(jiān)測值與狀態(tài)變量呈線性關(guān)系，并考慮監(jiān)測誤差的影響，監(jiān)測方程可表示為：

式中yi，t+1為t+1 時刻單分量極值應(yīng)力監(jiān)測值；vt+1為監(jiān)測誤差并假設(shè)監(jiān)測誤差服從期望為0，方差為Vt+1的正態(tài)分布。根據(jù)公式（17）可知，對單分量極值應(yīng)力yi，t與狀態(tài)數(shù)據(jù)θi，t之間的差值進(jìn)行統(tǒng)計分析，可近似得到監(jiān)測誤差的方差Vt+1。

結(jié)合公式（11），（15）和（16），t時刻以及t時刻之前初始狀態(tài)信息的后驗概率分布可整理為：

式中θi，t為狀態(tài)變量向量；為狀態(tài)變量和狀態(tài)一階差分量的期望向量；Dt表示t以及t時刻之前監(jiān)測數(shù)據(jù)的信息集合，包括t時刻的監(jiān)測數(shù)值yi，t，t-1 以及t-1 時刻之前的Mt-1和Ct-1。

3 HDLM 的貝葉斯概率遞推

在建立單分量極值應(yīng)力的HDLM 之后，結(jié)合貝葉斯方法可得到BHDLM。根據(jù)t時刻狀態(tài)變量θi，t的后驗分布可對t+1 時刻的極值應(yīng)力yi，t+1進(jìn)行預(yù)測。再利用貝葉斯方法以及實際監(jiān)測數(shù)據(jù)對模型中t+1 時刻的狀態(tài)變量后驗分布θi，t+1概率進(jìn)行修正，使得下一時刻的預(yù)測結(jié)果更加合理。這樣，隨著模型中的參數(shù)不斷更新，BHDLM 即可實現(xiàn)對單分量極值應(yīng)力的動態(tài)預(yù)測并且精度不斷提高。模型的概率遞推過程如圖2所示。

圖2 BHDLM 的概率遞推過程Fig.2 The probability recursive process of BHDLM

BHDLM 遞推過程中參數(shù)更新如下所示［19-22，27］：

（1）t+1 時刻的狀態(tài)變量先驗概率密度分布

結(jié)合公式（18）給出了狀態(tài)變量θi，t在t時刻的后驗概率密度分布。根據(jù)狀態(tài)方程可得到t+1 時刻的θi，t+1和βi，t+1先驗概率密度分布，表示為：

簡化可得：

式中

其中，R1，t+1=C1，t+2C3，t+C2，t+W1，t+1，R2，t+1=C2，t+W2，t+1，R3，t+1=C3，t+C2，t+W3，t+1。

（2）t+1 時刻監(jiān)測變量的一步向前預(yù)測概率密度分布P（yi，t+1|Dt）

結(jié)合狀態(tài)變量的先驗概率P（θi，t+1|Dt）以及監(jiān)測方程，即可得到監(jiān)測變量一步向前預(yù)測概率密度：

簡化可得監(jiān)測變量概率密度：

式中 預(yù)測值ft+1=at+1（1，1）；預(yù)測方差Qt+1=Rt+1（1，1）+Vt+1。而預(yù)測方差的倒數(shù)則為BHDLM的預(yù)測精度［21］。

（3）t+1 時刻的狀態(tài)變量后驗概率

密度分布P（θt+1|Dt+1）

當(dāng)已知t+1 時刻的監(jiān)測值Yt+1后，結(jié)合公式（20）和（22）以及貝葉斯方法，t+1 時刻的狀態(tài)變量θt+1后驗概率密度分布可表示為：

簡化可得：

式中 期望向量Mt+1中M1，t+1=at+1（1，1）+A1，t+1·et+1，M2，t+1=at+1（1，2）+A2，t+1·et+1，其中，適應(yīng)性系數(shù)A1，t+1=Rt+1（1，1）/Qt+1，A2，t+1=Rt+1（1，2）/Qt+1，一步預(yù)測誤差et+1=yi，t+1-ft+1；方差矩陣Ct+1中C1，t+1=A1，t+1·Vt+1，C2，t+1=Rt+1（2，2）-A2，t+1·Rt+1（1，2），C3，t+1=A2，t+1·Vt+1。

4 實橋分析

派河大橋主橋上部結(jié)構(gòu)為飛燕式鋼箱拱橋，跨徑組合為54 m+130 m+54 m。拱圈和鋼梁采用Q345D 鋼材，彈性模量為206 GPa。為了全面監(jiān)測橋梁在運營期間的極值應(yīng)力應(yīng)變，全橋共選取5 個關(guān)鍵截面布置了32 個應(yīng)變傳感器，應(yīng)變監(jiān)測截面布置圖如圖3所示。其中，鋼縱梁的應(yīng)變傳感器安裝在鋼縱梁內(nèi)部，每個截面安裝4 個傳感器。為了了解拱腳處鋼縱梁的應(yīng)力狀態(tài)，定義每小時監(jiān)測最大應(yīng)力為橋梁耦合極值應(yīng)力Yt，并提取了12#墩附近2-2 截面Sx9～Sx12 監(jiān)測點一年（共8571 h）的歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)。其中，2-2 截面鋼縱梁應(yīng)力監(jiān)測點布置如圖4所示。

