彈性邊界約束矩形板的振動特性分析：理論、有限元和實驗

柴玉陽，杜紹君，李鳳明

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱 150001）

引言

矩形板作為一種典型的結構，廣泛應用于飛行器、船舶、海洋平臺以及高速列車等結構中。為了避免矩形板結構在動態載荷作用下的不利振動影響，開展矩形板結構振動特性的理論和實驗研究具有重要的實際意義。

目前很多學者針對矩形板的振動特性開展了大量的理論研究。Leissa［1］系統地研究了多種簡單邊界（自由、簡支和固支）組合情況下矩形板的振動特性，研究發現對于6 種對邊簡支情況的矩形板可以獲得精確的固有振動特征方程。Liew 等［2］利用瑞利-里茨法分析了不同邊界條件下厚矩形板的振動特性。基于微分求積法，Li 等［3］研究了正交各向異性板的非線性振動特性。Aksu 等［4］基于有限差分法研究了中心開口矩形板的振動特性。Jin 等［5］提出了一種三維改進的傅里葉余弦級數方法，對一般邊界條件下功能梯度矩形板的振動特性進行求解。王嘉偉等［6］通過構建單層和多層復合材料層合板的動態特性簡化模型，計算了復合材料層合板的固有頻率和振型。利用瑞利-里茨法，李國榮等［7］研究了典型邊界條件下加筋矩形板的振動特性，分析了加筋位置及高度對結構固有頻率的影響。馬牛靜等［8］研究了具有初始應力加筋板的非線性振動特性。鮑四元等［9］提出了一種各向異性矩形板和環扇形板在彈性約束下橫向自由振動的通用解法。張俊等［10］利用改進的傅里葉級數作為位移容許函數，研究了多開口彈性約束矩形板的振動特性。

有關矩形板結構振動特性的實驗研究也吸引著很多學者的關注。Shuyu［11］提出了一種解析方法計算自由邊界矩形薄板的振動特性，并設計實驗測試結構的固有頻率，驗證了所提解析方法的正確性。Pagani 等［12］基于理論和實驗的方法研究了復合材料層合板結構的自由振動特性。考慮結構的幾何大變形，Amabili［13］研究了不同邊界條件下矩形薄板的非線性振動特性，并利用實驗測試獲得了與理論分析一致的頻響曲線，驗證了理論計算的有效性。付江松等［14］通過搭建四邊自由矩形薄板橫向振動的實驗平臺，獲得矩形板的二維駐波實驗圖和固有頻率，驗證了所提理論模型的正確性。

基于以上分析可知，目前針對矩形板振動特性的研究多局限于自由、簡支和固支等經典邊界，對于彈性約束等邊界條件需配置不同的位移函數，缺乏統一的分析模型。此外，由于模擬彈性邊界的復雜性，鮮有針對彈性邊界約束矩形板振動特性相關的實驗研究。雖然有限元法可以處理彈性約束結構的振動問題，但不利于對相關參數進行系統分析。因此，本文基于瑞利-里茨法，通過Gram-Schmidt 法構造特征正交多項式表示位移函數，建立彈性邊界矩形板的振動方程，求解其固有頻率和振型。矩形板的彈性邊界采用均布彈簧模擬，通過調節邊界彈簧的剛度，彈性邊界約束可以模擬自由、簡支及固支等任意邊界條件。基于本文所提方法獲得結構的固有頻率并與有限元及實驗結果進行對比，驗證本文理論模型的正確性。此外，設計一系列實驗研究彈性-簡支、彈性-固支等不同邊界組合條件下矩形板的自由振動特性，詳細分析調整不同邊界彈簧剛度對矩形板結構振動特性的影響。

1 理論模型

1.1 彈性邊界約束矩形板

圖1 為彈性邊界約束矩形板結構示意圖。矩形板的長、寬、高分別為a，b和h。彈性邊界由一系列均布彈簧模擬，其中包括三組均勻分布的平動彈簧和一組均勻分布的旋轉彈簧。單位長度平動彈簧和旋轉彈簧的剛度分別用ku，kv，kw和kθ來表示。沿y=0 旋轉彈簧剛度為kθy0，平動彈簧剛度為kuy0，kvy0和kwy0。相似地，y=b，x=0 和x=a的均布彈簧剛度用kθyb，kuyb，kvyb，kwyb，kθx0，kux0，kvx0，kwx0，kθxa，kuxa，kvxa和kwxa來表示。

圖1 彈性邊界約束矩形板示意圖Fig.1 Schematic diagram of the rectangular plate constrained by elastic boundary constraints

