三軸六自由度隨機振動試驗轉換矩陣原理及控制方法

鄭榮慧，徐 俊，陳國平，孫建勇，陳懷海

（1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇南京 210016；2.中國航空綜合技術研究所，北京 100028）

1 概述

三軸六自由度隨機振動試驗是一種先進的振動環境試驗方式。不同于傳統的方陣或者長方陣振動控制試驗，三軸六自由度隨機振動試驗可以同時實現沿正交軸向的三個線振動以及繞三個正交軸向轉動的角振動環境。

三軸六自由度隨機振動試驗屬于多輸入多輸出隨機振動試驗，需要使用基本的多輸入多輸出振動控制理論。考慮到幾乎沒有可用于寬頻帶的角加速度傳感器，因此，目前角加速度的測量是利用線加速度測量結果通過輸入變換矩陣轉換而來。三軸六自由度隨機振動試驗需要使用三軸六自由度振動臺系統來實現。圖1 展示了美國Hill 空軍基地的電動式和美國TEAM 公司的電液式這兩種三軸六自由度振動臺系統［1-2］。

圖1 三軸六自由度振動臺系統Fig.1 6-DOF vibration shaker system

三軸六自由度隨機振動試驗控制結果關鍵在于三軸六自由度振動臺系統本身的性能和振動控制技術的優劣。良好的振動臺系統具有足夠寬的工作頻帶，并且在各個自由度上能夠實現完全解耦。一般來說，電動式振動臺具有較寬的工作頻帶，但其推力較小；電液式振動臺工作頻帶較窄，但其推力較大，能夠滿足大型車輛、房屋地震等工程振動試驗需求［3］。

三軸六自由度的隨機振動控制技術是在傳統的多輸入多輸出隨機振動控制技術的基礎上對信號進行輸入輸出轉換。輸入輸出概念是針對數據采集與發送測試系統而言，輸入信號即為采集至測試系統輸入板卡模塊的加速度測量信號，輸出信號即為從測試系統中輸出板卡模塊輸出的驅動電壓信號。因此，輸入信號變換即將采集得到的線加速度響應變換為六個自由度上的振動響應；輸出信號變換即將六個自由度上的驅動力變換為實際激振器所需要的驅動信號。Norman 等［4］討論了輸入信號變換方法，并指出至少需要3 個三軸向加速度傳感器，并且它們不能布置在同一條直線上。Russe11 等［5］研究了四種六自由度激振器配置方式，并給出了輸入輸出轉換控制方式和傳統方陣控制方式分別適用的情形。

嚴俠等［6］對三軸六自由度液壓振動臺隨機振動控制進行了分析與仿真，其自譜控制結果均在預設的±3 dB 容差限內。韓偉等［7］針對三軸六自由度閉環虛擬隨機振動試驗系統進行了建模與仿真，仿真結果表明所建立的模型準確，可對實物試驗前的隨機振動試驗控制方案進行優化。然而，這兩種仿真分析均未考慮互譜的影響。理論上，三軸六自由度隨機振動控制試驗需要同時控制六個自譜，即三個線加速度功率譜和三個角加速度功率譜，以及30 個互功率譜。這30 個互譜的控制可以轉化為對15 個相位差和15 個相干系數的控制，因為互譜可以用自譜、相干系數和相位差表示。

在控制算法方面，現有國外控制器中的控制算法是封閉的，用戶只能按照步驟通過輸入一些必要參數來完成三軸六自由度振動控制試驗。同時，三軸六自由度振動臺系統構造較為復雜，并且價格昂貴。因此，本文旨在從理論上對三軸六自由度振動控制的基本原理與核心算法進行研究，進一步闡明其控制算法與實現原理。本文首先推導了輸入輸出轉換矩陣，然后給出了三軸六自由度隨機振動控制方法的一般步驟。緊接著，討論了兩種振動臺系統的激振器配置方式以及一些傳感器的布置方式。第6 節給出了一個三軸六自由度振動控制仿真算例。

2 輸入轉換矩陣

首先分析六自由度振動系統的加速度特征，建立采集的線振動加速度與六自由度振動加速度之間的關系，最后通過合理的簡化假設得到輸入轉換矩陣的一般表達式。

考慮如圖2所示的振動系統，其中固定參考系連接大地，動系連接振動臺并隨著時間發生運動。設點P為結構上任意一點，點P′為結構發生彈性變形后點P的位置。點P的絕對位移矢量可以表示為：