圖3 應(yīng)力監(jiān)測截面布置圖（單位：mm）Fig.3 The layout diagram of stress monitored section（Unit：mm）

4.1 基于BHDLM 的橋梁耦合極值應(yīng)力分析

為了驗證本文所提方法的有效性，現(xiàn)選取Sx12測點歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)中前3000 h 作為建模數(shù)據(jù)，建立各階單分量極值應(yīng)力的HDLM。再利用建立的模型以及貝葉斯方法，對剩余5572 h 的極值應(yīng)力進(jìn)行動態(tài)預(yù)測。其中，Sx12 測點采集的歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)如圖5所示。

對建模數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，結(jié)果如圖6所示。從圖6 中可以看出，歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)是多模態(tài)響應(yīng)耦合的數(shù)據(jù)。

圖6 Sx12 測點極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的傅里葉譜圖Fig.6 The Fourier spectrum of the extreme stress data of the Sx12 measure point

結(jié)合傅里葉分析結(jié)果和Hilbert 信號分解算法對前3000 h 耦合極值應(yīng)力進(jìn)行解耦，可得到4 個具有單一頻率的單分量成分yi，t（i=1，2，3，4）。基于公式（3）～（9），分別對yi，t進(jìn)行解調(diào)，即可得到單分量極值應(yīng)力的狀態(tài)數(shù)據(jù)回歸函數(shù)θi，t（i=1，2，3，4）。解調(diào)結(jié)果為：

首先，基于y1，t以及θ1，t，對橋梁耦合極值應(yīng)力中的一階單分量應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。根據(jù)θ1，t的回歸公式可得θ1，t+1：

則基于公式（25），（26）和（12）可知，θ1，t≈θ1，t+1，即可認(rèn)為θ1，t+1僅和前一時刻的θ1，t有關(guān)，與狀態(tài)數(shù)據(jù)的 一 階 差 分 變 量β1，t無 關(guān)，且G1=。其中，監(jiān)測應(yīng)力和初始狀態(tài)信息如圖7所示。

圖7 第一階解耦應(yīng)力數(shù)據(jù)以及初始狀態(tài)信息Fig.7 The first order decoupled stress data and initial state information

則初始狀態(tài)信息為：

則根據(jù)公式（13），狀態(tài)方程可簡化為：

其中，折扣因子δ的取值為0.95。監(jiān)測方程為：

在得到0～2999 h 監(jiān)測數(shù)據(jù)的動態(tài)線性模型后，結(jié)合公式（19）～（24），可對3000～8573 h 的數(shù)據(jù)進(jìn)行動態(tài)預(yù)測，一步預(yù)測結(jié)果以及預(yù)測精度分別如圖8 和9所示。從圖8 的預(yù)測結(jié)果中可以看出，第一階單分量極值應(yīng)力的預(yù)測值與監(jiān)測數(shù)據(jù)近似相等，證明本文所提模型預(yù)測效果較好。而結(jié)合圖9 的預(yù)測精度結(jié)果可以看出，預(yù)測應(yīng)力區(qū)間可以包含所有的監(jiān)測應(yīng)力數(shù)據(jù)，隨著單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的遠(yuǎn)程更新，精度越來越高并最終趨于穩(wěn)定，說明本文所提模型的合理性。

圖8 第一階解耦極值應(yīng)力數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果Fig.8 The predicted results of the first order decoupled extreme stress data

圖9 BHDLM 的預(yù)測精度Fig.9 The prediction precision of BHDLM

同樣的，基于y2，t以及θ2，t，對橋梁耦合極值應(yīng)力中的二階單分量應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。根據(jù)θ2，t的回歸公式可得θ2，t+1：

基于公式（25），（30）和（12）可知，監(jiān)測方程中θ2，t+1與前一時刻的θ2，t和狀態(tài)數(shù)據(jù)的一階差分變量β2，t有關(guān)。利用差分計算可得狀態(tài)變量轉(zhuǎn)移矩陣中其中，監(jiān)測應(yīng)力和初始狀態(tài)信息如圖10所示，初始狀態(tài)信息的一階差分值如圖11所示。

圖10 第二階解耦應(yīng)力數(shù)據(jù)以及初始狀態(tài)信息Fig.10 The second order decoupled stress data and initial state information