基于經典薄板理論，各向同性矩形板結構的位移場可表示為：

式中u和v表示結構上任一點沿x和y方向的位移；w為橫向位移；u0和v0為中性層的面內位移；ξ=x/a和η=y/b為薄板無量綱的長度和寬度變量。

薄板結構的應變-位移關系式如下：

式中εx和εy為線應變；γxy為切應變；ε0為膜應變向量；κ為彎曲曲率向量，分別表示為：

結構的本構方程可以表示為：

式中σ為與應變對應的應力；Q11=Q22=E/（1-υ2），Q12=Q21=υE/（1-υ2）和Q66=E/［2（1+υ）］為剛度系數，其中E和υ為矩形板材料的楊氏模量和泊松比。

1.2 結構系統的能量

矩形板結構的動能和勢能可以表示為：

式中ρ和dV分別為矩形板的材料密度和體積元。

彈性邊界ξ=0 和1 時的勢能可以寫為：

相似地，彈性邊界η=0 和1 時的勢能可表示為：

當平動彈簧及旋轉彈簧的剛度增加到極大值（比如1010N/m2或1010N/rad），此時結構的邊界條件為固支邊界。相反，當平動彈簧和旋轉彈簧的剛度為0 時，結構邊界為完全放松的自由邊界。以邊界x=0 為例，固支（C）、簡支（S）和自由邊界（F）條件所對應的彈簧剛度可分別表示為：

1.3 瑞利-里茨法

矩形板結構的未知位移函數可以寫為：

式中ω為結構固有圓頻率；ζ（ξ，η），?（ξ，η）和χ（ξ，η）為模態形函數，可以寫成如下多項式形式：

式中Mc和Nc表示截斷特征多項式項數；amn，bmn和cmn代表未知的多項式系數；和為特征多項式。

利用Gram-Schmidt 方法構造的多項式滿足正交性，計算收斂性好。此外，只要特征正交多項式的首項滿足矩形板的幾何邊界條件，正交多項式的其他項也就能滿足結構的幾何邊界條件。因此，只要給出特征多項式的首項，就可以基于Gram-Schmidt 方法構造在積分域0 ≤?≤1 內的一系列多項式如下［15-17］：

其中

由式（12）計算得出的多項式?αp(?)滿足以下正交條件：

對特征正交多項式做如下的標準化處理：

表1 給出了5 種不同經典邊界條件的多項式首項來構造相應的特征正交多項式。對于經典邊界約束，例如S-S，C-C，C-F 及C-S 等，用表1 給出的多項式首項來構造特征多項式［16］。選擇?α1（?）=1 作為特征正交多項式的首項來計算彈性約束矩形板的模態形函數。

表1 5 種不同經典邊界條件的特征多項式首項Tab.1 The first term of characteristic polynomial terms of five different classical boundary conditions

彈性邊界約束矩形板的能量函數可表示為：

式中Ues=Uesx表示彈性邊界ξ=0 或1 的勢能。如果彈性邊界沿η=0 或1，此時彈性邊界的勢能函數Ues=Uesy。

基于瑞利-里茨法，多項式系數amn，bmn和cmn需要使能量函數Ene達到最小值：

式中m=1，2，···，Mc；n=1，2，···，Nc。

把式（10）和（11）代入式（7）和（8）可以獲得彈性邊界勢能的表達式Ues，之后把動能T、勢能U及彈性邊界勢能Ues通過式（16）代入方程（17），可以得到關于彈性邊界約束矩形板的特征方程：

式中M和K為系數矩陣，X=[aT，bT，cT]T，其中a，b和c可以表示為：

通過求解特征方程（18），可以獲得彈性邊界約束矩形板結構的固有頻率及模態振型函數。

2 計算結果與實驗驗證

本節基于實驗方法測試了不同彈性邊界矩形板結構的固有頻率，并與理論計算結果進行對比。矩形板結構的幾何尺寸和材料參數為：a=b=0.5 m，h=0.005 m，ρ=1190 kg/m3，E=3×109N/m2，υ=0.4。用來模擬彈性邊界的平動彈簧剛度為ke=530 N/m。在實驗測試中，沖擊錘用來激勵矩形板結構，加速度傳感器粘貼在矩形板結構表面。數據采集和處理系統用來接收傳感器傳輸的信號。

圖2（a）～（c）分別為一邊固支、三種不同彈性邊界條件下矩形板的振動測試圖。結構的固定約束端用夾子固定在兩塊鋼板上。為防止彈簧扭動，邊界彈簧安裝在3D 打印的彈簧支座上，并把彈簧支座粘貼在可近似看成剛體的實驗臺上。矩形板結構邊界彈簧個數為11，因此彈性邊界線彈簧的剛度Kew可以表示為：