圖2 六自由度振動系統加速度分析Fig.2 Acceleration analysis for 6-DOF vibration system

式中up為點P的絕對運動位移矢量，ub為動系的運動位移矢量，rp為點P在動系中的運動位移矢量。三者可以表示為：

式中 “-”表示矢量在坐標系里的向量表示，q0和q分別為慣性系和動系的基坐標矩陣。這里需要注意的是，動系的基坐標矩陣q是時間的函數。兩個坐標系基向量矩陣通過歐拉旋轉角矩陣表示為如下關系：

式中Q為歐拉旋轉角矩陣。

對點P的絕對位移求一次導數可以得到絕對速度，表示為：

式中 “·”表示對矢量關于時間求導數。ω為動系的角速度矢量。

再對速度求一次導數，則點P的絕對加速度可以表示為：

式中α為動系的角加速度矢量，為點P的絕對加速度，為動系的線加速度，為相對加速度，為科氏加速度，α×rp為切向加速度，ω×(ω×rp)為法向加速度。

對于六自由度振動控制，傳感器一般布置在振動臺體上，控制臺體的六個剛體自由度。因此，若傳感器布置在臺面上，且假設臺面為絕對剛性，則有：

考慮到大多數隨機振動試驗中，結構的法向角速度相對很小以至于可以忽略，因此，公式（6）可以進一步簡化為：

將式（2）和（3）代入式（7）中，則有：

考慮到振動試驗中臺體的轉角很小（通常小于5°），即：

因此，將式（8）中的矢量用矩陣形式表示，并用a表示加速度，點P的絕對加速度可以寫為：

其中，

若在振動臺上布置n個三軸向傳感器，并將式（10）整理后有：

式中ex，ey和ez分別為坐標系三個軸向上的單位向量。根據上式，有：

式中 輸入轉換矩陣定義為：

式中 pinv（·）表示對矩陣取偽逆。上標‘T’表示對矩陣取轉置。

3 輸出轉換矩陣

本節分析六自由度振動系統運動所需的六個合力與激振器實際所需施加激振力之間的關系，并推導得到輸出轉換矩陣的一般表達式。

圖3 給出了振動臺系統受到m個激振器作用的示意圖，其中坐標系原點位于振動臺的質心處。施加在振動臺體質心上的合力F1可以表示為：

圖3 振動臺系統受力示意圖Fig.3 Sketch map for vibration shaker subjected to input forces

式中υ表示單位方向矢量，f為激振器施加在振動臺上的力。

施加振動臺體質心上的合力矩F2可以表示為：

式中l為力臂矢量。將向量積用矩陣形式表示，則可以寫為：

將式（15）和（17）合并，有：

上式可寫為：

若實際想要控制的自由度數為d（d≤6，d為整數），則上式寫為：

式中T2為行滿秩矩陣，因此，有：

進一步地：

因此，輸出轉換矩陣定義為：

此外，定義配置矩陣為：

4 振動控制方法

三軸六自由度隨機振動試驗的目的是使得控制自由度的響應譜密度Syy等于預設的參考譜密度Srr。在每一根譜線處可以表示為：

參考譜密度矩陣為一個6×6 的正定厄米矩陣，對角線元素為正實數，表示自譜密度，非對角線元素為虛數，表示互譜密度。自譜密度代表了控制通道振動量級大小，互譜密度代表了通道之間的相關性。值得注意的是，這里的譜密度矩陣是三維矩陣，其第三個維度是頻率。

驅動傅里葉譜矩陣可以表示為：

式中Z為頻率響應函數矩陣的逆陣，且該矩陣在振動控制前獲得。Θ為隨機相位矩陣，L為譜矩陣做喬里斯基分解得到的下三角矩陣。在首次驅動生成時，L為從參考譜矩陣中獲取，表示為：

式中 上標‘H’表示對矩陣取復共軛轉置。對矩陣X作傅里葉逆變換即可得到多輸入時域驅動信號。控制點處的加速度傳感器采集到的響應信號需要通過輸入轉換矩陣進行變換，表示為：