圖11 初始狀態(tài)信息的一階差分值Fig.11 The first order differential data of initial state information

則根據(jù)圖10 和11，初始狀態(tài)信息可表示為：

其中

而根據(jù)公式（13），狀態(tài)方程為：

其中，折扣因子δ的取值范圍為 0.95，。

監(jiān)測方程為：

利用貝葉斯方法，對3000～8572 h 的數(shù)據(jù)進(jìn)行動態(tài)預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖12所示，預(yù)測值與監(jiān)測值接近，預(yù)測效果較好。預(yù)測精度如圖13所示，隨著數(shù)據(jù)的更新，預(yù)測精度趨于穩(wěn)定。

圖12 第二階解耦極值應(yīng)力數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果Fig.12 The predicted results of the second order decoupled extreme stress data

圖13 BHDLM 的預(yù)測精度Fig.13 The prediction precision of BHDLM

將第3和4階單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)按上述步驟進(jìn)行動態(tài)預(yù)測，則橋梁耦合極值應(yīng)力即為各階單分量極值應(yīng)力動態(tài)預(yù)測值相加，預(yù)測結(jié)果如圖14所示。

圖14 Sx12 測點橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測結(jié)果Fig.14 The predicted results of bridge coupled extreme stress of the Sx12 measure point

按照上述流程，利用BHDLM 可進(jìn)一步得到Sx9，Sx10 和Sx11 這3 個測點3000 h 以后的橋梁耦合極值應(yīng)力動態(tài)預(yù)測結(jié)果，預(yù)測結(jié)果如圖15～17所示。可以看出，耦合后的極值應(yīng)力動態(tài)預(yù)測值與實際監(jiān)測值接近，說明了本文所提方法能夠較好地預(yù)測橋梁耦合極值應(yīng)力。

圖15 Sx9 測點橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測結(jié)果Fig.15 The predicted results of bridge coupled extreme stress of the Sx9 measure point

4.2 耦合極值應(yīng)力預(yù)測準(zhǔn)確度對比分析

圖16 Sx10 測點橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測結(jié)果Fig.16 The predicted results of bridge coupled extreme stress of the Sx10 measure point

圖17 Sx11 測點橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測結(jié)果Fig.17 The predicted results of bridge coupled extreme stress of the Sx11 measure point

為了驗證BHDLM 的在預(yù)測橋梁耦合極值應(yīng)力方面的優(yōu)越性，本文利用貝葉斯動態(tài)線性模型（Bayesian Dynamic Linear Model，BDLM）對Sx12測點處的極值應(yīng)力進(jìn)行了動態(tài)預(yù)測。同時，采用均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）作為模型預(yù)測準(zhǔn)確度指標(biāo)，用于模型預(yù)測準(zhǔn)確度的比較分析。其中，預(yù)測準(zhǔn)確度指標(biāo)RMSE可表示為：

式中uy，t為橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測值；Yt為橋梁耦合極值應(yīng)力監(jiān)測值。

BDLM 預(yù)測結(jié)果如圖18所示。根據(jù)圖18 的預(yù)測結(jié)果并結(jié)合公式（34），可得BDLM 預(yù)測準(zhǔn)確度指標(biāo)RMSE為2.59。而利用本文提出的BHDLM 進(jìn)行動態(tài)預(yù)測時，模型預(yù)測準(zhǔn)確度指標(biāo)RMSE則為1.60。證明了本文所提方法相比于BDLM 具有更高的預(yù)測準(zhǔn)確度，更具優(yōu)越性。

圖18 利用BDLM 得到的橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測結(jié)果Fig.18 The predicted results of bridge coupled extreme stress by using BDLM

5 結(jié)論

橋梁耦合極值應(yīng)力可視為有限多個單分量極值應(yīng)力的累加。在考慮到單分量極值應(yīng)力周期性、隨機(jī)性等數(shù)據(jù)特點的情況下，提出了單分量極值應(yīng)力的BHDLM。通過對單分量極值應(yīng)力的動態(tài)預(yù)測，進(jìn)而可得到橋梁耦合極值應(yīng)力的預(yù)測結(jié)果。最后，利用派河大橋一年的實際監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析驗證，得到如下結(jié)論：

（1）通過Hilbert 信號分解及解調(diào)技術(shù)可對橋梁耦合極值應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行解耦，并建立各階單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的HDLM。

（2）基于解耦得到的單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)以及BHDLM，可對單分量極值應(yīng)力進(jìn)行合理預(yù)測，預(yù)測精度隨著模型參數(shù)的更新不斷提升。

（3）橋梁耦合極值應(yīng)力的最終預(yù)測結(jié)果與監(jiān)測數(shù)據(jù)基本一致，具有較好的預(yù)測準(zhǔn)確度。驗證了本文提出方法在實際工程中的可行性與有效性。