圖2 不同邊界條件下矩形板結構振動測試圖Fig.2 Vibration test diagrams of the rectangular plate under different boundary conditions

利用實驗測試裝置，測得不同邊界下矩形板結構的幅頻響應曲線如圖3所示，其中縱坐標中的幅值g=9.8 m/s2表示重力加速度。基于結構實測頻響曲線可求出結構的固有頻率，其具體數值如表2所示。此外，表2 還給出了本文方法計算所得理論解、有限元仿真結果以及理論計算所得固有頻率ft和實驗測試固有頻率fe之間的誤差e，其計算公式為：

圖3 不同邊界條件下實測平板結構幅頻曲線Fig.3 Amplitude-frequency curves of the measured plate with different boundary conditions

使用有限元軟件COMSOL 中，采用的單元類型為四面體網格，單元個數為19072。軟件中矩形板固支端設置為固定約束，彈性邊界設置為彈性約束。由表2 可知，理論、有限元仿真及實驗求得的一端固支彈性邊界矩形板的固有頻率吻合良好，這就證明了本文理論模型的正確性。

表2 不同彈性邊界條件下平板的固有頻率Tab.2 Natural frequencies of the plates under different elastic boundary conditions

為了驗證平動彈簧以及旋轉彈簧的剛度取值為1010N/m2和1010N/rad時模擬矩形板固支邊界的合理性及計算結果的精確性，計算了不同邊界彈簧剛度下矩形板的固有頻率，并與一端固支矩形板有限元仿真結果進行對比，如表3所示。從表3 中可以看出，當平動彈簧以及旋轉彈簧剛度取1010N/m2和1010N/rad時，計算結果已經收斂，且和仿真結果吻合良好。因此在計算中平動彈簧及旋轉彈簧剛度取1010N/m2和1010N/rad來模擬固支邊界是完全滿足計算精度要求的。

表3 不同彈簧剛度下矩形板的固有頻率/HzTab.3 Natural frequencies of the rectangular plates under different spring stiffness/Hz

此外，基于實驗方法研究了四邊簡支、一邊簡支一邊彈性支撐及對邊簡支對邊彈性支撐矩形板的固有特性。圖4 為實驗測試中矩形板簡支邊界原理示意圖。其中設計加工了上、下兩根剛性圓柱桿固定矩形板的邊界，上、下圓柱桿通過預緊的螺栓固定，這樣既能夠限制矩形板邊界的橫向位移，又能夠保證矩形板邊界自由地轉動，從而準確有效地模擬矩形板結構的簡支邊界條件。

圖4 矩形板簡支邊界原理示意圖Fig.4 Schematic diagram of simply supported boundary principle of the rectangular plate

圖5 為簡支彈性支撐矩形板實驗測試裝置。由于支座安裝的原因，此實驗下矩形板的長度和寬度分別為a=0.526 m 和b=0.529 m。矩形板彈性邊界上安裝的彈簧為11 個，結構其他參數和固支彈性支撐時一致。圖6所示為基于實驗裝置測得的四邊簡支、一邊簡支一邊彈性支撐及對邊簡支對邊彈性支撐矩形板的幅頻響應曲線。實測結構的前5 階固有頻率如表4所示。基于本文理論計算以及有限元數值仿真的結果也在表4 給出，同時給出了理論計算結構固有頻率和實測結構固有頻率的誤差。有限元數值仿真中，采用的單元類型為四面體網格，單元個數為19166。從表4 中可以看出，三者計算結果有很好的一致性，誤差不超過7.8%。通過兩根圓柱桿夾緊固定矩形板邊界可能產生小的橫向位移，彈性邊界彈簧剛度測量的準確性以及矩形板結構材料屬性和理論的差異是引起誤差的可能原因。盡管如此，理論、仿真以及實驗之間的結果吻合良好，證實了本文平板結構簡支邊界及彈性邊界設計的合理性及理論計算的正確性。

圖5 不同邊界條件下平板結構振動測試圖Fig.5 Vibration test diagrams of the plate under different boundary conditions

圖6 不同邊界條件下實測平板結構幅頻曲線Fig.6 Amplitude-frequency curves of the measured plate structure with different boundary conditions

表4 不同彈性邊界條件下平板的固有頻率Tab.4 Natural frequencies of the plates under different elastic boundary conditions