對轉換后的響應時域信號做功率譜密度估計。由于計算誤差、噪聲干擾等影響，控制點處的響應譜密度往往不能貼合在參考值附近，特別是在共振峰處常常出現譜線超標現象。此時，在閉環均衡過程中需要利用控制算法對驅動信號進行修正，矩陣冪次控制算法可以表示為［8］：

式中Ly為當前響應譜密度做喬里斯基分解得到的下三角矩陣；Lold為上一次均衡過程中的下三角矩陣；Lnew用于更新式（26）中的下三角矩陣L，也就更新了驅動信號；η為收斂因子。

5 討論

5.1 激振器配置

電動式六自由度振動臺系統常見的八個激振器配置方案如圖4，5所示。下面計算這兩種情形下的輸出轉換矩陣。假設振動臺面呈正方形并且邊長為2l。以配置方式一為例，根據第3 節中的推導，激振器施加在振動臺上力的單位方向向量分別為各個力對應的力臂向量分別為

圖4 八個激振器配置方式一Fig.4 Eight shakers configuration mode 1

圖5 八個激振器配置方式二Fig.5 Eight shakers configuration mode 2

根據式（18），可以得到：

那么輸出轉換矩陣就可以由式（23）得到。同樣地可以得到配置方式二的T2矩陣，即：

此外，可以發現兩者的配置矩陣是一致的，即為：

該矩陣可以體現出激振器的配置方式，比如在x軸平動方向有兩個激振器同時提供此方向上所需的驅動力。

5.2 傳感器布置

對于三軸六自由度振動測試來說，被測對象一般安裝在振動臺面的中心位置，三軸向傳感器布置在振動臺面的四周，如圖6所示，這樣可以較好地測量到轉動加速度的貢獻。根據第2 節中的推導，該坐標系建立在臺面中心位置，四個加速度傳感器的坐標分別為（l，l，0），（-l，l，0），（-l，-l，0）和（l，-l，0）。

圖6 加速度傳感器布置Fig.6 Acceleration sensors configuration

根據式（12），可以得到：

因此，輸入轉換矩陣可以通過式（13）得到。

文獻［9］討論了傳感器布置對測量結果的影響，并且表明，當輸入轉換矩陣的條件數最小時，噪聲擾動對測量結果產生的影響最小。輸入轉換矩陣的條件數最小這個條件對應著傳感器呈正多邊形布置。另外，若在試驗頻帶內，振動臺體發生彈性變形，將對測試結果有一定的影響。

6 算例

本節給出一個三軸六自由度振動試驗控制仿真算例。振動臺模型如圖4所示，八個激振器簡化為同樣的彈簧阻尼系統，其中剛度和阻尼系數分別為4.5×109N/m，1×104kg/s。振動臺的長寬高分別為0.8，0.8 和0.1 m，質量密度為2660 kg/m3。四個三軸向加速度控制傳感器布置如圖6所示。計算可得仿真的振動臺系統第一階固有頻率約為1157 Hz，因此設置仿真試驗中控制頻帶為20～1000 Hz。

六個自由度的參考自譜及控制自譜如圖7所示，可以看出控制效果令人滿意。在參考互譜設置中，僅設置第1 和第5 自由度之間存在相干性，相干系數為0.5，相位差為π/6，其他自由度之間相干性為0。控制的互譜密度如圖8所示，其控制效果同樣令人滿意。

圖7 控制的六自由度響應自譜密度Fig.7 Controlled response auto spectral densities of 6-DOF

圖8 控制的第1 和第5 自由度之間的響應互譜Fig.8 Controlled response cross spectral densities between the first and fifth degree of freedom

7 結論

三軸六自由度振動試驗是當前力學振動環境試驗的主要發展方向之一。先進的六自由度振動臺系統構造復雜且造價昂貴。本文從理論上對當前先進的三軸六自由度隨機振動試驗及其控制方法進行了推導與分析。本文的工作總結如下：

（1）推導了三軸六自由度振動系統的加速度關系，得到了輸入轉換矩陣的一般表達式；

（2）對振動臺體進行了受力分析，得到了輸出轉換矩陣的一般表達式；

（3）給出了三軸六自由度隨機振動試驗控制方法的一般步驟；

（4）對兩種八個振動臺配置的三軸六自由度振動臺系統以及傳感器布置方案進行了討論。