3 彈性邊界矩形板振動特性分析

對于給定階次的頻率，其對應的特征向量可以由式（18）求出。特征向量對應該矩形板在給定階次模態頻率所對應振型的多項式展開系數，將系數代入式（11）表征的容許函數中，即可獲得矩形板結構的模態振型。圖7～10 分別給出基于理論方法和有限元軟件COMSOL 計算所得三邊簡支一邊彈性支撐（SSSE）和兩邊固支兩邊彈性支撐（CCEE）矩形板的第一階和第二階模態振型圖。對于SSSE 矩形板，彈性邊為右邊界；而對于CCEE 矩形板，彈性邊為右邊界和下邊界。彈性邊只含有平動彈簧，其剛度為105N/m2。使用有限元軟件COMSOL 計算時，采用的單元類型為四面體網格，單元個數為25907。從圖7～10 中可以看出，本文理論計算結構振型和有限元結果一致，進一步說明了本文理論計算的有效性。

圖7 理論計算SSSE 矩形板的振型Fig.7 Vibration mode of the SSSE rectangular plate using theoretical calculation

圖8 有限元軟件COMSOL 計算SSSE 矩形板的振型Fig.8 Vibration mode of the SSSE rectangular plate using finite element software calculation

圖10 有限元軟件COMSOL 計算CCEE 矩形板的振型Fig.10 Vibration mode of the CCEE rectangular plate using finite element software calculation

為研究矩形板從一邊固支三邊自由（CFFF）狀態到對邊固支對邊自由（CFCF）時的振動特性，通過改變邊界彈簧剛度模擬結構不同的邊界。控制邊界x=0 彈簧剛度kwx0=1010N/m2和kθx0=1010N/rad，將沿邊界x=a的彈簧剛度kwxa和kθxa從0 增加到1010N/m2和1010N/rad。圖11所示為矩形板一階固有頻率隨kwxa和kθxa的變化關系。從圖11 中可知，矩形板的固有頻率隨邊界x=a彈簧剛度kwxa和kθxa的增大而增大。當旋轉彈簧剛度kθxa在10～1000 N/rad 范圍內變化時，結構的一階頻率有較大的變化；而當平動約束彈簧剛度kwxa在100～106N/m2范圍內變化時，結構的第一階固有頻率變化明顯。此外，相對于旋轉彈簧，平動彈簧剛度的增加能更加有效地提高結構的固有頻率。

通過改變彈簧剛度kwxa及kwy0，可使矩形板從CFFF 變為CSSF 邊界。矩形板的一階固有頻率隨彈簧剛度kwxa及kwy0的變化如圖12所示。由圖12 可知，結構一階固有頻率隨平動彈簧剛度kwxa及kwy0的增大而增大。但是，平動彈簧剛度kwy0的增加對結構固有頻率的提升作用非常有限，而增加平動彈簧剛度kwxa能夠有效地提高結構的固有頻率。

圖12 一階固有頻率隨kwxa及kwy0的變化關系Fig.12 Variation relationship of the first order natural frequency with kwxa and kwy0

通過改變矩形板旋轉彈簧剛度kθy0及kθyb，能夠使CSSS 矩形板變為CCSC 矩形板，結構一階固有頻率的變化如圖13所示。從圖13 中可以看出，當旋轉彈簧剛度在0～104N/rad 范圍時，隨著旋轉彈簧剛度的增加，結構的一階固有頻率明顯增加。當旋轉彈簧剛度大于104N/rad 時，結構的固有頻率基本不變。由此可以得出矩形板的固有頻率隨旋轉彈簧剛度變化的敏感區間為0～104N/rad。

圖13 一階固有頻率隨kθy0及kθyb的變化關系Fig.13 Variation relationship of the first order natural frequency with kθy0 and kθyb

4 結論

本文采用特征正交多項式表示位移容許函數，建立了彈性約束矩形板結構振動特性分析模型。利用瑞利-里茨法獲得彈性邊界約束矩形板的固有頻率和振型，并與有限元及實驗結果進行對比，驗證了本文所提理論方法的正確性和可靠性。詳細分析了調整不同邊界彈簧剛度對矩形板振動特性的影響，得到的主要結論如下：

（1）采用特征正交多項式描述結構橫向位移，結合瑞利-里茨法獲得彈性邊界約束矩形板的固有頻率和振型。對不同結構參數、邊界條件的矩形板求解，僅需修改結構參數，無需重新建模。

（2）設計實驗測試了彈性-簡支、彈性-固支等不同邊界組合矩形板的固有頻率，并與本文理論方法和有限元結果進行了對比，驗證了矩形板彈性邊界設計的合理性及理論計算的正確性。

（3）矩形板的固有頻率隨著邊界彈簧剛度的增大而增大。相對于旋轉彈簧，平動彈簧剛度的增加能更加有效地提高結構的固有頻率。

（4）當旋轉彈簧剛度在0～104N/rad 內變化時，本文所研究矩形板結構的一階固有頻率變化明顯；其固有頻率隨旋轉彈簧剛度變化的敏感區間為0～104N/rad。